江 柳， 李向有， 劉靖雯

( 延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

利用廣義凸函數(shù)推理最優(yōu)性理論一直以來都是諸多學(xué)者關(guān)注的熱門研究內(nèi)容.Antcazk[1]在2001年定義了(p-r)不變凸函數(shù)，在2003年給出了廣義B-(p,r)不變凸函數(shù)[2]并用新定義的函數(shù)研究了相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.隨后大量學(xué)者在此基礎(chǔ)上討論了B-(p,r)不變凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件以及鞍點問題[3—5]等，李向有、張慶祥[6—7]定義了B-(p,r,α)不變凸函數(shù)，并討論了其最優(yōu)性條件和對偶性條件.G不變凸函數(shù)[8]是凸函數(shù)的另一種推廣，T.Antczak[9]用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)可微規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件、對偶性條件和鞍點理論，得到了許多重要結(jié)論.Y.M.Kang[10]和Ho Jung Kim[11]把G不變凸函數(shù)推廣到非可微情形,定義了非可微G不變凸函數(shù)，并且研究了相應(yīng)的多目標(biāo)規(guī)劃問題.李向有[12]定義了(G-V,ρ)不變凸函數(shù),并用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的對偶性條件,得到相關(guān)結(jié)論.

本文在B-(p,r,α)不變凸函數(shù)和G不變凸函數(shù)的基礎(chǔ)上，定義了G-B-(p,r,α)不變凸函數(shù)、G-B-(p,r,α)不變擬凸函數(shù),并用這類函數(shù)研究多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件，得到了幾個最優(yōu)性充分條件.

1 基本定義

?f(x)={ξ∈Rn:f0(x;d)≥ξΤd,?d∈Rn}.

下列不等式在全文成立：對于任意x,y∈Rn,

x≤y?xi≤yi；

x≤y?xi≤yi,但x≠y；

x

設(shè)X?Rn,u∈X,令f=(f1,…,fq),fi:X→Rq是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù),令I(lǐng)fi(x),(i=1,…,k)表示fi的值,在文獻[12]中作者定義了一類新的凸函數(shù)B-(p,r,α)不變凸函數(shù)，B-(p,r,α)不變擬凸函數(shù).T.Antczak定義了非可微(G-V)不變凸函數(shù).受此啟發(fā)，我們把這兩種不變凸函數(shù)進一步推廣，定義G-B-(p,r,α)不變凸函數(shù)，G-B-(p,r,α)不變擬凸函數(shù)和G-B-(p,r,α)不變偽凸函數(shù).

p≠0,r≠0,

p≠0,r=0,

p≠0,r≠0,

p=0,r≠0，

p≠0,r=0，

p=0,r=0，

2 最優(yōu)性條件

考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃問題(VP):

minf(x)=(f1(x),…,fq(x)),

s.t.g(x)≤0,

x∈X?Rn,

這里fi:X→R(i=1,…,q),g:Rn→Rm,均為局部Lipschitz的實值函數(shù),記x是(VP)的可行域.

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1，…,μm)≥0,使得下列結(jié)論成立:

(1)

用λi乘以上面不等式并把這些不等式相加可得

(2)

(3)

(4)

這與

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1，…，μm)≥0,使得下列結(jié)論成立:

(5)

即得

(6)

因為

即

(7)

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1，…，μm)≥0,使得下列結(jié)論成立:

(8)

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λq)>0,μ=(μ1，…，μm)≥0,使得下列結(jié)論成立:

(9)

(10)

(9)式與(10)式相加得