孫金磊，鄒 鑫，顧浩天，崔 凱，朱金大

（國網(wǎng)電力科學(xué)研究院有限公司，南京 211106）

前言

鋰離子電池以其能量密度高、使用壽命長和自放電率低等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于電動汽車中。電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）估計是電動汽車電池管理的關(guān)鍵技術(shù)之一，對電池的保護(hù)、使用壽命預(yù)測和熱管理等都具有重要的作用。因此，準(zhǔn)確估計電池SOC無論在理論研究還是實際應(yīng)用中都具有重要意義。

現(xiàn)有常見SOC估計方法包括：安時積分法、開路電壓法、擴(kuò)展卡爾曼濾波法（extended Kalman filter，EKF）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和離散滑模觀測器法等。安時積分法簡單易用，是工程上應(yīng)用最為廣泛的一種方法。但該方法對初始SOC、電流測量精度和采樣時間具有較高要求，且累計誤差難以消除，因此長期運行時估計精度會受到影響。開路電壓法須將電池長時間靜置以獲得準(zhǔn)確的開路電壓（open circuit voltage，OCV），故難以滿足電動汽車實時SOC估計的要求。對于常用的三元材料電池，其OCV?SOC曲線線性度較高，開路電壓結(jié)合安時積分的方法在短時間內(nèi)具有較高的估計精度，但仍存在初始SOC須長時間靜置獲取和累計誤差的問題，無法滿足運行狀態(tài)下實時SOC估計的要求。為消除修正累計誤差的影響，有學(xué)者提出基于EKF的SOC估計方法，但該方法的估計精度受限于電池模型參數(shù)的準(zhǔn)確性，電池模型參數(shù)不準(zhǔn)確時會影響SOC估計精度?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)法的SOC估計須對數(shù)據(jù)進(jìn)行大量訓(xùn)練，其估計精度和運算步長取決于訓(xùn)練數(shù)據(jù)。離散滑模觀測器法能處理電池非線性模型對狀態(tài)估計結(jié)果的影響，但是其抖振現(xiàn)象可能會造成SOC估計結(jié)果不收斂。

在上述基于EKF的SOC估計方法中，其SOC估計精度依賴于模型參數(shù)的準(zhǔn)確性。為提高電池模型參數(shù)的精度，通常采用在線參數(shù)辨識的方法獲取電池模型參數(shù)。遞推最小二乘算法（recursive least squares，RLS）及其衍生算法是最常用的電池模型參數(shù)在線辨識方法。文獻(xiàn)［8］中利用帶遺忘因子的RLS進(jìn)行偏差補償，提高了有色噪聲數(shù)據(jù)的參數(shù)辨識精度。文獻(xiàn)［9］中使用可變遺忘因子的最小二乘（forgetting factor recursive least square，F(xiàn)FRLS）辨識梯次利用電池模型參數(shù)，通過不斷對遺忘因子進(jìn)行校正能更好地跟蹤電池老化特性。文獻(xiàn)［10］中將濾波高階滑模微分器與RLS算法相結(jié)合辨識電池模型參數(shù)，該方法能實現(xiàn)電池模型參數(shù)的在線辨識，同時對噪聲具有一定的耐受性。除RLS及其衍生算法外，遺傳算法、卡爾曼濾波算法和最大似然函數(shù)法也常被用于電池模型參數(shù)的在線辨識。

本文中針對基于EKF的SOC估計方法忽略工況和SOC變化對電池模型參數(shù)的影響從而增大SOC估計誤差的問題，提出一種基于FFRLS?EKF的SOC估計方法。利用FFRLS算法在線辨識電池等效電路模型參數(shù)，實時修正電池等效電路模型，并將修正后的等效電路模型用于EKF中，提高EKF的SOC先驗估計精度，從而提高SOC的估計精度。為驗證估計效果，設(shè)計3組不同交變電流激勵測試實驗來驗證所提出的方法，并與基于EKF和自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波（adaptive extended Kalman filter，AEKF）的估計方法進(jìn)行了對比分析。

