馬子琦，劉 凱，潘子萌，廖 青

光學(xué)信息與模式識(shí)別湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢工程大學(xué)），湖北 武漢 430205

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)高分辨率成像有了迫切的需求。傳統(tǒng)光學(xué)成像的分辨率受到透鏡衍射極限的限制，為了突破透鏡的衍射極限，相干衍射成像作為一種無(wú)透鏡高分辨率成像方式應(yīng)勢(shì)而生。相干衍射成像（coherentdiffractiveimaging，CDI）是一種通過(guò)物體的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射數(shù)據(jù)獲得完整的光波場(chǎng)信息的無(wú)透鏡成像方式，由于沒(méi)有用到透鏡，因此成像分辨率不受光學(xué)像差的限制，可以突破透鏡的衍射極限［1-2］。自1999年華人學(xué)者Jianwei Miao首次通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了相干衍射成像以來(lái)［3-4］，超短光源和各種迭代算法的發(fā)展推動(dòng)了相干衍射成像的快速發(fā)展和應(yīng)用。相干衍射成像的核心問(wèn)題是相位恢復(fù)問(wèn)題，目前已經(jīng)據(jù)此發(fā)展出多種相關(guān)的相位恢復(fù)算法，2004年Rodenburg等首次提出了疊層掃描相干衍射成像算法（ptychographic interactive engine，PIE），疊層掃描意指采用交疊式掃描，相鄰的光斑掃描區(qū)域有大部分重疊，信息高度冗余，該算法極大的提高了數(shù)據(jù)的收斂速度［5］。2009年，Maiden和Rodenburg又拓展了PIE算法，使之可以在光探針信息未知的情況下恢復(fù)出目標(biāo)函數(shù)的相位，該算法被稱(chēng)作擴(kuò)展疊層迭代引擎（extended ptychographic iterative engine，ePIE）算法［6-8］。理想情況下相干衍射成像僅受到光源波長(zhǎng)的限制，但在實(shí)際中，實(shí)驗(yàn)室可獲得的數(shù)值孔徑會(huì)受到噪聲的限制，從而限制了可獲得的分辨率［9-11］。

本文考慮用ePIE算法在MATLAB上重構(gòu)物體圖像，設(shè)置不同透射率的圖像，在衍射過(guò)程中分別加入泊松噪聲和高斯噪聲來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)，探究不同種類(lèi)噪聲對(duì)相干衍射成像重構(gòu)不同透射率物體圖像的影響。

1 疊層掃描相干衍射成像迭代算法重構(gòu)物體圖像

1.1 疊層掃描相干衍射成像迭代算法基本原理

疊層掃描相干衍射成像顧名思義就是在光探針掃描樣本的過(guò)程中，光探針在物體上逐次移動(dòng)，每次掃描到的區(qū)域與相鄰掃描區(qū)域有大部分重疊。探測(cè)器依次記錄每次掃描后的遠(yuǎn)場(chǎng)夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，直到光探針遍歷整個(gè)物體，然后通過(guò)迭代算法求出這些相互約束的衍射圖樣的共解，由于每次掃描的區(qū)域有大部分重疊，因此信息冗余度高，收斂速度快，可以快速得到所有掃描層的共解，重建出物體圖像［12-13］。

圖1中光源發(fā)出的相干光穿過(guò)小孔，提升相干性，隨后移動(dòng)光探針照射物體的不同位置，遠(yuǎn)場(chǎng)CCD相機(jī)記錄一系列重疊的探針位置上的衍射圖樣，并通過(guò)疊層掃描迭代算法重構(gòu)物體圖像。

圖1 疊層掃描相干衍射成像原理Fig.1 Principle of ptychography

在疊層掃描ePIE中，首先光探針函數(shù)用P（r）表示，物體函數(shù)用O（r）表示，光探針照射物體后的出射波函數(shù)用ψ表示：

j表示當(dāng)前掃描位置，RS(j)表示該掃描處光探針與物體的相對(duì)位置矢量，根據(jù)標(biāo)量衍射理論，出射波與到達(dá)探測(cè)器上的波函數(shù)是一個(gè)傅里葉變換的關(guān)系，因此對(duì)出射波函數(shù)進(jìn)行一個(gè)快速傅里葉變換，就可以得到遠(yuǎn)場(chǎng)出射波函數(shù)的振幅和相位分布，將振幅替換成實(shí)驗(yàn)所測(cè)到的強(qiáng)度，保持相位不變，可以得到：

