文|孫保華

滲透數(shù)學(xué)模型思想，就是針對抽象的數(shù)學(xué)概念和命題，引導(dǎo)學(xué)生在情境中展開數(shù)學(xué)抽象活動，利用學(xué)生能夠理解的具體實例來說明，通過實例來幫助其理解抽象的數(shù)學(xué)知識。因此教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程，從相對簡單到相對復(fù)雜、從相對具體到相對抽象，慢慢積累經(jīng)驗，探索解決問題的基本途徑，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，感悟模型思想，體驗?zāi)Ｐ偷膬r值，提升其應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識和能力。

一、多維感知，充分體驗

數(shù)學(xué)模型是解決一類問題的基本數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，其本質(zhì)是從單個問題的解決抽象到一類實際問題的解決，關(guān)注的對象是具有共性的一類事物，因此教師要給學(xué)生提供豐富的感性材料，讓其能夠多側(cè)面、多維度感知這類對象的特征或數(shù)量關(guān)系，把握其中蘊含的共同特征、結(jié)構(gòu)，歸納、提煉解決問題的基本模型。

例如，蘇教版四年級下冊《乘法分配律》的教學(xué)，可以圍繞“運動會”設(shè)置一個情境串。

情境一：學(xué)校進(jìn)行跳繩比賽，四年級有6個班，五年級有4個班，每個班都領(lǐng)取12根跳繩，四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？

師：要求一共要領(lǐng)多少根跳繩，可以怎樣列式計算？

生：12×6+12×4=120（根）。

生：12×（6+4）=120（根）。

師：因為這兩個算式的結(jié)果都是120，所以我們可以用等號把這兩個算式連接起來組成一個等式。

師：誰能說一說這兩個算式表示的意義？

生：在第一個算式中，12×6表示四年級一共領(lǐng)取的跳繩根數(shù)，12×4表示五年級一共領(lǐng)取的跳繩根數(shù)，也就是分別算出兩個年級一共領(lǐng)取的跳繩根數(shù)，再合起來就表示四、五年級一共領(lǐng)取的跳繩根數(shù)。

生：在第二個算式中，6+4表示四、五年級一共的班級數(shù)，再乘12，就表示四、五年級一共領(lǐng)取的跳繩根數(shù)。

師：這是兩種不同的思路，所以可以列出兩個不同的算式。

教師結(jié)合圖示引導(dǎo)學(xué)生說說想法。

生：12×6表示6個12，12×4表示4個12，合起來就是10個12，而12×（6+4）就表示10個12，因此這兩個算式的結(jié)果是相等的。

師：這位同學(xué)是從乘法的意義來理解這兩個算式都表示10個12，所以不計算就知道它們的結(jié)果是相等的。

……

很多教師在教學(xué)中往往只會出示上述這一素材，學(xué)生感知是不夠豐富的，不利于學(xué)生對乘法分配律這一模型的正確建構(gòu)。所以可以再出示下面兩個素材繼續(xù)讓學(xué)生自主探究。

情境二：四、五年級需要購買一批運動服，上衣每件需85元，褲子每條需55元，購買6套這樣的運動服共需多少元？

情境三：加工這樣的一套運動服需要用多少布料？（如下圖）

生活情境中的不同問題有助于學(xué)生比較、分析，揚棄非本質(zhì)屬性，形成對乘法分配律的深刻認(rèn)識。在模型的建立過程中可以多層次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行感知：先讓學(xué)生列式計算比較，由結(jié)果相等得到等式；接著讓學(xué)生進(jìn)行事理的數(shù)學(xué)概括，表述自己的解題思路；然后引導(dǎo)學(xué)生由事理向算理演變，用乘法的意義進(jìn)行解釋；最后進(jìn)行模型的猜想和驗證，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)模型。

