摘要：為了實現(xiàn)隔振器低動態(tài)剛度和高阻尼的設(shè)計目標，利用兩層變桿長X型機構(gòu)，提出一種新型隔振器.首先，采用諧波平衡法獲得所建隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型的穩(wěn)態(tài)解析解，并分別給出隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)、等效剛度、等效阻尼和力傳遞率.然后，根據(jù)力傳遞率，將新型隔振器與常規(guī)線性隔振器和準零剛度隔振器進行對比分析.同時，采用有限元方法對獲得的解析解進行了有效性驗證.最后，分析并給出系統(tǒng)參數(shù)對新型隔振器隔振性能的影響規(guī)律.結(jié)果表明：與常規(guī)線性隔振器相比，新型隔振器具備更小的動態(tài)剛度和更高的阻尼輸出;與準零剛度隔振器相比，本新型隔振器除了能保證低剛度和高阻尼輸出之外，還具有較好的穩(wěn)定性與靜承載能力;隔振系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對隔振性能均有較大影響，可通過靈活調(diào)整隔振系統(tǒng)各設(shè)計參數(shù)滿足不同的隔振需求.

關(guān)鍵詞：X型機構(gòu);低剛度;諧波平衡法;高阻尼隔振器

中圖分類號：TB123文獻標志碼：A

Study on Dynamic Characteristics of a Type of Vibration Isolator with Geometrically Nonlinear Low Stiffness and High Damping

LIU Guoyong HAO Pengpeng ZHAO Pengpeng LIU Haiping1

（1. School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 10008 China;

2. Innovation Academy for Microsatellites of CAS，Shanghai 201210，China）

Abstract：A new type of vibration isolator is proposed by using a two-layer variable-bar length X-type mechanism in order to achieve the design objectives of the isolator with low dynamic stiffness and high damping. Firstly，the harmonic balance method is used to obtain the stationary analytical solution of the established mechanical model for the vibration isolation system，and the amplitude-frequency response，phase-frequency response，equivalent stiffness，equivalent damping and force transfer rate of the vibration isolation system are given respectively. Then，according to the force transmissibility，the vibration isolation performance is compared with conventional linear vibration isolator and quasi-zero stiffness vibration isolator. At the same time，the finite element analysis is carried out to verify the validity of the analytical solution. Finally，the influence law of the system parameters on the vibration isolation performance of the new type vibration isolator is analyzed and given. The results show that when compared with the conventional linear isolators，the new isolators have smaller dynamic stiffness and higher damping output，and when compared with the quasi-zero stiffness isolators，the new isolator not only can guarantee low stiffness and highdamping output，but also has better stability and static bearing capacity. The design parameters of the vibration isolation system have a greater impact on the vibration isolation performance. Various design parameters of the vibration isolation system can be flexibly adjusted to meet different vibration isolation requirements.

Key words ：X-type mechanism;low stiffness;harmonic balance method;high damping isolator

常見的振動控制問題中，傳統(tǒng)的振動控制方法一般基于線性理論，即期望更小的諧振頻率與更低的諧振峰值來實現(xiàn)更好的隔振性能.但是，選擇較小的諧振頻率意味著較小的系統(tǒng)剛度，即系統(tǒng)的靜態(tài)承載能力不足.以車輛的懸架系統(tǒng)為例，通常希望能在更低的頻率、更寬的頻帶范圍內(nèi)實現(xiàn)良好的隔振，同時也要有一定的靜承載力.而常見的線性常規(guī)隔振器由于其固有的局限性而無法滿足這些隔振需求.因此，研究人員為了解決該類問題開發(fā)了多種懸架系統(tǒng)，如主動懸架系統(tǒng).但是該類懸架系統(tǒng)存在系統(tǒng)復(fù)雜、可靠性不強等問題.

為了解決上述問題，近年來研究人員基于非線性動力學(xué)理論發(fā)現(xiàn)了一些新穎的隔振方法.這些隔振方法具有非常出色的隔振性能，尤其在寬頻及低頻范圍內(nèi)具有良好的隔振效果.