這樣對(duì)頻譜完成了一次修正，之后對(duì)Ψj(u)做逆傅里葉變換，得到更新后的出射波函數(shù)：

再利用更新后的出射波函數(shù)更新樣本函數(shù)：

探針的更新方式與樣本函數(shù)的更新類(lèi)似：

這里更新后的樣本函數(shù)作為下一次迭代時(shí)該位置的樣本猜測(cè)函數(shù)，是光探針函數(shù)的共軛，α,β為調(diào)節(jié)因子，當(dāng)光探針照射的所有位置都完成一次更新后，即完成了一次完整的迭代，重復(fù)迭代多次直到數(shù)據(jù)收斂至想要的結(jié)果，可以完成物體圖像的重建［14］。

1.2 在MATLAB上用疊層成像恢復(fù)物體圖像的結(jié)果

使用MATLAB編寫(xiě)生成衍射圖像和ePIE算法，設(shè)定隨機(jī)的高斯光作為光探針［15］，生成的高斯光場(chǎng)分布如圖2（a）所示。光探針像素大小為64*64，移動(dòng)步長(zhǎng)為8，掃描區(qū)域像素大小為256*256，物體圖像像素大小為128*128。每次迭代生成50張衍射圖樣作為ePIE算法的輸入。

圖2 （a）高斯光場(chǎng)分布；（b）圖像Lena；（c）光探針疊層掃描交疊位置示意圖Fig.2（a）Gaussian optical field distribution；（b）Image Lena；（c）Schematic diagram of overlapping positions of optical probe stack scanning

圖3（a-f）中分別是迭代5次，10次，15次，20次，30次，50次的圖像重建效果，可以看出迭代5次僅可得到圖像的部分模糊信息；迭代10次可以重建圖像的部分輪廓；迭代20次時(shí)圖像輪廓明顯，但圖像細(xì)節(jié)不足；迭代30次時(shí)圖像清晰，但強(qiáng)度不足；迭代50次已經(jīng)達(dá)到十分清晰的效果，可以認(rèn)為已正確重建該圖像。整個(gè)迭代過(guò)程50次，在計(jì)算機(jī)上2 min即可完成。

圖3 不同迭代次數(shù)下圖像Lena恢復(fù)效果：（a）5次，（b）10次，（c）15次，（d）20次，（e）30次，（f）50次Fig.3 Recovery effect of image Lena under different iterative times：（a）5 times，（b）10 times，（c）15 times，（d）20 times，（e）30 times，（f）50 times

物體的透射率表示了物體結(jié)構(gòu)的透光性，透射率的大小會(huì)影響光透過(guò)樣品后的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射波。為了探究噪聲對(duì)透射率不同的物體圖像重構(gòu)的影響，模擬中設(shè)置了像素大小為256*256的透射率不同的物體圖像（見(jiàn)圖4），該圖像從左到右條紋透射率依次是100%，80%，50%，10%。圖5表示不加噪聲的情況下用ePIE算法對(duì)透射率物體圖像進(jìn)行重構(gòu)的過(guò)程，隨著迭代次數(shù)增加，重建圖像逐漸清晰，其中5（d）是迭代50次之后重構(gòu)出的圖4中透射率物體圖像的結(jié)果。

圖4 透射率物體圖像Fig.4 Transmissivities of object image

圖5 透射率物體圖像在不同迭代次數(shù)下的恢復(fù)效果：（a）5次，（b）10次，（c）30次，（d）50次Fig.5 Recovery effect of transmissivities of object image under different iterativetimes：（a）5 times，（b）10 times，（c）30 times，（d）50 times

2 噪聲對(duì)恢復(fù)物體圖像的影響

2.1 泊松噪聲對(duì)物體圖像恢復(fù)的影響

由于在相干衍射實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中光子不是以均勻的方式到達(dá)探測(cè)器，而是以隨機(jī)的方式到達(dá)，到達(dá)探測(cè)器表面的光子數(shù)目存在一定的波動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致了圖像的測(cè)量具有顆粒性，這個(gè)過(guò)程符合泊松分布，因此這種由測(cè)量的不確定性引起的噪聲也稱(chēng)為泊松噪聲［16-17］。

為了探究實(shí)驗(yàn)中泊松噪聲對(duì)物體圖像重建可能帶來(lái)的影響，在圖4中透射率物體圖像的衍射圖中加入泊松噪聲，泊松噪聲的大小與信號(hào)有關(guān)，且分布均值與方差相同，所以總光子數(shù)越多，均值越高，方差越大，在圖像中定義信噪比（signal noise ratio，SNR）時(shí)將方差的平方根，即標(biāo)準(zhǔn)差定義為噪聲，則當(dāng)信號(hào)增加N倍時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差增加倍，噪聲也增加倍，同時(shí)SNR增加倍。

