何 峰

(上海交通大學(xué) 致遠(yuǎn)學(xué)院，物理與天文學(xué)院，上海 201800)

1900年左右，以維恩、勒納德為代表的一批實(shí)驗(yàn)科學(xué)家獲得了光和物質(zhì)相互作用的豐富實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但這些數(shù)據(jù)無法用基于麥克斯韋方程組的經(jīng)典電動力學(xué)理論來解釋.1905年，愛因斯坦發(fā)表了《關(guān)于光的產(chǎn)生和轉(zhuǎn)化的一個試探性觀點(diǎn)》的論文[1]，提出了光電子假說，完美解釋了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).這是近代物理發(fā)展中的一個光輝篇章.

現(xiàn)在我們對于光電效應(yīng)的理解均參照愛因斯坦光電效應(yīng)公式E=?ω0-W，其中E是光電子能量，?是約化普朗克常數(shù)，ω0是光子頻率，W是逸出功.這個圖像非常直觀，這一解釋方式也已經(jīng)寫進(jìn)了教科書.一般高中和大學(xué)物理也是按照這個思路講授光電效應(yīng)[2,3].但是，當(dāng)一束激光脈沖輻照原子時，原子并不預(yù)先知道光子的頻率.在偶極近似下，激光場實(shí)際就是隨時間演化的電場.對于原子而言，原子感受到隨時間演化的振蕩電場.那么，如何從時間演化的角度理解光電效應(yīng)？

1 含時微擾論描述量子躍遷過程

愛因斯坦的光子理論可以用來判斷能否發(fā)生光電效應(yīng)并解釋獲得光電子能量的大小，但對于單個光子導(dǎo)致的光電離概率的大小無從給定.量子力學(xué)建立以后，根據(jù)含時微擾理論，可以計(jì)算發(fā)生光電離的概率.以一束激光和氫原子相互作用為例,相互作用之前，電子處于氫原子的基態(tài)|ψ0〉,吸收光子后電子躍遷至動量為p的末態(tài)|p〉(一般為平面波),初態(tài)和末態(tài)能量分別為E0和Ef=p2/2m，此處m是電子質(zhì)量.在偶極近似下，含時微擾理論給出的躍遷振幅為[4]

(1)

其中F(t)是不依賴于空間的光電場，D是偶極矩，ω=(Ef-E0)/?，ti和tf是光電場開始和結(jié)束的時間.根據(jù)能量守恒，如果光子能量為?ω0，則末態(tài)的能量需要滿足Ef=?ω0-E0.

從時間演化的角度來看，即使激光場已經(jīng)演化了一半，原子仍然不能判斷后面激光場的振蕩行為.例如，圖1中紅色和黑色曲線是和原子相互作用的兩種光電場.如圖1所示，即使在t<0時刻兩種光電場完全相同，但是在t=0時刻，原子仍然不知道t>0時刻這兩種光場是否仍然相同.也就是說，在激光演化完成以前，原子無法精確判斷光子的頻率是多少，也不知道光子的能量.因此，我們會問，電子該吸收什么樣的光子能量，躍遷至動量p為多大的末態(tài)？

圖1 激光脈沖和原子相互作用示意圖(虛線和實(shí)線代表不同實(shí)驗(yàn)中可能使用的光場，圓點(diǎn)代表原子)

含時微擾論給出的躍遷振幅表達(dá)式實(shí)際上提供了從時間演化角度理解光電效應(yīng)的基礎(chǔ).我們不妨根據(jù)圖2分解表達(dá)式(1)給出的躍遷振幅.

圖2 量子躍遷的過程分解

第2步：躍遷.在t′時刻，氫原子和光電場發(fā)生偶極相互作用.此刻，相互作用哈密頓量表述為F(t′)·D.在t′時刻的躍遷振幅為

〈p(t′)|F(t′)·D|ψ0(t′)〉=〈p|D|ψ0〉·F(t′)eiωt′

(2)

第3步：時間積分.在整個激光脈沖和原子相互作用的時間區(qū)間，在任意的t′時刻都有可能發(fā)生躍遷.既然不可能得知究竟在哪一時刻發(fā)生躍遷，那么根據(jù)量子力學(xué)的不確定性原理，需要把每個時刻的躍遷振幅相干疊加，即需要做時間積分.積分后的表達(dá)式即為方程(1).

2 不同時刻躍遷振幅的相干疊加

式(2)表明躍遷振幅攜帶了相位，且相位是t′的函數(shù).因此，不同時刻的躍遷振幅的累加，必然存在干涉相長或者干涉相消的內(nèi)涵.