1 鋰離子電池等效電路模型與參數(shù)辨識

1.1 鋰離子電池等效電路模型

鋰電池模型包括電化學(xué)模型、等效電路模型、半電池模型和熱電耦合模型等。其中，等效電路模型結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)物理意義清晰，能夠用數(shù)學(xué)解析式表達(dá)，便于參數(shù)辨識和狀態(tài)估計，在目前的研究中得到廣泛應(yīng)用?？紤]到電池模型精度、計算復(fù)雜度、實用性和可操作性等因素，采用如圖1所示的1階RC等效電路模型。

圖1 1階RC等效電路模型

圖1中和分別表示極化電阻和極化電容，為極化電壓，為歐姆電阻，為電池的開路電壓，和分別表示電池端電壓和端電流。由基爾霍夫定律可得電路時域方程，如式（1）所示，連續(xù)狀態(tài)方程和輸出方程分別如式（2）和式（3）所示。

式中：()為時刻電池的荷電狀態(tài)；為電池的庫倫效率；為電池的額定容量。

OCV是電池模型中的重要參數(shù)，通常被視為SOC的非線性函數(shù)，可通過離線獲得的OCV?SOC映射關(guān)系求解得到。常用的OCV?SOC曲線獲取方法有：長時間靜置法、小電流充放電法和恒流充放電間歇法。長時間靜置法和小電流充放電法簡單可靠，但通常須花費數(shù)十小時。本文中采用恒流充放電間歇法，以0.5C倍率對鋰電池恒流充放電，每充入或放出1%的電量靜置1 min，直至電池充滿或放空。靜置1 min后的電壓作為OCV，將充電曲線和放電曲線取平均即可得到OCV?SOC曲線，如圖2所示。

圖2 恒流充放電間隙法測得OCV?SOC曲線

此時獲得的OCV?SOC曲線為離散形式，為得到不同SOC相對應(yīng)的OCV值，可以采用多項式擬合或查表的方法。OCV的準(zhǔn)確度直接影響到參數(shù)辨識和SOC估計精度，本文中使用查表的方法獲得不同SOC對應(yīng)的OCV值。

1.2 鋰離子電池模型參數(shù)辨識

使用FFRLS算法在線辨識電池模型中的歐姆電阻、極化電阻和極化電容。根據(jù)式（1）的電路時域方程，結(jié)合拉普拉斯變換可以獲得電路頻域方程。令()=()?()，求得連續(xù)傳遞函數(shù)。采用脈沖響應(yīng)不變法離散化傳遞函數(shù)，求得離散傳遞函數(shù)和相應(yīng)的差分方程。對差分方程整理，得到遞推最小二乘電路方程（recursive least squares circuit equation，RLSCE）。最后通過待辨識參數(shù)、和求解電池等效電路模型中的歐姆電阻、極化電阻和極化電容。RLSCE轉(zhuǎn)換過程和電路參數(shù)解析式如表1所示。

表1中()=()，=為極化時間常數(shù)，為采樣時間，為輸入向量，為待辨識參數(shù)向量，、和為待辨識參數(shù)。

表1 RLSCE轉(zhuǎn)換過程和電路參數(shù)解析式

RLS算法能夠在線辨識電池參數(shù)，實時修正電路模型。引入遺忘因子（forgetting factor，F(xiàn)F）能降低舊數(shù)據(jù)的影響度，增加新數(shù)據(jù)的影響度。本文采用FFRLS辨識電池等效電路模型參數(shù)，算法遞推過程如下。

（1） 參數(shù)初始化

（2） 計算估計誤差

（3） 計算增益矩陣

（4） 參數(shù)估計

（5） 更新協(xié)方差矩陣

2 基于卡爾曼濾波的SOC估計

2.1 基于EKF的SOC估計

EKF算法針對非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出觀測數(shù)據(jù)對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最小均方誤差最優(yōu)估計。該算法利用SOC估計方程對狀態(tài)變量進(jìn)行“預(yù)測”，再利用觀測數(shù)據(jù)對“預(yù)測”結(jié)果進(jìn)行“校準(zhǔn)”，通過不斷地“預(yù)測?校準(zhǔn)”循環(huán)迭代得到準(zhǔn)確的狀態(tài)變量估計值。為使用EKF算法估計SOC，首先要將式（2）的連續(xù)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為離散狀態(tài)方程，轉(zhuǎn)換結(jié)果為