以圖6中（a）為例，加入依賴(lài)于初始信號(hào)的泊松噪聲，其余條件與不加噪聲的重構(gòu)條件保持一致，計(jì)算出泊松噪聲SNR為3.661。接下來(lái)信號(hào)每次擴(kuò)大10倍，即SNR每次增加3.162倍，觀察在疊層掃描相干衍射成像算法下迭代50次的重構(gòu)過(guò)程：

圖6（a-h）中分別表示SNR為3.661，6.823，9.985，13.147，16.309，19.741，22.633，25.795時(shí)的重建結(jié)果，圖6（a）中可以看出SNR為3.661時(shí)噪聲對(duì)不同透射率的圖像重建影響均較大，無(wú)法重建物體圖像，接下來(lái)每張圖代表SNR增大 10倍的重建結(jié)果，圖6（b）中SNR為6.823，透射率100%，80%，50%的物體圖像恢復(fù)模糊，透射率10%的物體圖像無(wú)法重建，圖6（c）中SNR為9.985，透射率100%，80%，50%的物體圖像輪廓已經(jīng)逐漸清晰，但在這個(gè)SNR下透射率10%的物體圖像仍然完全無(wú)法恢復(fù)；圖6（d）中SNR為13.147，透射率100%，80%，50%的物體圖像重建完成度增加，透射率10%的物體圖像開(kāi)始模糊地顯現(xiàn)，但是無(wú)法明確分辨；圖6（e）中SNR為16.309，除了透射率100%，80%，50%的物體圖像更加清晰以外，強(qiáng)度也逐漸均勻，透射率10%的物體圖像已經(jīng)可以正確重建出來(lái)；圖6（f-h）中，不同透射率的物體圖像重建結(jié)果越來(lái)越清晰，邊緣也越來(lái)越清晰，圖像邊緣線條與背景對(duì)比度明顯，強(qiáng)度均勻。

2.2 高斯噪聲對(duì)物體圖像恢復(fù)的影響

在實(shí)驗(yàn)中，如果光探針的亮度不夠均勻，或者探測(cè)器長(zhǎng)時(shí)間工作后溫度上升，就會(huì)產(chǎn)生高斯噪聲，高斯噪聲的概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，對(duì)物體圖像模擬中的衍射圖像加入不同SNR的高斯噪聲，迭代50次的重構(gòu)結(jié)果如圖6所示。

圖6 泊松噪聲對(duì)物體圖像重建的影響Fig.6 Influence of Poisson noise on reconstruction of object image

圖7（a-f）中表示SNR為1，3，5，8，10，12，14，16，18，20，22，24時(shí)的重建結(jié)果，從圖7（a）中可以看出，SNR為1時(shí)，可以看出噪聲很明顯，幾乎無(wú)法分辨樣本，圖7（b）中SNR為3，透射率為10%的物體圖像完全不顯示，透射率為100%，80%，50%的物體圖像模糊無(wú)法分辨，圖7（c-e）中SNR為5，8，10時(shí)仍然是無(wú)法看到透射率10%的物體圖像，但是透射率100%，80%，50%的物體圖像輪廓漸漸清晰，但并不能完全重建出物體圖像，圖7（f）中SNR為12，物體圖像條紋邊緣有明顯噪聲，透射率100%，80%，50%的物體圖像基本可以重建出來(lái)，10%的物體圖像不是很容易分辨；圖7（g-i）中SNR為14，16，18，雖然物體圖像的條紋邊緣仍有噪聲，但透射率為100%，80%，50%，10%的物體圖像都可以重建出來(lái)，只是透射率10%的物體圖像比較暗；圖7（j）中，SNR提高到20時(shí)，不同透射率的物體圖像皆清晰可見(jiàn)，但條紋邊緣會(huì)有偽影；圖7（kl）中SNR為22和24，不同透射率的物體圖像均重建良好，且邊緣十分清晰，噪聲已經(jīng)基本對(duì)重建沒(méi)有影響。

圖7 高斯噪聲對(duì)物體圖像重建的影響Fig.7 Influence of Gaussian noise on reconstruction of object image

