魏 杰，易家樂(lè)，喻慧琴，楊 帆，田 勇，何小風(fēng)，里 霖，胡曉軍

(1.武漢理工大學(xué) 交通與物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學(xué) 理學(xué)院,湖北 武漢 430070)

重力加速度參數(shù)廣泛應(yīng)用于地球物理、空間科學(xué)、航空航天等領(lǐng)域.高精度的重力加速度值的測(cè)量對(duì)重力場(chǎng)模型建立與完善、自然災(zāi)害預(yù)警、礦物勘探、大地水準(zhǔn)面繪制等領(lǐng)域有著重要的作用[1,2].重力加速度測(cè)量方法主要有單擺法、自由落體法、平衡法、滴水法、斜面法、平拋法等[3-5].這些方法的測(cè)量原理都是將本地重力加速度值與特定的運(yùn)動(dòng)形式聯(lián)系起來(lái).此外，在科研領(lǐng)域最為精確的測(cè)量重力加速度的方法為原子干涉法[6]，該方法對(duì)于設(shè)備以及測(cè)量環(huán)境的要求非常高.

在眾多重力加速度測(cè)量方法中，單擺法具有裝置簡(jiǎn)單且操作方便的優(yōu)點(diǎn)，因此成為物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用的測(cè)量重力加速度的方法[7].該方法是借助本地重力加速度值與單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期T之間的關(guān)系，通過(guò)測(cè)量單擺擺長(zhǎng)和周期數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)重力加速度值的測(cè)定.準(zhǔn)確測(cè)量單擺運(yùn)動(dòng)周期T是實(shí)現(xiàn)高精度重力加速度值測(cè)量的關(guān)鍵.

然而，傳統(tǒng)的單擺法一般是借助秒表和人工計(jì)時(shí)來(lái)測(cè)量T的.由于人為誤差等因素，在周期記錄上往往存在較大誤差，而且這種誤差是無(wú)法具體量化分析的.針對(duì)這一問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)工作者對(duì)單擺裝置進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn).例如，孫阿明[8]借助激光器以及光電探頭組成類似于“光電門”的實(shí)驗(yàn)裝置，使單擺在擺動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)周期性的遮擋動(dòng)作，導(dǎo)致光電探頭內(nèi)的光敏二極管的光信號(hào)出現(xiàn)周期性變化，從而測(cè)定單擺的周期T.此外，姜先策和張宏菊[9]利用霍爾開(kāi)關(guān)傳感器對(duì)單擺裝置進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了周期的多次測(cè)量，提高了周期測(cè)量的準(zhǔn)確性.

1 工作原理

本文設(shè)計(jì)了一種基于單擺法結(jié)合電磁感應(yīng)原理的本地重力加速度值的測(cè)量方案.該方案成功地將單擺的周期運(yùn)動(dòng)與線圈內(nèi)部感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)信號(hào)建立聯(lián)系.實(shí)驗(yàn)信號(hào)由示波器采集，實(shí)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)周期的“可視化”.本設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案不僅可以快速地實(shí)現(xiàn)重力加速度值的準(zhǔn)確測(cè)量，同時(shí)也簡(jiǎn)化了相應(yīng)測(cè)量裝置的安裝，降低了對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境和硬件配置的要求.

1.1 理論重力加速度

地表的物體受到的萬(wàn)有引力F可以看成是重力mg和自轉(zhuǎn)向心力Fr的合力，即

F=mg+Fr

(1)

如果認(rèn)為地球是均勻的剛體，則F的大小在不同經(jīng)緯度地點(diǎn)是相同的，但是Fr的大小卻是隨緯度φ的變化而變化的，有

Fr=mrω2cosφ

(2)

此處r為地球半徑，ω是其自轉(zhuǎn)的角速度.本實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)為湖北省武漢市.據(jù)此，將武漢市的φ值代入上式，得到武漢市重力加速度的參考值為g=9.793 6 ms-2，此為理論重力加速度.

1.2 方案設(shè)計(jì)原理

本方案設(shè)計(jì)的主體思路是借助單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期T與本地重力加速度g之間的關(guān)系：

(3)

其中l(wèi)0是單擺擺線的長(zhǎng)度，r是擺球的半徑，二者之和代表單擺的擺長(zhǎng).這兩個(gè)量在實(shí)驗(yàn)室可以通過(guò)多次測(cè)量達(dá)到希望的數(shù)據(jù)精度.可見(jiàn)，應(yīng)用單擺法測(cè)量本地重力加速度的關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)周期T的準(zhǔn)確測(cè)量.