文獻[1-3]利用水平彈簧產(chǎn)生的負剛度與垂向彈簧產(chǎn)生的正剛度相互抵消，從而實現(xiàn)準零剛度的機理，提出了一種準零剛度隔振器.但該隔振系統(tǒng)由于具有準零剛度的特性，在幅值較大的振動問題上存在嚴重的穩(wěn)定性問題.此外，為了利用非線性準零剛度特性，文獻[4]開發(fā)了準零剛度磁性彈簧系統(tǒng).文獻[5]研究了一種非線性磁性低頻隔振器.文獻[6]設(shè)計了一個帶有彎曲梁的準零剛度隔振器.文獻[7-9]設(shè)計了碟形橡膠準零剛度隔振器、屈曲板型準零剛度隔振器、氣動可調(diào)式準零剛度隔振器.這些準零剛度隔振器可在不犧牲支撐能力的情況下降低整體動態(tài)剛度.但該類系統(tǒng)存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、成本較高及可靠性不足等問題，推廣應(yīng)用受到了限制.

近年來，內(nèi)含幾何非線性X型機構(gòu)減隔振裝置的研究得到了持續(xù)關(guān)注.文獻[10-11]從仿生學(xué)角度提出采用X型機構(gòu)引入非線性阻尼，研究發(fā)現(xiàn)諧振振幅極大衰減，而在其他頻段由于阻尼增大并未使系統(tǒng)響應(yīng)傳遞特性變差.文獻[12]將多層X型機構(gòu)與杠桿系統(tǒng)組合構(gòu)成準零剛度隔振器，采用力控制可以有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)反共振頻率和低頻范圍的傳遞特性.文獻[13]為了改善工人操作過程中所受惡劣力學(xué)環(huán)境的影響，創(chuàng)新性地提出采用多層X型機構(gòu)構(gòu)建反共振隔振裝置.研究表明，在保證設(shè)備正常負載條件下，反共振隔振裝置可顯著減小系統(tǒng)動態(tài)載荷的傳遞.文獻[14]以航天器在軌非合作目標抓捕過程中周期或者沖擊載荷作用下產(chǎn)生的微振動為控制目標，采用多層X型機構(gòu)建立機械臂和末端執(zhí)行機構(gòu)之間的隔振裝置.研究表明，多層X型機構(gòu)組成的隔振裝置可以有效控制自由懸浮狀態(tài)衛(wèi)星平臺和被捕獲目標之間的動態(tài)響應(yīng)，且通過調(diào)整設(shè)計參數(shù)可以靈活調(diào)整其減隔振性能.文獻[15]通過觀察人體四肢運動過程中的力學(xué)關(guān)系，建立內(nèi)含X型機構(gòu)的反共振隔振器模型.研究表明，此類反共振隔振器具備優(yōu)良的低頻寬頻減隔振性能.文獻[16]提出采用受拉伸載荷作用的X型機構(gòu)建立準零剛度隔振裝置.研究表明，在被動振動控制中采用結(jié)構(gòu)非線性的設(shè)計方法，X型機構(gòu)可以將非常有益的非線性引入隔振系統(tǒng)，從而產(chǎn)生高靜態(tài)-低動態(tài)剛度的隔振特性[17-19].但是，在隔振系統(tǒng)研究中，該團隊研究較多的是空氣阻尼、機構(gòu)間的旋轉(zhuǎn)摩擦阻尼及引入慣性系統(tǒng)所產(chǎn)生的非線性阻尼，并未在X型機構(gòu)內(nèi)部引入阻尼單元，更談不上研究其幾何非線性的阻尼放大特性.

綜上，本文基于X型機構(gòu)可實現(xiàn)對阻尼系數(shù)放大和多層X型機構(gòu)可實現(xiàn)隔振系統(tǒng)動態(tài)剛度減小的機理，提出一種可實現(xiàn)低動態(tài)剛度與高阻尼隔振性能的隔振器，并通過合理設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)可使其擁有較高的負載能力;同時該隔振系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、適用性強、使用靈活、易于制造和實施等優(yōu)點.

1動力學(xué)建模

低剛度高阻尼隔振器的力學(xué)模型如圖1所示.其中，圖1（a）為隔振系統(tǒng)的初始狀態(tài)，圖1（b）為在激勵力作用下的平衡狀態(tài).M為慣性質(zhì)量;k為彈簧剛度;c為阻尼系數(shù);l₁為上部X型機構(gòu)單根剛性桿的長度，l₂為下部X型機構(gòu)單根剛性桿的長度;四根剛性桿兩兩鉸接，剛性桿與水平軸y的初始夾角為仇運動前后，初始夾角θ的變化量為φ;為時間;y₁為上部X型機構(gòu)在受激勵力作用下水平方向的單邊變形量;y₃為下部X型機構(gòu)在受激勵力作用下水平方向的單邊變形量;x₁為上部X型機構(gòu)在受激勵力作用下垂直方向的總變形量;x₂為下部X型機構(gòu)在受激勵力作用下垂直方向的總變形量，F(xiàn)為激勵力.假設(shè)，垂直方向向上為x軸正方向，水平方向向右為y軸正方向.