3 結(jié)果與分析

在疊層掃描相干衍射成像的基礎(chǔ)上，編寫(xiě)程序生成物體圖像的衍射圖，并利用ePIE算法模擬驗(yàn)證了物體圖像的重建情況，之后在不同透射率的物體圖像衍射圖中分別加入了泊松噪聲和高斯噪聲進(jìn)行重構(gòu)。

具體重構(gòu)結(jié)果表明低SNR的泊松噪聲對(duì)透射率不同的物體圖像重構(gòu)影響均很大，對(duì)透射率低的物體圖像的影響比對(duì)透射率高的物體圖像影響要大，當(dāng)SNR較低時(shí)，透射率10%的物體圖像不能重構(gòu)。SNR為3.661時(shí)，添加了泊松噪聲的初始信號(hào)無(wú)法重構(gòu)圖像；信號(hào)強(qiáng)度增加103倍時(shí)，即SNR為13.147時(shí)，透射率100%，80%的物體圖像輪廓可以重建出來(lái)，透射率50%的物體圖像重構(gòu)不完整，透射率10%的物體圖像無(wú)法重構(gòu)，信號(hào)強(qiáng)度增加104倍時(shí)，SNR為16.309時(shí)，泊松噪聲對(duì)透射率100%，80%，50%的物體圖像影響已經(jīng)不大，所以如果物體圖像整體透射率大于50%，在這個(gè)SNR的情況下已經(jīng)可以恢復(fù)良好，若圖像透射率較低，則在實(shí)驗(yàn)中需要再增加信號(hào)強(qiáng)度。

在衍射圖中加入高斯噪聲時(shí)，SNR低于8時(shí)對(duì)透射率50%和10%的物體圖像影響較大，SNR為8到10時(shí)，對(duì)透射率為100%，80%，50%的物體圖像有較大影響，但是影響效果差異不大，對(duì)透射率10%的物體圖像影響最大，無(wú)法重構(gòu)透射率10%的物體圖像，SNR達(dá)到12時(shí)，盡管圖像周?chē)杂性肼曉斐傻膫斡?，但已?jīng)可以完全區(qū)分出不同透射率的物體圖像，隨著SNR增加到24，重建的圖像噪聲減小，邊緣清晰，強(qiáng)度均勻，當(dāng)SNR達(dá)到22和24時(shí)，圖像重構(gòu)效果非常好，噪聲對(duì)物體圖像的重構(gòu)幾乎已經(jīng)沒(méi)有影響。

圖8為根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié)的研究?jī)?nèi)容繪制的透射率的最低恢復(fù)程度和SNR之間的關(guān)系，黑色實(shí)線表示泊松噪聲SNR為6.823時(shí)，僅能恢復(fù)透射率100%的物體圖像，SNR為9.985時(shí)，可以恢復(fù)透射率80%的物體圖像，SNR為16.309時(shí)?？梢曰謴?fù)透射率低于50%的物體圖像。SNR為22.663時(shí)，可以恢復(fù)透射率低至10%的物體圖像；紅色實(shí)線表示高斯噪聲SNR為12時(shí)，僅可恢復(fù)透射率100%的物體圖像，SNR為16時(shí)，可以恢復(fù)透射率80%的物體圖像，SNR為18時(shí)?？梢曰謴?fù)透射率低于50%的物體圖像。SNR為22時(shí)，可以恢復(fù)透射率低至10%的物體圖像。

圖8 物體圖像重構(gòu)效果與其透射率和SNR的關(guān)系Fig.8 Relation between reconstruction effect of object image and its transmissivities and signal-to-noise ratio

在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，物體的密度結(jié)構(gòu)通常不是均勻的，因此不同密度的細(xì)節(jié)對(duì)光的透射率也不同。對(duì)物體進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，物體透射率低的部分更容易受到噪聲影響。研究噪聲對(duì)不同透射率物體圖像的重構(gòu)影響，就可以重構(gòu)物體結(jié)構(gòu)。

4 結(jié) 論

本文在衍射成像模擬中選取了測(cè)量中會(huì)遇到的兩種典型的噪聲：泊松噪聲和高斯噪聲，根據(jù)噪聲與噪聲影響的定量關(guān)系探究了兩種噪聲對(duì)相干衍射成像中重構(gòu)透射率物體圖像的影響，探究結(jié)果表明噪聲對(duì)透射率低的物體圖像影響更大，SNR低于6時(shí)無(wú)法重構(gòu)物體圖像，SNR大于22時(shí)噪聲對(duì)不同透射率物體圖像的重構(gòu)均不再有影響。為相干衍射成像的實(shí)際應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)。