宋文良，楊崢崢

(中國船舶集團有限公司第八研究院，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

隨著電磁場數(shù)值計算的不斷發(fā)展，矩量法(MoM)已經(jīng)成為解決與電磁輻射與散射問題相關的積分方程的重要方法。然而這種方法在計算過程中引入了格林函數(shù)，需要解復雜的矩陣方程，尤其對于電大物體來說，會形成一個規(guī)模較大且稠密的阻抗矩陣，因此求解時的計算范圍很大并且需要大量的時間。

本文從阻抗矩陣元素的填充過程以及本身的性態(tài)出發(fā)，立足于RWG基函數(shù)定義的三角區(qū)域,采用質(zhì)心切分法對阻抗矩陣元素進行高效填充，同時還可以避免在元素計算過程中出現(xiàn)的奇異性問題；然后在質(zhì)心切分法的基礎上，將離散小波變換與矩量法相結(jié)合，經(jīng)過小波變換矩陣的處理，填充完成后的稠密的阻抗矩陣會變得稀疏；最后經(jīng)過仿真驗證了本文所提算法的正確性和高效性。

1 質(zhì)心切分法

首先建立起具有普遍應用性的電場積分方程，通過位函數(shù)理論,可以得到散射場與入射場之間的關系：

()=-▽()-jω()

(1)

式中：()表示磁矢位；()表示電標位。

()、()可分別表示為:

(2)

(3)

式中：()表示目標表面的等效電流；()表示均勻無界空間的格林函數(shù)。

將式(2)和式(3)代入到式(1)中，可以得到：

(4)

式中：表示由等效電流產(chǎn)生的電場散射算子。

由理想導體表面邊界條件可知，導體表面上電場的切向分量為0，因此電場積分方程可以表示為：

(5)

使用伽略金法，采用RWG基函數(shù)作為權函數(shù)離散電場積分方程,阻抗矩陣元素可以表示為：

(6)

式中：(),(′)表示RWG基函數(shù)。

采用矩量法對電場積分方程求解時，結(jié)合RWG基函數(shù)的求解區(qū)域，可將待求電磁量表示為基函數(shù)疊加的形式。由此就會形成一個含有格林函數(shù)的二重積分，如式(6)所示。此二重積分的展開過程實質(zhì)上就是阻抗矩陣元素填充的過程。由以上推導過程可以看出，這個填充過程的復雜程度實際是由磁矢位和電標位所決定的。因此立足于RWG基函數(shù)定義的求解區(qū)域，采用一種特殊的三角分塊法——質(zhì)心切分法對阻抗矩陣元素進行填充。

如圖1所示，導體的表面通過RWG基函數(shù)進行三角剖分后，采用質(zhì)心切分法，將每個劃分的三角形單元細分為9個相同的小三角形塊。

圖1 質(zhì)心切分法示意圖

圖1中黑色的大點位于大三角塊質(zhì)心的位置，將小三角塊的質(zhì)心作為源點，大三角形的質(zhì)心作為場點，此時可以通過每個子三角形上質(zhì)心處值的加權總和來近似被積數(shù)。所有的元素采用相同的公式計算，從而可以減小阻抗矩陣元素的填充時間，提高填充阻抗矩陣的效率。函數(shù)在原始三角形上的積分可以表示為：

(7)

根據(jù)質(zhì)心切分法可以將磁矢位和電標位重新寫為：

(8)

(9)

因此阻抗矩陣可以表示為：

(10)

從原理公式的推導上可以看出，這種方法能簡化磁矢量與電標量的計算過程，從而降低阻抗矩陣元素的計算復雜度；同時由于被劃分的9個小三角塊位置的特殊性，剛好使得場點、源點分離，此時對于阻抗矩陣元素填充的計算就不需要區(qū)分奇異部分和非奇異部分。

2 小波矩量法

上述的質(zhì)心切分法在填充阻抗矩陣元素的同時，解決了計算過程中可能會出現(xiàn)的奇異性問題，實現(xiàn)了阻抗矩陣元素填充的高效性；但是實際上并沒有改變阻抗矩陣本身的性質(zhì)，因此對于矩陣方程的求解是沒有任何影響的。矩量法在計算散射問題時引入了格林函數(shù)作為積分核函數(shù)，盡管它可以準確地描述電磁場的傳播過程，但是它生成的矩陣是一個滿秩的稠密矩陣，計算復雜。由于求解線性方程組的復雜度與系數(shù)矩陣中非零元素的數(shù)量有關，零元素越多，系數(shù)矩陣越稀疏，計算復雜度就越低。針對這一情況，在質(zhì)心切分法的基礎上，將離散小波變換與矩量法相結(jié)合，經(jīng)過小波變換矩陣的處理，填充完成后的稠密的阻抗矩陣將變得稀疏。

