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        關(guān)于惠更斯對(duì)向心加速度證明方法的思考與應(yīng)用

        2022-05-07 10:34:56馮子江
        物理通報(bào) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:分析器離子注入選擇器

        魯 斌 馮子江

        (浙江省余姚中學(xué) 浙江 寧波 315400)

        在人教版高中物理教材“向心加速度”一節(jié)中[1],編者利用加速度的定義對(duì)“向心加速度公式”進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo),此推導(dǎo)過程充分體現(xiàn)了矢量和微分的思想.在課堂教學(xué)中,還可以提供荷蘭物理學(xué)家惠更斯(Christiaan Huygens,1629-1695)當(dāng)年的推導(dǎo)方案,啟發(fā)學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行更加深入的思考.

        1 引出推導(dǎo)方案

        在人教版高中物理教材“向心力”這一節(jié)有這樣一段話:“運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動(dòng),可以稱為一般的曲線運(yùn)動(dòng).盡管這時(shí)曲線各個(gè)位置的彎曲程度不一樣,但在研究時(shí),可以把這條曲線分割為許多很短的小段,質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看作圓周運(yùn)動(dòng)的一部分(圖1).這樣,在分析質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過曲線上某位置的運(yùn)動(dòng)時(shí),就可以采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法來處理了.”

        圖1 一般曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡

        這段文字表達(dá)了“曲率圓”的概念.反過來,我們也可以啟發(fā)學(xué)生思考:既然一般曲線運(yùn)動(dòng)的每一小段都看做圓周運(yùn)動(dòng)的一部分,那么,圓周運(yùn)動(dòng)的每一小段是否也是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一部分呢?

        2 天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯的工作再現(xiàn)

        荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯在1673年發(fā)表的《Horologium Oscillatorium》附錄中給出了離心力的完整計(jì)算方法[2],由此可以大致總結(jié)其對(duì)向心加速度的推導(dǎo)方案.

        如圖2所示,如果沒有加速度,質(zhì)點(diǎn)在短時(shí)間Δt內(nèi)從A以速度v勻速運(yùn)動(dòng)到B,實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),在Δt時(shí)間內(nèi)從A運(yùn)動(dòng)到C,可以認(rèn)為這是由于質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了另一個(gè)由B到C的勻加速運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致的,所以有

        圖2 向心加速度推導(dǎo)示意圖

        圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r,由于△ABC∽△EDC有

        可得a=,當(dāng)Δt→0時(shí),方向指向圓心,故將這個(gè)加速度稱為向心加速度.

        3 蘋果和月亮的思考

        牛頓在鄉(xiāng)下故居躲避瘟疫的時(shí)候,開始認(rèn)真關(guān)注蘋果下落的問題[3].牛頓的沉思是:月球?yàn)槭裁床幌裉O果那樣,落到地面上來呢?經(jīng)過一段時(shí)間的思考,牛頓明白了:月球不落到地面上來,是因?yàn)樗诶@地球旋轉(zhuǎn);即使是蘋果,如果它以適當(dāng)?shù)乃俣冗\(yùn)動(dòng),也照樣不會(huì)落到地面上來,同樣會(huì)繞地球旋轉(zhuǎn).月亮繞地球轉(zhuǎn)動(dòng),實(shí)際上也可以看成是種“下落”(圖3),只不過沒有落到地球上來,而是保持一定距離繞著地球轉(zhuǎn).如果月球不是不斷地“下落”,它就會(huì)離開地球,飛到浩瀚的宇宙深處.

        圖3 月球“降落”的示意圖

        圓周運(yùn)動(dòng)也是一種“降落”,讓我們對(duì)運(yùn)動(dòng)有了進(jìn)一步的理解.圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)并不是相互獨(dú)立的,而是彼此統(tǒng)一的.在課堂中,我們可以做如下的推導(dǎo).

        如圖4所示,假設(shè)一人造衛(wèi)星在近地軌道做半徑為r,角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng),在t時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn),掃過的圓心角θ=ωr.則有

        圖4 圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是一種“降落”

        月球在徑向做的是“自由落體運(yùn)動(dòng)”.

        4 運(yùn)動(dòng)的疊加

        由于圓周運(yùn)動(dòng)可以看做是勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的疊加,在極短時(shí)間內(nèi)的速度變化如圖5所示.即

        圖5 單次疊加

        對(duì)于勻速率圓周運(yùn)動(dòng),由于疊加只引起速度方向的改變,則多次疊加過程如圖6所示.有

        圖6 多次疊加

        若將Δt→0,則整個(gè)速度變化的過程即為連續(xù)的(圖7).