二、多元表征，展現(xiàn)過程

在教學(xué)中教師要讓學(xué)生充分感知素材并結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知和生活經(jīng)驗，鼓勵自主探究，適時引導(dǎo)學(xué)生用顯現(xiàn)的方式表征模型。同時每個學(xué)生的認(rèn)知水平不同，思維方式各異，解決問題的思路不相同，表征模型的方式也不盡相同，而多元表征正是學(xué)生個性化解讀與理解的過程。因此教師在教學(xué)過程中要讓學(xué)生有交流的機會，充分展示其思維過程并多元表征數(shù)學(xué)模型，這樣不僅有利于豐富學(xué)生對知識內(nèi)涵的理解，也有利于學(xué)生加深對模型結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。

例如，蘇教版六年級下冊《解決問題的策略》的教學(xué)，解決如下一個實際問題：雞和兔一共有8只，它們的腿有22條，雞和兔各有多少只？

師：現(xiàn)在你們能用自己的方法來解決“雞和兔各有幾只”嗎？

生：我用畫圖的方法。

在表征的過程中，有些學(xué)生是把8個圓都看成兔，先畫出了32只腳后，再擦去多算的10只腳；還有些學(xué)生是把8個圓都看成雞，先畫出了16只腳后，再添加少算的6只腳。

生：我用列表的方法。

?

生：我用列方程（一元一次）的方法。

解1：設(shè)兔有x只。

4x+2（8-x）=22

解2：設(shè)雞有x只。

2x+4（8-x）=22

生：我也是用列方程（二元一次）的方法。

（雞的只數(shù)）×2+（兔的只數(shù)）×4=22

雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=8

生：我用的是算術(shù)方法。

假設(shè)8只全部是兔。

4×8=32（只）

32-22=10（只）

4-2=2（只）

10÷2=5（只）……雞的只數(shù)

8-5=3（只）……兔的只數(shù)

生：我用的也是算術(shù)方法。

假設(shè)8只全部是雞。

2×8=16（只）

22-16=6（只）

4-2=2（只）

6÷2=3（只）……兔的只數(shù)

8-3=5（只）……雞的只數(shù)

學(xué)生在解決“雞和兔各有幾只”的問題時，可以用畫圖來表征，也可以用列表來呈現(xiàn)思考過程，還可以用代數(shù)思維（一元一次方程和二元一次方程）或算術(shù)思維（假設(shè)法）來解決問題。同時每一種方法背后都有兩種思考的順序，可以從假設(shè)8只都是雞開始推理，也可以從假設(shè)8只都是兔開始推理?？傊處煂λ夭牡暮侠黹_發(fā)，讓學(xué)生進(jìn)行個性化的多元表征，不僅可以滿足不同層次學(xué)生的認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)需求，還可以讓學(xué)生實現(xiàn)模型的自主建構(gòu)。

三、適度變式，強化結(jié)構(gòu)

學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，本質(zhì)上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了建模過程，抽象、概括得到某一數(shù)學(xué)模型后，教師要將數(shù)學(xué)模型適度的變式，引導(dǎo)學(xué)生比較各種情況之間的聯(lián)系，從而使建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵不斷得到豐厚。同時也有助于學(xué)生感悟原型間的聯(lián)系，強化模型結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的魅力。

例如，蘇教版三年級上冊《間隔排列》的教學(xué)。

師：把△和○一個隔一個地排成一行，如果△有8個，○最少需要多少個？最多需要多少個？請同學(xué)們嘗試去擺一擺，畫一畫。

生：我發(fā)現(xiàn)如果兩端物體不同（如下圖），○則需要8個。

△○△○△○△○△○△○△○△○

○△○△○△○△○△○△○△○△

生：我發(fā)現(xiàn)如果兩端物體都是△（如下圖），○則需要7個。

△○△○△○△○△○△○△○△

師：如果兩端都是○呢？

生：如果兩端都是○（如下圖），○則需要9個。

○△○△○△○△○△○△○△○△○

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察，把△和○一個隔一個地排成一行，共出現(xiàn)了幾種情況？