本設(shè)計(jì)方案將電磁感應(yīng)原理與單擺的周期運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，將單擺的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的周期變化，實(shí)現(xiàn)周期的準(zhǔn)確測(cè)量.圖1是設(shè)計(jì)原理的示意圖.如圖1左圖所示，本方案使用永磁球體作為擺球，在其正下方放置由純銅漆包線制作的多匝線圈.當(dāng)永磁球體在線圈上方做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，將導(dǎo)致線圈內(nèi)部磁通量發(fā)生周期變化，從而出現(xiàn)周期性的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)信號(hào).使用示波器記錄這一信號(hào)，實(shí)現(xiàn)單擺運(yùn)動(dòng)到電動(dòng)勢(shì)信號(hào)的轉(zhuǎn)化.明顯的，只要準(zhǔn)確記錄了電動(dòng)勢(shì)信號(hào)，就可以得到單擺的運(yùn)動(dòng)周期.

圖1右圖是在一次實(shí)際測(cè)量過(guò)程中采集的電動(dòng)勢(shì)信號(hào).圖1左圖和右圖之中所標(biāo)記的數(shù)字是對(duì)應(yīng)的，表示磁球的運(yùn)動(dòng)與電動(dòng)勢(shì)信號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為了獲得較為明顯的電動(dòng)勢(shì)信號(hào)，本文使用了多匝線圈(本次實(shí)驗(yàn)為80匝)，平鋪在一個(gè)平面之上.所以，最終示波器采集到的電動(dòng)勢(shì)信號(hào)是多個(gè)存在一定相位差的信號(hào)的疊加，并非理想的簡(jiǎn)諧函數(shù)曲線.這并不影響準(zhǔn)確判斷信號(hào)的周期，如圖1所示，點(diǎn)1到點(diǎn)9之間的時(shí)間間隔即為單擺的運(yùn)動(dòng)周期.由于不能保證磁球的平衡位置正好處于線圈中心的正上方，圖1中信號(hào)幅值并不完全相等.明顯的，這并不影響周期的判讀.

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理示意圖

在磁球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線圈之中的感應(yīng)電流會(huì)產(chǎn)生附加磁場(chǎng)，此磁場(chǎng)將會(huì)與磁球相互作用，可能使得磁球的運(yùn)動(dòng)偏離簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律.本文認(rèn)為此電磁阻尼是可以忽略的.首先，測(cè)量的電動(dòng)勢(shì)信號(hào)一般在20 mV以內(nèi)，在測(cè)量電動(dòng)勢(shì)信號(hào)時(shí)，實(shí)驗(yàn)選取內(nèi)阻是1 MΩ的示波器，這樣可以極大的弱化線圈之中的感應(yīng)電流.下文粗略估計(jì)了阻尼的量值范圍，大約是重力量值的10-12.此外，在實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)時(shí)，在線圈下方安裝了升降臺(tái)(見(jiàn)下文)，通過(guò)改變線圈與磁球之間的垂直距離，從而改變感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電流，最終改變電磁阻尼的大小.實(shí)驗(yàn)測(cè)量了多個(gè)不同距離下的周期和對(duì)應(yīng)的重力加速度，發(fā)現(xiàn)相互之間的差別完全在誤差范圍之內(nèi)，并且不呈現(xiàn)規(guī)律性，從而在實(shí)驗(yàn)上證明了電磁阻尼是可以忽略的.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

本文設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示.該裝置使用電木板作為整個(gè)裝置的底座，使用有機(jī)玻璃(亞克力)作為立桿，使用鋁合金橫桿用于固定擺線.橫桿末端是兩塊鋁片，將擺線置于其間并使用螺絲夾緊.使用無(wú)彈力柔線作為擺線，擺線末端與永磁球體連接，連接處使用環(huán)氧樹(shù)脂做黏結(jié)，力圖使得二者之間滿足點(diǎn)接觸的理想狀態(tài).磁球下方是使用細(xì)銅絲制作的80匝感應(yīng)線圈.線圈固定于亞克力平臺(tái)之上，平臺(tái)高20 cm.平臺(tái)與升降臺(tái)連接，升降臺(tái)通過(guò)螺釘固定在底座上面.升降臺(tái)側(cè)面有刻度，精度為0.1 mm.升降臺(tái)可以使亞克力平臺(tái)上下移動(dòng)50 mm，用來(lái)改變線圈與磁球之間的垂直距離.在亞克力平臺(tái)上端設(shè)計(jì)了卡槽，用來(lái)限定撥桿的運(yùn)動(dòng).磁球的靜止釋放是通過(guò)一根塑料撥桿實(shí)現(xiàn)的，首先將撥桿插入卡槽，將磁球緩慢撥到預(yù)先設(shè)定的偏離位置，繼續(xù)向外沿卡槽水平移動(dòng)撥桿，磁球?qū)⒆詣?dòng)釋放.相比于直接使用手釋放，這種方式可以避免磁球在擺動(dòng)的同時(shí)可能出現(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng).線圈兩端與濾波器連接，信號(hào)通過(guò)濾波器濾除噪聲之后被示波器采集.