        海淀區(qū)東片數(shù)學(xué)區(qū)域教研組根據(jù)教師的實(shí)際教學(xué)情況及需求,對(duì)各個(gè)階段的教研活動(dòng)進(jìn)行了細(xì)致分析與精心設(shè)計(jì)。以上教研活動(dòng)各有特點(diǎn)和作用,各項(xiàng)活動(dòng)相輔相成。

        圖7 連續(xù)疊加

        速度矢量從v1到的過程,即為圖4中從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)E的過程.則

        5 應(yīng)用

        從上面的推導(dǎo)可以看出,在極短時(shí)間內(nèi),圓周運(yùn)動(dòng)與拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是一樣的.在相同大小的力的作用下,物體可以做圓周運(yùn)動(dòng),也可以做平拋運(yùn)動(dòng),他們?cè)跇O短時(shí)間內(nèi),看起來是同一種運(yùn)動(dòng).滿足相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律.我們可以將此思路應(yīng)用于浙江省2021年1月份選考試題壓軸題的解答[4].

        【試題】在芯片制造過程中,離子注入是其中一道重要的工序.如圖8所示是離子注入工作原理示意圖,離子經(jīng)加速后沿水平方向進(jìn)入速度選擇器,然后通過磁分析器,選擇出特定比荷的離子,經(jīng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后注入處在水平面內(nèi)的晶圓(硅片).速度選擇器、磁分析器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向均垂直紙面向外;速度選擇器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小均為E,方向分別為豎直向上和垂直紙面向外.磁分析器截面是內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán),其兩端中心位置M和N處各有一個(gè)小孔;偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中電場和磁場的分布區(qū)域是同一邊長為L的正方體,其速度選擇器底面與晶圓所在水平面平行,間距也為L.當(dāng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)不加電場及磁場時(shí),離子恰好豎直注入到晶圓上的O點(diǎn)(即圖中坐標(biāo)原點(diǎn),x軸垂直紙面向外).整個(gè)系統(tǒng)置于真空中,不計(jì)離子重力,打在晶圓上的離子,經(jīng)過電場和磁場偏轉(zhuǎn)的角度都很小.當(dāng)α很小時(shí),有sinα≈tanα≈α,cosα≈1-.求:

        圖8 離子注入工作原理示意圖

        (1)離子通過速度選擇器后的速度大小v和磁分析器選擇出來離子的比荷;

        (2)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加電場時(shí)離子注入晶圓的位置,用坐標(biāo)(x,y)表示;

        (3)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加磁場時(shí)離子注入晶圓的位置,用坐標(biāo)(x,y)表示;

        解:(1)通過速度選擇器離子的速度v=,從磁分析器中心孔N射出離子的運(yùn)動(dòng)半徑為

        由牛頓第二定律

        (2)經(jīng)過電場后,離子在x方向偏轉(zhuǎn)的距離

        離開電場后,離子在x方向偏移的距離

        (3)方法1:如圖9所示,離子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

        圖9 磁場偏轉(zhuǎn)示意圖

        方法2:由于物體所受到的電場力和洛倫茲力的大小一樣,雖然此時(shí)一個(gè)是圓周運(yùn)動(dòng),但在極短時(shí)間內(nèi),力的方向并沒有發(fā)生改變,可以當(dāng)做恒力處理,故在極短時(shí)間內(nèi)仍然與拋體平拋運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移變化、速度變化一致,則可直接寫出答案,即位置坐標(biāo)為

        評(píng)析:本題的最大難點(diǎn)在于磁場運(yùn)算時(shí)的小量近似,由于近似過程比較陌生,學(xué)生答題的正確率并不高.可以從本文的角度進(jìn)行考查,在極短時(shí)間內(nèi),曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡既可以當(dāng)做平拋運(yùn)動(dòng)來處理,又可以當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)來處理.所以,這兩者解答的結(jié)果必然是相同的.明白了這一點(diǎn),只要做出第(1)、(2)小題,第(3)小題便可直接寫出答案,根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性,也可直接寫出第(4)小題的結(jié)果,節(jié)約了大量時(shí)間,并提高了解題的正確率.

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