設(shè)一束偏振方向沿著z軸的線偏振光電場可以描述為

(3)

其中F0是振幅，τ是脈沖的寬度.實(shí)際的光場是式(3)的實(shí)部，寫成復(fù)數(shù)形式可便于計(jì)算.在下面的計(jì)算中，ω0=1 a.u.,T=2π/ω0，τ=10T,此處a.u.意為原子單位(atomic units).在偶極近似下，在時間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)的躍遷振幅可以用下式表述[5]：

(4)

對于較長脈沖，激光的包絡(luò)[cos(πt/τ)]2可以近似看作常數(shù).圖3中的3條曲線分別對應(yīng)積分區(qū)間[t1,t2]=[0,0.1T],[0,T]和[0,10T]3種情況的躍遷概率|Mp(t1,t2)|2.可以看出，當(dāng)積分區(qū)間非常小時，原子尚未感受到光電場的振蕩，甚至不清楚這是直流場還是交變場，因此無法知道光子的頻率信息.這導(dǎo)致末態(tài)動量的分布非常寬.而當(dāng)積分區(qū)間為一整個周期時，原子基本獲悉在這段時間內(nèi)光場的振蕩頻率，基本有了光子能量的概念，這個時候末態(tài)動量的分布呈現(xiàn)兩個明顯的峰，這兩個峰對應(yīng)的光電子能量為0.5 a.u..當(dāng)積分區(qū)間為10T時，在這段相對較長的時間內(nèi)，原子非常好地感受到了周期性的振蕩，非常明確地知道了光場的振蕩頻率，精確獲悉光子的能量.原子吸收光子后，根據(jù)能量守恒，光電子的能量必須為0.5 a.u.，也即在動量分布上精確對應(yīng)p=±1 a.u.，如圖3短線所示.可以想象，如果積分區(qū)間無窮小，光電子的動量分布可以無窮寬；如果積分區(qū)間無窮大，光電子的動量分布由出現(xiàn)在±1 a.u.的兩個δ函數(shù)支配.

圖3 光電子動量分布(點(diǎn)劃線、實(shí)線、短線分別對應(yīng)積分區(qū)間是[t1,t2]=[0,0.1T],[0,T]和[0,10T].)

基于以上分析，我們可以知道，在每個瞬時，電子可以吸收任意的光子能量.在不同時刻發(fā)生的躍遷振幅相干疊加，干涉相消和干涉相長使得最后只有滿足能量守恒關(guān)系的躍遷振幅被保留下來.

3 含時微擾理論和費(fèi)曼路徑積分

根據(jù)費(fèi)曼路徑積分理論，從A傳播到B的概率幅可以描述為[6]

(5)

含時微擾理論和費(fèi)曼路徑積分的表達(dá)式在數(shù)學(xué)形式上有很多相似性.式(1)中，對最終躍遷振幅有較大貢獻(xiàn)的積分元，其相位對時間取極值，即

(6)

4 楊氏雙縫干涉

有了在時間維度對光電效應(yīng)的深刻理解后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)時域的楊氏雙縫干涉.例如，利用兩束超短激光脈沖和原子相互作用，如圖4(a)所示.原子有可能被第一束激光電離，也有可能被第二束激光電離.在這個實(shí)驗(yàn)中，兩束光脈沖就相當(dāng)于傳統(tǒng)楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的雙縫，脈沖的寬度相當(dāng)于狹縫的寬度，兩束光脈沖的時間延遲相當(dāng)于雙縫之間的間隔.這是用電子的德布羅意波演示雙縫干涉的方法.通過控制兩束光脈沖的相關(guān)參數(shù)，可以控制雙縫干涉的結(jié)果.圖4(b)中黑色實(shí)線給出了在圖4(a)中的激光場作用下，光電子的動量分布.圖4(b)中點(diǎn)劃線對應(yīng)于只使用圖4(a)中一束光脈沖作用得到的光電子動量分布.在兩束光的作用下，在p=±1 a.u.處，原來單一的峰劈裂了，呈現(xiàn)了典型的楊氏雙縫干涉的結(jié)果.在這個實(shí)驗(yàn)中，原子并不預(yù)先知道有兩束光脈沖要和原子相互作用；原子只和第一束光作用后，不可能呈現(xiàn)楊氏雙縫干涉的結(jié)構(gòu)；只有當(dāng)兩束光都作用完了，楊氏雙縫干涉才真正完成.因此光電子動量分布也是不同時刻光電離事件的相干疊加.

圖4 (a)兩束光脈沖示意圖[只取式(3)實(shí)部]；(b)在激光偏振方向的光電子動量分布(縱軸都已經(jīng)歸一化)

5 總結(jié)

基于含時微擾的量子躍遷表達(dá)式，本文提出了從時間演化角度理解光電效應(yīng)的思路.時域和頻域兩個維度對光電效應(yīng)的解釋互相補(bǔ)充，而且存在著內(nèi)在關(guān)聯(lián).式(3)實(shí)際就是激光場的傅里葉變換.式(3)中積分區(qū)間不同，則計(jì)算結(jié)果也不同.根據(jù)不確定性原理ΔtΔE≥?/2，積分區(qū)間越短即Δt越小，那么光子能量的不確定度ΔE就越大.在某個非常短的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的光電效應(yīng)實(shí)際上仍然可以用愛因斯坦光電效應(yīng)公式來描述，只不過這段時間內(nèi)光子的頻率本來就是不確定的.不同時刻的躍遷事件相互干涉，導(dǎo)致時間演化結(jié)束后的光電子動量分布符合愛因斯坦光電效應(yīng)公式描述的期望值.從時間演化的角度理解光電效應(yīng)有助于學(xué)生從因果律上加深對基本物理過程的認(rèn)識，可以啟發(fā)學(xué)生融會貫通不同知識點(diǎn)，拓寬對楊氏雙縫干涉的理解[6].