本文發(fā)現(xiàn)即使將磁球移開(kāi)，靜置線圈兩端也可以產(chǎn)生幅值大約為5～10 mV的噪聲信號(hào)，并且噪聲的頻率在50 Hz以上.噪聲將嚴(yán)重影響對(duì)于周期的判讀，使得實(shí)驗(yàn)方案基本不可實(shí)現(xiàn).考慮到單擺運(yùn)動(dòng)的頻率大約在1～2 Hz，本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)了一種低通濾波器模塊.當(dāng)信號(hào)頻率高于10 Hz時(shí)，低通濾波器將會(huì)過(guò)濾掉這些信號(hào)，僅允許10 Hz以下的信號(hào)通過(guò).濾波器需要提供5～10 V的恒定電壓方可正常工作，本實(shí)驗(yàn)使用大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室通用的恒壓源供電，圖2中未畫(huà)出.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置(導(dǎo)線及恒壓源未畫(huà)出)

3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集過(guò)程如下：

Step1：使用游標(biāo)卡尺測(cè)量磁球的直徑，多次測(cè)量取均值.

Step2：在懸掛狀態(tài)下使用精度為1 mm的米尺測(cè)量擺線長(zhǎng)度，測(cè)量10次取均值.

Step3：調(diào)節(jié)升降臺(tái)，使得線圈與磁球盡量靠近.本次實(shí)驗(yàn)將這個(gè)最近距離d0選擇在3 mm左右.

Step4：使用恒壓電源給濾波器供電，設(shè)置示波器時(shí)基和電壓顯示分度，選擇觸發(fā)電平為2 mV，上升沿觸發(fā)模式.

Step5：將磁球靜止置于線圈正上方，使用撥桿緩慢撥動(dòng)磁球，使其偏離平衡位置.繼續(xù)水平移動(dòng)撥桿，磁球在預(yù)定的擺幅位置釋放.本次實(shí)驗(yàn)擺長(zhǎng)約為70 cm，計(jì)算之后得到擺球偏離平衡位置只要不大于6 cm就可以保證磁球的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即擺角小于5°.一般使其離開(kāi)平衡位置4 cm時(shí)釋放.

Step6：在磁球擺動(dòng)過(guò)程中按下示波器“單次觸發(fā)”按鈕，示波器將自動(dòng)觸發(fā)并且記錄電動(dòng)勢(shì)信號(hào).

Step7：在示波器上使用光標(biāo)工具判讀周期，也可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移到電腦使用其它軟件(如繪圖軟件Origin)精確判讀.示波器可以設(shè)置較長(zhǎng)時(shí)基，這樣可以采集到多個(gè)周期的信號(hào)，如圖3所示.

Step8：調(diào)節(jié)升降臺(tái)，改變線圈與磁球之間的相對(duì)高度，重復(fù)步驟Step4—Step7.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本次實(shí)驗(yàn)使用的擺線長(zhǎng)為0.694 2 m，擺球直徑為14.90 mm，所以單擺擺長(zhǎng)為0.701 7 m.周期判讀一般選擇4～6個(gè)周期時(shí)間然后取平均(如圖3所示)，這樣可以進(jìn)一步降低周期的不確定度.每次磁球與線圈之間的高度改變值為5 mm.本文將實(shí)驗(yàn)結(jié)果列在表1之中，并且繪制在圖4之中.圖4實(shí)線是武漢市重力加速度的參考值，9.793 6 m/s2.

圖4 測(cè)量的本地重力加速度實(shí)驗(yàn)值

表1 本地重力加速度的測(cè)量結(jié)果

由表1結(jié)果可見(jiàn)，本實(shí)驗(yàn)測(cè)量的武漢市重力加速度與參考值有很好的一致性，說(shuō)明本設(shè)計(jì)是成功的.此外，不同高度下測(cè)量的結(jié)果之間并沒(méi)有明顯的差別，說(shuō)明電磁阻尼對(duì)于單擺運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略.