通過矩量法求解電場積分方程，同時未知電流可以表示為RWG基函數(shù)的疊加形式，矩陣方程如下所示：

=

(11)

式中：,,分別表示阻抗矩陣，待求解的列向量，已知的激勵向量。

設是一個規(guī)模為×的非奇異矩陣，為小波變換矩陣。對于任意向量，由于小波基具有多分辨率以及消失矩特性。因此·相當于對向量進行小波分解。將小波變換矩陣引入到傳統(tǒng)的矩量法中,矩陣方程可以重新表示為：

′′=′

(12)

矩陣的作用就是稀疏阻抗矩陣。對于任意的阻抗矩陣，它的小波變換矩陣為。為了更合理地對阻抗矩陣進行稀疏，選擇閾值如下所示：

(13)

式中：表示矩陣的維數(shù)，表示控制變量。

當矩陣元素小于這個閾值時就被置為零。矩陣通過矩陣變?yōu)榱讼∈桕?。與直接求解矩陣相比，求解′矩陣會減少計算時間，小波變換矩陣的逆矩陣為：

()′=

(14)

3 算法仿真分析

為了驗證上述方法的正確性和高效性,使用電場積分方程分析理想導體球與導體平板的雙站雷達截面積(RCS)。對于每一個例子，通過RWG基函數(shù)離散導體表面，采用伽略金法和質(zhì)心切分法獲得阻抗矩陣，然后經(jīng)過小波變換稀疏得到阻抗矩陣。傳統(tǒng)矩量法計算得到的阻抗矩陣是嚴格對稱的，但是由于使用了質(zhì)心切分法填充阻抗矩陣元素，在計算過程中使用質(zhì)心代替了任一點的計算，所以使得阻抗矩陣并不是嚴格對稱的，因此本文采用廣義最小余量法這一迭代方法進行矩陣方程的求解。

首先對尺寸為045的理想導體球進行分析。入射波頻率為300 MHz，沿-方向入射，電場的極化方向沿+方向，電場強度取為1 V/m，剖分物體表面的三角形單元平均尺寸為0.1，小波分析中閾值標準=10。雙站RCS描繪電磁散射特性，入射角度為(,)=(0°,0°)，散射波觀察角度為(,)=(0°,-180°,0°)。第2個例子采用邊長為5×5的理想導體平板，仿真條件與導體球的相同。圖2和圖3分別給出了傳統(tǒng)矩量法、質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換矩量法的雙站RCS仿真曲線。

圖2 0.45λPEC球的雙站RCS

圖3 5λPEC球的雙站RCS

可以看出，質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換-矩量法與傳統(tǒng)方法的計算結(jié)果基本一致，驗證了這2種算法的正確性與有效性，同時也可以看出改進后的算法具有良好的計算精度。表1和表2分別記錄了導體球與導體平板在傳統(tǒng)矩量法，質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換-矩量法下的矩陣填充時間與計算總時間，3種方法的未知量數(shù)目相同。

表1 3種算法的計算時間比較(導體球)

表2 3種算法的計算時間比較(導體平板)

相比于傳統(tǒng)的矩量法，由于質(zhì)心切分法在填充阻抗矩陣時計算簡單，不需要區(qū)分奇異性與非奇異性，因此大大提高了填充阻抗矩陣的效率。從上述2個例子可以看出，隨著未知量的增加，減少的填充時間也是在增加的。這也表明了隨著目標電尺寸的增大，質(zhì)心切分法的效率也會隨之增加。從計算總時間上看，隨著未知量的增加，節(jié)省的計算總時間也隨之在增加。但是從質(zhì)心切分-小波變換-MoM與質(zhì)心切分-MoM的計算總時間可以看出，若僅采用小波變換的方法，實際上對于計算總時間的減少是有限的。這是由于采用矩量法計算目標電磁散射問題的過程中，耗時最多的就是填充矩陣元素的過程。

4 結(jié)束語

本文提出了一種由小波矩量法和質(zhì)心切分法相結(jié)合的算法，質(zhì)心切分法可以加快阻抗矩陣元素的填充，并且可以有效避免計算過程中的奇異性問題。小波矩量法可以使矩陣方程稀疏化，從而被快速求解。數(shù)值算例表明改進后的方法可以顯著降低阻抗矩陣的填充時間與求解時間，證明了本文所提方法的正確性和有效性。