趙紫源，趙康鑫，郎赤誠，康秀英

(1.北京師范大學(xué) 未來教育學(xué)院，廣東 珠海 519087；2.北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)長(zhǎng)期以來都很受重視.多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)在自然界和工程設(shè)計(jì)中有較廣泛的存在.理想狀態(tài)下多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)已經(jīng)被深入研究[1]，但關(guān)于非理想狀態(tài),即考慮阻力狀態(tài)下的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)并無太多文獻(xiàn)發(fā)表.

本文借助于PASCO平臺(tái)，利用其傳感器模擬了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程和阻力數(shù)據(jù)，并利用經(jīng)典力學(xué)理論給出了運(yùn)動(dòng)方程，建立了模型，并利用Matlab編程進(jìn)行模擬計(jì)算，與實(shí)際運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)比，給出了二自由度系統(tǒng)在考慮阻力情況下的振動(dòng)模型.

1 二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

1.1 理想條件下的運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示的系統(tǒng),由三彈簧連接兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2的物塊組成，彈簧1左端與彈簧3右端固定.忽略彈簧質(zhì)量，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為

圖1 模型示意圖

(1)

(2)

由式(1)和式(2)，得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(3)

將上式代入拉格朗日方程可得[1]

(4)

如果k1=k3=k，m1=m2=m，則上式可以改寫為

(5)

顯然兩未知數(shù)x1和x2的變化相互耦合.

設(shè)上述方程的解為

(6)

將上式代入方程組(5)，得

(7)

顯然A1≠0，A2≠0，得[1]

(8)

解得

將ω1代入方程(7)，令A(yù)11=A1，A21=A2，得A11=A21.因此與ω1對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為

同理可得與ω2對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為

兩組特解的線性組合為它們的通解,即

(9)

將上式代回式(9)，得

即

(10)

可見如果k1=k3=k，m1=m2=m，三彈簧系統(tǒng)中兩滑塊的位移分別為兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，表現(xiàn)為較低頻振動(dòng)對(duì)較高頻振動(dòng)振幅上的調(diào)制，其位移-時(shí)間圖像將呈現(xiàn)高度的規(guī)律性，特別是當(dāng)兩頻率ω1和ω2相近時(shí)，呈現(xiàn)明顯的“波包”[1].

如果k1≠k3，m1≠m2，可以根據(jù)式(4)給出系統(tǒng)兩滑塊位移的數(shù)值解.

1.2 考慮阻力的運(yùn)動(dòng)方程

在本文所采用的PASCO系統(tǒng)中，主要的阻力項(xiàng)包括系統(tǒng)與平臺(tái)的摩擦力及與空氣阻力等.

(11)

2 PASCO系統(tǒng)

2.1 PASCO系統(tǒng)簡(jiǎn)介

PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由美國PASCO公司開發(fā)，是公認(rèn)的世界一流實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)，被世界范圍內(nèi)的許多高等院校使用.該平臺(tái)可將各種基本物理量的測(cè)量傳感器與電子計(jì)算機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的連續(xù)測(cè)量和顯示，并內(nèi)置了一些數(shù)學(xué)工具，操作簡(jiǎn)單便捷.傳統(tǒng)的研究彈簧系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備往往系統(tǒng)誤差較大，且測(cè)得數(shù)據(jù)繁瑣而復(fù)雜，在讀數(shù)和處理數(shù)據(jù)過程中容易產(chǎn)生人為的偶然誤差.PASCO實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的引入降低了傳統(tǒng)設(shè)備的系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)處理，避免了人讀數(shù)導(dǎo)致的偶然誤差的產(chǎn)生.

2.2 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖2所示，實(shí)驗(yàn)裝置主要由兩個(gè)帶位置、速度傳感器的小車(滑塊)與3個(gè)彈簧構(gòu)成.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

將小車略微撥離平衡位置，開始記錄傳感器數(shù)據(jù)后釋放，即可獲得兩小車運(yùn)動(dòng)的曲線.

利用式(11)與測(cè)得的常量值和變量初值，采用Matlab的ode45算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算[2]，可模擬得到考慮摩擦力情況下的多自由度振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，將之與PASCO系統(tǒng)測(cè)得的小車運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比，即可總結(jié)得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

測(cè)得m1=0.250 6 kg，m2=0.250 0 kg，k1=7.99 N/m，k2=8.21 N/m，k3=7.95 N/m，x1(0)=-0.068 4 m，x2(0)=0.000 0 m.