4.2 電磁阻尼的半定量分析

雖然實(shí)驗(yàn)上證明了電磁阻尼可以忽略，本文仍然通過(guò)簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)和電磁學(xué)基本知識(shí)對(duì)于電磁阻尼問(wèn)題進(jìn)行了半定量分析.對(duì)于含阻尼的小角振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫為

(4)

(5)

將上式代入方程(4)同時(shí)考慮小角振動(dòng)(θ<5°,sinθ～θ)，

(6)

解這個(gè)微分方程得到

(7)

上式右側(cè)第二項(xiàng)代表阻尼的影響.取N=80，B=1 T，D=0.1 m，l=0.7 m，m=0.1 kg，R=1 MΩ(示波器內(nèi)阻)，粗略估算此阻尼項(xiàng)數(shù)量級(jí)約為10-12.如此小的阻尼完全是得益于極高的示波器內(nèi)阻的緣故.總之，電磁阻尼對(duì)于重力加速度的影響很小，可以忽略不計(jì)，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的.

4.3 系統(tǒng)誤差分析

lng=2ln 4π+lnL-2lnT

(8)

對(duì)上式求全微分

(9)

在進(jìn)行隨機(jī)誤差分析時(shí)，將“-”號(hào)變成“+”號(hào)，同時(shí)“d”變?yōu)椤唉ぁ保瑒t

(10)

由上式可以看出重力加速度的誤差來(lái)源于擺長(zhǎng)和周期測(cè)量.

周期測(cè)量的誤差主要來(lái)源于示波器的測(cè)量誤差，擺長(zhǎng)的誤差來(lái)源主要是米尺精度造成的測(cè)量誤差.

(1)擺線長(zhǎng)度不確定度

本實(shí)驗(yàn)擺線長(zhǎng)度通過(guò)米尺測(cè)量10次，得到此次實(shí)驗(yàn)裝置擺長(zhǎng)的A類不確定度分別為0.000 148 m.米尺的最小單位長(zhǎng)度為1 mm，通過(guò)公式

(11)

得到擺長(zhǎng)的B類不確定度為0.000 288 675 m.

(2)磁球半徑尺寸不確定度

通過(guò)游標(biāo)卡尺測(cè)得磁球半徑為14.90 mm，本次實(shí)驗(yàn)所使用的游標(biāo)卡尺是50分度游標(biāo)卡尺，由于磁球直徑的多次測(cè)量值并無(wú)明顯變化，且對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響并不大，因此將A類不確定度視為0，只考慮B類不確定度，通過(guò)公式

(12)

得到磁球半徑尺寸不確定度為0.000 011 547 m.

(3)周期不確定度

擺線長(zhǎng)度不同時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的周期也不同，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大，針對(duì)一定長(zhǎng)度擺長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)測(cè)出的周期，通過(guò)公式

(13)

計(jì)算得到此次實(shí)驗(yàn)裝置擺長(zhǎng)測(cè)得的周期的A類不確定度為0.000 086 9 s，式中n=4.

示波器標(biāo)注誤差為±0.01%，因此根據(jù)公式：

(14)

得到周期的B類不確定度為0.000 057 735 s.

(4)合成不確定度

將上述不確定度進(jìn)行A類和B類不確定度合成，有

(15)

(16)

其中ΔT為取值范圍誤差.

根據(jù)公式(3)可知，g與(L+R)和T之間的關(guān)系是乘除關(guān)系，因此可根據(jù)公式：

(17)

(18)

計(jì)算間接測(cè)量重力加速度的不確定度，得到此次測(cè)量實(shí)驗(yàn)不確定度為0.010 1 m/s2，如圖4所示.

5 結(jié)論與展望

本文首次提出將傳統(tǒng)的單擺法和電磁感應(yīng)原理相結(jié)合的設(shè)計(jì)思路，用以精確測(cè)量本地重力加速度.在測(cè)量電路之中加入了濾波器模塊，使得實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象清晰可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)了單擺周期的“可視化”.這一點(diǎn)是其它實(shí)驗(yàn)方案所不具備的.所以，本文的設(shè)計(jì)方案不僅有利于實(shí)驗(yàn)者，特別是學(xué)生，了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)和周期的特點(diǎn)，還可以促使學(xué)生認(rèn)識(shí)電磁感應(yīng)現(xiàn)象.通過(guò)對(duì)阻尼的分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，可以進(jìn)一步促使學(xué)生更深入的思考電磁相互作用.在測(cè)量過(guò)程中使用示波器記錄實(shí)驗(yàn)信號(hào)，可以促使學(xué)生掌握基本科研儀器的使用方法和技巧等.

本設(shè)計(jì)存在可以改進(jìn)的地方，比如，在擺線長(zhǎng)度的測(cè)量方面，本實(shí)驗(yàn)是在懸掛狀態(tài)下使用米尺測(cè)量，這種方式存在一定的人為誤差，而且不便于估計(jì).雖然本文認(rèn)為擺長(zhǎng)的不確定度很小，但是筆者期待更可靠的方法實(shí)現(xiàn)擺長(zhǎng)的可靠測(cè)量.