趙文麗 張 紅 厲桂華 高 峰

（山東農(nóng)業(yè)大學信息科學與工程學院 山東 泰安 271018）

1 引言

彈簧擺是由輕質(zhì)彈簧和懸掛的小球構(gòu)成，在鉛直平面內(nèi)運動的彈簧可以看成是一個雙自由度振動系統(tǒng)，是典型的非線性運動之一.關(guān)于彈簧擺的混沌行為引起了人們的廣泛關(guān)注［1～6］.這些報道從理論求解、數(shù)值分析和計算機模擬等方面對彈簧擺的運動作了一定的研究.彈簧擺的運動可以分解為振動和擺動兩種模式的合成，對應于這兩種運動模式有兩個固有頻率，當這兩個頻率滿足一定條件時，兩個振動模態(tài)強烈地耦合，一種振動會激發(fā)另外一種振動，這種現(xiàn)象就是彈簧擺的內(nèi)共振現(xiàn)象.本文從系統(tǒng)的動力學方程出發(fā)，利用Mathematica數(shù)值計算和模擬功能描繪了彈簧擺運動的軌跡圖、振動曲線和能量曲線，從而使得彈簧擺的運動更加直觀.

2 彈簧擺的動力學方程

如圖1所示，彈簧擺是由質(zhì)量忽略不計的輕質(zhì)彈簧與懸掛著的質(zhì)量為m的小球構(gòu)成.彈簧勁度系數(shù)為κ，原長為l0，彈簧的瞬時長度為l，小球的直徑可以忽略不計.取O點為擺球的平衡位置，沿水平方向為x軸，豎直方向為z軸，建立直角坐標系.系統(tǒng)的勢能為

圖1 彈簧擺

根據(jù)式（1）可以得到系統(tǒng)的動力學方程為

理論上來講，求解式（4）和式（5）構(gòu)成的方程組，就可以分析彈簧擺的運動行為，而實際上，這兩個方程沒有嚴格的解析解，研究該體系的動力學行為需要對這兩個方程進行數(shù)值計算.

3 彈簧擺內(nèi)共振的Mathematica仿真

數(shù)學軟件Mathematica具有強大的數(shù)值計算功能［7］，利用Mathematica的NDSolve命令可以在不作任何近似的情況下直接求得彈簧擺的動力學微分方程（4）、（5）的數(shù)值解.考慮到小球運動速度不大，可以認為過程中阻力與速度成正比，因此對方程（4）、（5）修正如下

其中η是阻力系數(shù)，這主要考慮的是空氣摩擦阻力.為了檢驗數(shù)值計算的精確性，計算中直接選取文獻［6］中的實驗數(shù)據(jù)，m=4.86×10-2kg，κ=2.30 N／m，z0=0.82 m，此時，ωp=3.46 rad／s，ωs=6.89 rad／s，滿足內(nèi)共振條件.兩種不同的初始條件為

初始條件1：x（0）=14.1 cm，z（0）=10.9 cm（對應于小擺幅振動）

初始條件2：x（0）=19.6 cm，z（0）=5.74 cm（對應于大擺幅振動）

分別在兩種不同的初始條件下考察彈簧擺運動軌跡、兩個方向的位移和能量隨時間的變化.

圖2為彈簧擺的運動軌跡，結(jié)果顯示初始條件不同，軌跡所形成的輪廓不同，彈簧擺的運動范圍不同，表明彈簧擺的實際運動軌跡取決于初始條件.但是無論對應哪一種初始條件，彈簧擺的伸縮擺動都只能在一定的空間范圍內(nèi)，其活動范圍都是有界的.

圖2 彈簧擺在不同初始條件下的運動軌跡

圖3和圖4是兩種初始條件下兩個模態(tài)的振動曲線，從圖中可以看出，彈簧擺無論是做小擺幅擺動還是做大擺幅擺動，x模態(tài)和z模態(tài)都有倍頻關(guān)系的內(nèi)共振現(xiàn)象，但是唯有小擺幅的振動，才有強烈耦合的情形.由圖3（b）可以看出，當在z方向的振幅趨于零時，z模態(tài)的相位發(fā)生了突變，而x模態(tài)的相位是連續(xù)的.這些現(xiàn)象都與文獻［6］中的實驗結(jié)果一致.

圖3 初始條件為x（0）=14.1 cm，z（0）=10.9 cm下的振動曲線及相位情況

圖4 初始條件為x（0）=19.6 cm，z（0）=5.74 cm下的振動曲線及相位情況

由于我們只關(guān)心各能量之間的相對關(guān)系，而振動系統(tǒng)的能量與振幅的平方成正比，所以可以用振幅的平方代替能量.圖5和圖6畫出了不同初始條件下兩種模態(tài)能量隨時間的變化曲線，需要說明的是，圖（5）和圖（6）中的縱坐標實際上是振幅的平方.

圖5 初始條件為x（0）=14.1 cm，z（0）=10.9 cm下的相對能量

圖6 初始條件為x（0）=19.6 cm，z（0）=5.74 cm下的相對能量

由圖（5）和圖（6）可知，隨著時間的推移，能量在兩個模態(tài)之間不斷傳遞和轉(zhuǎn)換，因為有阻力的存在，能量并不守恒，總能量逐漸減小.在初始條件1的振動中，兩個模態(tài)的能量變化幅度較大，而在初始條件2的振動中，能量的變化幅度則相對較小，能量曲線相對平緩.圖中黑色曲線為理論模擬結(jié)果，點為文獻［6］的實驗值，可以看出，兩種實驗條件下，理論值和實驗值都吻合得非常好.

4 結(jié)論

本文應用一種彈簧擺系統(tǒng)模型，通過計算機數(shù)值模擬方法分析了彈簧擺的內(nèi)共振現(xiàn)象，通過描繪運動軌跡和振動曲線，將彈簧擺的運動特征直觀地呈現(xiàn)出來，數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果表現(xiàn)出高度的一致性，再一次驗證了應用Mathematica對系統(tǒng)動力學數(shù)值仿真的正確性與可靠性.