■楊 立 劉大鳴(特級教師)

2021 年高考對立體幾何的考查主要是圍繞“空間問題平面化,模型化和代數化”展開的。下面以2021 年高考題為載體,探究“空間位置關系”問題求解的思維方法,希望對同學們的學習有所啟示。

聚焦1：“平行移動線段法”求異面直線所成的角

例1 (2021年高考全國卷)如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為( )。

圖1

聚焦2：幾何法證明空間中的“垂直或平行關系”

例2 (2021 年高考全國卷)如圖2 所示,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM。

圖2

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD。

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積。

解：(1)尋找線面垂直,再利用判定定理證明面面垂直。

因為PD⊥底面ABCD,AM?平面ABCD,所以PD⊥AM。因為PB⊥AM,PB∩PD=P,所以AM⊥平面PBD。又因為AM?平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD。

(2)通過解三角形,求出矩形的另一邊,然后求出體積。

回味：證明線線垂直的常用方法:兩條直線所成的角為90°;等腰三角形三線合一;勾股定理的逆定理;菱形對角線互相垂直;線面垂直的定義及性質定理。證明線面垂直的常用方法:線面垂直的判定定理;面面垂直的性質定理;兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直;一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則與另一個也垂直。證明線線平行的方法:三角形中位線法;平行四邊形法;公理4;線面平行的性質定理;面面平行的性質定理;線面垂直的性質定理。判斷線面平行的方法:線面平行的定義;線面平行的判定定理;面面平行的性質定理。

聚焦3：幾何法求二面角的平面角

例3 (2021年新高考卷)如圖3,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點。

圖3

(1)證明:AO⊥CD。

(2)若△OCD是邊長為1 的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積。

解：(1)由AB=AD,O為BD中點,可得AO⊥BD。因為平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD。又CD?平面BCD,所以AO⊥CD。

(2)作EF⊥BD于點F,作FM⊥BC于點M,則EF//AO。

回味：利用定義法求作二面角的平面角,要合理選擇棱上的點,且過這點在兩個平面內分別引棱的垂線,這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角。

若PB的中點為M,BC的中點為N,求AC與MN夾角的余弦值。

圖4