范宏卓，張存華

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

0 引言

捕食者-食餌模型是生物數(shù)學(xué)中的一類重要的種群模型[1-3]。假設(shè)種群在空間上的分布是均勻的，那么具有Holling-Ⅱ型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型能夠表示成常微分方程系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)表示食餌在t時刻的種群密度，y(t)表示捕食者在t時刻的種群密度，r表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，K表示食餌的最大環(huán)境容納量，α是捕食者對食餌的捕獲率，m為半飽和常數(shù)，μ表示捕獲的食餌到捕食者種群的轉(zhuǎn)化率，d表示捕食者種群的死亡率。在建立模型(1)時并沒有考慮捕食者種群之間的競爭關(guān)系，但大量的實驗和觀測數(shù)據(jù)表明捕食者之間存在競爭。因此一個更合理的捕食者-食餌模型應(yīng)該建立在比率依賴?yán)碚撋蟍4-5]，這意味著捕食者的增長率應(yīng)該是一個關(guān)于食餌和捕食者數(shù)量比率的函數(shù)，滿足這種功能特性的功能反應(yīng)函數(shù)叫比率依賴的功能反應(yīng)函數(shù)[6-7]。具有比率依賴的Michaelis-Menten型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型具有形式

(2)

實際上，在種群環(huán)境中由于捕食者和食餌的遷徙行為，種群的數(shù)量在空間上的分布并不是均勻的，然而模型(2)忽視了種群空間分布的不均勻性。基于此，文獻[8]提出了一類考慮種群空間分布的模型

(3)

另一方面，種群的成熟需要一定時間，因此一個更加實際的模型應(yīng)當(dāng)考慮時滯因素的影響?；谶@些原因，本文考慮以下具有時滯和比率依賴的功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌反應(yīng)擴散種群模型

(4)

其中時滯τ是非負常數(shù)。本文主要研究系統(tǒng)(4)正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E*=(u*,v*)的全局漸近穩(wěn)定性。

1 正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的全局穩(wěn)定性

使用時滯反應(yīng)擴散方程的上下解方法[9-12]分析系統(tǒng)(4)的正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解(u*,v*)的全局漸近穩(wěn)定性。

引理1 設(shè)ma-c>0且令

證明由于ma-c>0，于是

從而ψ(s)>0。容易得出

因為

所以

(5)

令(u(x,t),v(x,t))為系統(tǒng)(4)的解。則

(6)

證明由拋物型偏微分方程的極值原理,易證對任意x∈Ω和t>0，u(x,t)和v(x,t)都是非負的。又由模型(4)的第一個式子可得

(7)

由(7)式和拋物型偏微分方程的比較原理知

由比較原理知

再由ε的任意性得

其中,

由比較原理和ε的任意性可以得到

所以有

由比較原理知

再由ε的任意性得

(8)

證畢。

其中,

重復(fù)引理2和上述的推導(dǎo)過程并且令

其中

(9)

(10)

(11)

即

(12)

假設(shè)

(13)

根據(jù)ψ(s)單調(diào)遞減，φ(s)單調(diào)遞增和(13)式，

即

(14)

所以由數(shù)學(xué)歸納法可得(11)式成立，證畢。

(15)

(16)

定理1 若條件(Ⅰ)或者(Ⅱ)成立，則系統(tǒng)(4)的正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E*是全局穩(wěn)定的。

證明由

容易得出

bψ(s)2-aψ(s)=s(ma-c-mbψ(s))。

(17)

(18)

(19)

(18)式減去(19)式得到

(20)

從而

(21)

(18)式加上(19)式得到

從而

(22)

再將(21)式代入(22)式得

將上式化簡后得

(23)

再根據(jù)(21)式可以計算得到

(24)

2 小結(jié)

本文在文獻[8]中所提出的捕食者-食餌模型的基礎(chǔ)上，研究了一類具有時滯的反應(yīng)擴散捕食者-食餌模型，證明了該模型正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的全局穩(wěn)定性。由于本文考慮了種群成熟要消耗時間的時滯，因此本文所研究的模型比文獻[8]中的模型更具有一般性。并且本文所證明的定理還表明了特定時滯不會破壞模型正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的全局穩(wěn)定性。