生：一共出現(xiàn)了三種情況。

生：一種是○的個數(shù)比△少1，即○有7個。

生：一種是○的個數(shù)與△同樣多，即○有8個。

生：一種是○的個數(shù)比△多1，即○有9個。

生：我發(fā)現(xiàn)○最少需要7個，最多需要9個。

師：一一間隔排列的兩種物體，在什么情況下兩種物體的數(shù)量相等，在什么情況下兩種物體的數(shù)量相差1？

生：如果兩端物體不同，兩種物體的數(shù)量正好相等。

生：如果兩端物體相同，兩種物體的數(shù)量相差1。

這樣的教學(xué)充分利用各種數(shù)學(xué)問題串成問題鏈，形成系列化的思維變式資源。引導(dǎo)學(xué)生通過操作得出結(jié)論，從不同角度加深體驗，以進(jìn)一步完善對間隔排列的兩種物體間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，進(jìn)一步認(rèn)識間隔排列的規(guī)律，從而幫助學(xué)生強化并豐富了模型結(jié)構(gòu)。

四、有效拓展，推廣應(yīng)用

模型思想的滲透，要從具體、形象的實例或現(xiàn)實情境開始，通過多次的抽象、概括，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。同時要引導(dǎo)學(xué)生通過思維發(fā)散和聯(lián)想將模型加以擴展和推廣。因此我們要將一個問題的解決，拓展為解決一類問題，幫助學(xué)生運用歸納推理，由特殊到一般，逐步逼近問題的本質(zhì)，運用該模型解決問題并加以推廣應(yīng)用。

例如，蘇教版五年級上冊《用字母表示數(shù)》的教學(xué)，用小棒照樣子擺一行三角形。

?

師：請同學(xué)們把表格填寫完整，如有困難就用小棒擺一擺。

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)擺8個三角形需17根小棒，先算增加的7個三角形需2×7=14根，再加上第一個三角形的3根，共17根。

生：我發(fā)現(xiàn)擺10個三角形需21根小棒，把每個三角形都看作需要2根小棒就是2×10=20根，再加上第一個三角形的1根小棒，共21根。

生：我還發(fā)現(xiàn)擺n個三角形需3+2（n-1）根小棒，每增加一個三角形需2根小棒，多擺n個三角形需增加2（n-1）根小棒，再加上第一個三角形的3根小棒就可以了。

生：我發(fā)現(xiàn)擺n個三角形需2n+1根小棒，即每增加一個三角形都需要2根小棒，最后再補開頭三角形的1根小棒就可以了。

師：剛才幾位同學(xué)說得都非常好。我們發(fā)現(xiàn)可以用3+2（n-1）或2n+1來表示一共需要的小棒根數(shù)。

學(xué)生解決了擺n個三角形所需小棒的根數(shù)，并建立了這一實際問題的數(shù)學(xué)模型。一般教學(xué)不能到此為止，還需進(jìn)一步推廣。教師順勢又出示一組題讓學(xué)生嘗試解決。

連續(xù)擺n個正方形，要（ ）根小棒。

連續(xù)擺n個五邊形，要（ ）根小棒。

連續(xù)擺n個六邊形，要（ ）根小棒。

連續(xù)擺n個a邊形，要（ ）根小棒。

學(xué)生經(jīng)歷建模過程后，教師組織學(xué)生將此數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步拓展和遷移，多數(shù)學(xué)生能夠以此類推，寫出一般的表達(dá)式（a-1）n+1，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得到豐富，有助于學(xué)生加深對此模型內(nèi)涵的理解。

總之，在教學(xué)中要運用各種有效的策略，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，成功構(gòu)建好一個個數(shù)學(xué)模型，形成結(jié)構(gòu)化的知識，才能讓學(xué)生在解決問題的過程中，識別模型、運用模型，理解模型的價值，感受數(shù)學(xué)的魅力。