式中對的導(dǎo)數(shù)用1階向后差分表示。由式（3）和式（10）可得式（11）離散輸出方程：

式中和為系數(shù)矩陣。式（9）的離散狀態(tài)方程和式（11）的離散輸出方程共同組成SOC估計方程，結(jié)合EKF算法即可估計電池SOC。

EKF算法基本步驟如下：

（2）狀態(tài)變量先驗估計

（3）誤差協(xié)方差矩陣先驗估計

（4）系統(tǒng)觀測量預(yù)測和計算觀測誤差

（5）計算卡爾曼增益

（6）狀態(tài)變量后驗估計

（7）誤差協(xié)方差矩陣后驗估計

EKF算法中的過程誤差和測量誤差的協(xié)方差矩陣初值設(shè)置不當(dāng)時可能導(dǎo)致SOC估計結(jié)果發(fā)散，為解決上述問題可采用自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波（adaptive extended Kalman filter，AEKF）算法估計電池荷電狀態(tài)。AEKF算法是在EKF算法的基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)誤差協(xié)方差匹配，如式（19）所示。通過觀測誤差實時修正過程誤差和測量誤差的協(xié)方差矩陣，避免初值設(shè)置不當(dāng)造成的SOC估計結(jié)果發(fā)散問題。

2.2 基于FFRLS-EKF的SOC估計

鋰離子電池等效電路模型參數(shù)隨電池SOC變化而呈現(xiàn)數(shù)值上的差異，尤其是極化電容和極化電阻在不同運行工況下也會發(fā)生改變。如何實時調(diào)整電池等效電路模型參數(shù)來保證模型精度，進(jìn)而提高SOC估計精度是需要解決的實際問題。

基于FFRLS?EKF的SOC估計方法流程如圖3所示。首先，通過固定時間間隔采樣得到電池的電壓和電流信息（電壓、電流信息一方面用于辨識電池等效電路模型參數(shù)，另一方面用于估計SOC）。其次，利用FFRLS算法在線辨識電池等效電路模型中的歐姆電阻、極化電阻和極化電容，并將其用于更新EKF算法中的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣和測量方程系數(shù)矩陣，實時修正EKF算法中的電池模型。再次，通過EKF算法和修正后的電池模型估計SOC。最后，根據(jù)估計出的SOC結(jié)合查表方法獲得OCV，用于下一 時刻FFRLS算法辨識電池等效電路模型參數(shù)。

圖3 本文所提方法的算法流程

3 測試實驗與結(jié)果分析

3.1 測試實驗

測試實驗在新威電池測試儀CT?4008上進(jìn)行。該設(shè)備的電壓量程和精度分別為0.025~5 V和±0.05%，電流量程和精度分別為0~20 A和±0.05%。本文所選用的電池是芯馳光電科技有限公司生產(chǎn)的ISR18650?2.2Ah三元鋰電池，電池基本參數(shù)如表2所示。

表2 三元鋰電池基本參數(shù)

為驗證所提出SOC估計方法的可行性，分別在脈沖放電、脈沖充電和動態(tài)應(yīng)力測試3種工況下進(jìn)行驗證。所有測試實驗均在25℃下進(jìn)行。

（1）脈沖放電實驗

以0.5C倍率將電池充電至上限截止電壓，靜置2 h后以0.5C倍率對電池放電，放電1 min并靜置1 min，如此循環(huán)直至電池電壓達(dá)到下限截止電壓。

（2）脈沖充電實驗

以0.5C倍率將電池放電至下限截止電壓，靜置2 h后以0.5C倍率對電池充電，充電1 min并靜置1 min，如此循環(huán)直至電池電壓達(dá)到上限截止電壓。

（3）動態(tài)應(yīng)力測試（dynamic stress test，DST）實驗

以0.5C倍率將電池充電至上限截止電壓，靜置2 h后按照DST工況步驟對電池使用交變電流充放電，重復(fù)DST工況步驟直至電池電壓達(dá)到下限截止電壓。

3.2 實驗結(jié)果

為對多種SOC估計方法的估計結(jié)果進(jìn)行比較，可按式（20）比較實驗值和估計值的誤差。

式中：為絕對誤差；為實驗值；?為估計值；為最大絕對誤差；為最大相對誤差；為均方根誤差；為總的采樣點數(shù)。

基于FFRLS?EKF的SOC估計方法中FFRLS估計端電壓和實際測量端電壓比較如圖4所示。

從圖4可以看出，在脈沖放電實驗和DST實驗放電末期，端電壓的絕對誤差明顯增大；而在脈沖充電實驗的起始階段絕對誤差也明顯大于其他時間段。這是因為SOC設(shè)置的初值與實際值略有不同，使查表得到的OCV不準(zhǔn)確，且OCV?SOC曲線在電池的充電起始階段和放電終止階段會出現(xiàn)劇烈變化，使等效電路模型中OCV對于SOC的估計結(jié)果更加敏感，即放大了SOC估計誤差對OCV的影響，最終使端電壓絕對誤差變大。3組測試實驗的端電壓、和如表3所示。