3.1 不考慮阻力的情況

忽略系統(tǒng)的外部阻力，則滑塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為式(4)形式，滑塊坐標(biāo)x與時(shí)間t的關(guān)系如圖3所示.圖3(b)和3(d)將圖3(a)和3(c)的前15 s進(jìn)行了放大，以便顯示得更清楚.

圖3 不計(jì)阻力時(shí)兩滑塊的運(yùn)動(dòng)狀況

如圖3所示，滑塊實(shí)驗(yàn)運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)并不規(guī)則的“波包”，說明實(shí)際情況下二自由度的振動(dòng)與理想狀態(tài)下相似.在滑塊開始運(yùn)動(dòng)階段，如圖3(b)、3(d)所示，運(yùn)動(dòng)軌跡與計(jì)算圖像尚能較好符合.隨著時(shí)間t的不斷增大，兩者偏差越來越大，如圖3(a)、3(c)所示.說明在考慮該系統(tǒng)較長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)時(shí)，外界阻力的影響不可忽略.

3.2 只考慮摩擦力的情況

若只考慮摩擦力(包括車輪與導(dǎo)軌的滾動(dòng)摩擦力與車內(nèi)部傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦力)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，則滑塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為式(11)形式，其中摩擦力f1=f1μ=μ1m1g、f2=f2μ=μ2m2g.此時(shí)，滑塊運(yùn)動(dòng)微分方程為

(12)

用Matlab程序進(jìn)行數(shù)值模擬，調(diào)節(jié)參數(shù)f1μ、f2μ至誤差最小，得f1μ=0.003 075 N，f2μ=0.003 225 N.為了驗(yàn)證模擬結(jié)果，參考相關(guān)資料[3]，給予小車任意初速度，利用小車自帶的加速度傳感器測(cè)得小車做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度a，由f=μmg=ma，測(cè)得摩擦力f.計(jì)算得f1μ=0.003 1 N，f2μ=0.003 2 N.可見小車所受摩擦力的模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果是十分吻合的，從而也進(jìn)一步驗(yàn)證了本工作Matlab建模的正確性.

考慮摩擦力的影響，滑塊坐標(biāo)x隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖4所示.

圖4 只考慮摩擦力時(shí)兩滑塊的運(yùn)動(dòng)狀況

對(duì)比圖3、圖4中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬值符合得更好，如分別比較圖3(b)、3(d)和4(b)、4(e)，但在位移極值點(diǎn)附近擬合結(jié)果仍稍有偏差，且隨著時(shí)間t的增大，實(shí)驗(yàn)值和計(jì)算值的振幅的偏差逐漸變大.至圖4(c)、4(f)所示的振動(dòng)末期兩者結(jié)果完全不相符，說明需要引入空氣阻力.

3.3 考慮空氣阻力的情況

因此計(jì)入摩擦力和空氣阻力，滑塊運(yùn)動(dòng)微分方程(12)改寫為

(13)

模擬中取空氣密度為1.293 kg/m3，迎風(fēng)面積為24 cm2.調(diào)節(jié)參數(shù)C以式(13)進(jìn)行數(shù)值模擬，當(dāng)C=1.0時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，各點(diǎn)的誤差均不大于5%.查資料可得[5]，垂直平面體風(fēng)阻系數(shù)大約為1.0，可見模擬結(jié)果是十分合理的.此時(shí)，兩滑塊坐標(biāo)x與時(shí)間t的關(guān)系如圖5所示.對(duì)比圖4，引入空氣阻力，圖5中模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值幾乎完全吻合，進(jìn)一步說明本二自由度系統(tǒng)建模的正確性.

圖5 考慮空氣阻力時(shí)兩滑塊的運(yùn)動(dòng)狀況

4 結(jié)論

本文利用PASCO系統(tǒng)提供的小滑塊的位置傳感器功能，探究了阻力情況下二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)過程，考慮了摩擦力和空氣阻力對(duì)振動(dòng)的影響.利用Matlab數(shù)值模擬功能，對(duì)比模擬數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到了摩擦力和空氣阻力系數(shù).本實(shí)驗(yàn)對(duì)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題的研究有一定參考價(jià)值.

致謝：最后作者致謝北京師范大學(xué)珠海校區(qū)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐創(chuàng)新教育中心，本文實(shí)驗(yàn)部分是在其物理實(shí)驗(yàn)中心提供的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)完成的.