圖4 FFRLS估計端電壓和實際測量端電壓比較

表3 3組測試實驗的端電壓AE max、RE max和RMSE

通過所提SOC估計方法中FFRLS辨識出的參數(shù)而求得電池等效電路模型參數(shù)如圖5所示?？梢钥闯?，3種測試實驗中得到的歐姆電阻、極化電阻和極化電容均不相同，且隨SOC的變化而改變。EKF和AEKF算法中采用離線辨識的電池模型參數(shù)會降低SOC估計精度。所提SOC估計方法中等效電路模型參數(shù)通過在線參數(shù)辨識獲得，通過實時修正等效電路模型參數(shù)，進(jìn)而提高SOC估計精度。

圖5 3種工況下等效電路模型參數(shù)辨識結(jié)果

為證明本文所提出SOC估計方法的優(yōu)越性，分別與基于EKF和AEKF的估計方法在3組測試工況下對SOC估計結(jié)果進(jìn)行比較，如圖6所示。其中，SOC實驗值是對新威電池測試儀CT?4008輸出的電流用“安時積分法”計算得到的?？梢钥闯?，與離線獲取等效電路模型參數(shù)的基于EKF和AEKF的SOC估計方法相比，所提方法得到的SOC絕對誤差整體小于基于EKF和AEKF方法得到的SOC絕對誤差。這是因為實時修正電池模型參數(shù)，提高了EKF算法的先驗估計精度，從而提高了SOC的估計精度。

圖6 SOC估計結(jié)果和絕對誤差比較

3組測試實驗SOC估計如表4所示?？梢钥闯?，3組實驗中FFRLS?EKF的都小于EKF和AEKF算法，最大為0.69%。表5給出本文所提SOC估計方法在3組測試實驗下SOC設(shè)定的初值與實際初值的誤差（初始誤差），全時間尺度（測試實驗開始至結(jié)束的整個時間段稱為全時間尺度）SOC的和算法運行30 s后的（即算法收斂后的最大估計誤差）。

表4 3組測試實驗SOC估計RMSE

從表5可以看出，全時間尺度與初始誤差有關(guān)。這是因為全時間尺度通常出現(xiàn)在算法迭代初期，設(shè)定的SOC初值與實際值較為接近時全時間尺度較小，反之亦然。此外，從表5還可以看出，算法收斂后所提出的方法具有較好的SOC估計精度。在脈沖放電、脈沖充電和DST實驗中SOC最大估計誤差分別為1.01%、0.87%和1.59%。

表5 3組測試實驗SOC估計誤差

4 結(jié)論

SOC估計是電動汽車電池管理的關(guān)鍵技術(shù)之一。傳統(tǒng)的采用恒定模型參數(shù)的EKF算法估計電池SOC忽略了模型參數(shù)隨SOC和工況的變化，這增大了SOC估計誤差。為解決上述問題，本文的研究如下：

（1）針對電池開路電壓獲取速度慢的問題，采用恒流充放電間歇法離線獲取開路電壓。

（2）提出一種基于FFRLS和EKF相結(jié)合的SOC估計方法，提高SOC估計精度。

（3）在脈沖充電、脈沖放電和DST 3種工況下分別對采用EKF、AEKF和本文所提出方法進(jìn)行對比。結(jié)果表明：所提出的基于FFRLS?EKF的SOC估計方法能根據(jù)SOC和工況的變化有效修正電池等效電路模型參數(shù)，在3種工況下都具有更小的SOC估計誤差，算法收斂后SOC最大估計誤差為1.59%。

電池等效電路模型參數(shù)也會受到低溫和老化的影響。后續(xù)工作將圍繞低溫和老化條件下的在線可用容量估計和SOC估計展開，以拓展所提出方法的適用性。