根據(jù)圖1所示X型機構(gòu)的幾何運動關(guān)系，得到：

可以得到隔振系統(tǒng)的動能為：

隔振系統(tǒng)的彈性勢能可表示為：

式中：

則可得到隔振系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：

根據(jù)拉格朗日定理，可得到：

假設(shè)基礎(chǔ)所受激勵為F=F₀cosωt，則該隔振系統(tǒng)的運動微分方程可表示為：

為方便計算，需對式（14）進行化簡，定義函數(shù)：

由于函數(shù)f₁（x）和f₂（x）在x=0處連續(xù)，將式（15）和式（16）分別在零平衡位置采用三階泰勒級數(shù)展開，可得：

式中：

將式（17）和式（18）代入式（14）中，可得：

為了方便計算，對式（25）引入無量綱參數(shù)，具體定義如下：

式中：ω_n為隔振系統(tǒng)固有頻率;τ為無量綱時間;Ω為頻率比;s為無量綱位移;ξ為阻尼比;f₀為無量綱激勵力幅值;λ為桿長比.

進而得到：

式中：

采用諧波平衡法對式（27）進行求解.假設(shè)其穩(wěn)態(tài)解的形式為：

s=s₀cosΩτ

式中：s₀為位移幅值.

將式（34）代入式（27）并略掉高次項得：

可得：

為了方便表示，定義：

解得力激勵條件下隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)：

式中：Ω的上標代表力激勵，下標則表示組成幅頻響應(yīng)曲線的兩個部分.

2等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)

2.1等效剛度系數(shù)分析

由前節(jié)動力學(xué)建模過程分析可知，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的等效彈性恢復(fù)力為：

式（42）對x進行求導(dǎo)并無量綱化后即可解得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)：

式中：K_t即為低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的無量綱化等效剛度系數(shù).暫定λ= θ=60°，由式（43）即可畫出無量綱化等效剛度系數(shù)隨無量綱位移的變化規(guī)律，如圖2所示.

由圖2可以看出，與常規(guī)線性隔振系統(tǒng)相比，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)明顯減小，證明該隔振器實現(xiàn)了低剛度的設(shè)計目標.

2.2等效阻尼系數(shù)分析

與常規(guī)線性隔振系統(tǒng)類似，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的等效阻尼恢復(fù)力為：

式中：ξ₁為低剛度高阻尼隔振器的等效阻尼系數(shù).由式（45）即可給出隔振系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)隨s的變化規(guī)律，如圖3所示.

由圖3可以看出，在當前結(jié)構(gòu)參數(shù)下，無量綱等效阻尼系數(shù)放大了約2倍.因此，與常規(guī)線性隔振系統(tǒng)相比，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的阻尼得到了顯著放大.

綜上，選擇合適的參數(shù)，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的等效阻尼得到顯著放大的同時，隔振系統(tǒng)剛度顯著減小.

3隔振效果評估

為驗證低剛度高阻尼隔振器的隔振效果，與常規(guī)線性隔振器、準零剛度隔振器進行對比.

對于常規(guī)線性隔振器，容易得到力傳遞率為：

對于準零剛度隔振器[1-3]，其運動微分方程為：

其力傳遞率可表示為：

而對于低剛度高阻尼隔振器傳遞到基礎(chǔ)的力可由諧波疊加的方式求得：

得到低剛度高阻尼隔振器的力傳遞率為：

由式（50）可得低剛度高阻尼隔振器的力傳遞率曲線Ω-T同時，為了驗證含放大機構(gòu)隔振器解析解的正確性，利用龍格-庫塔法給出部分頻點的時域解.

低剛度高阻尼隔振器的初始設(shè)計參數(shù)為ξ= 0.05，θ=60°，λ=3.分別得到常規(guī)線性隔振器、準零剛度隔振器與低剛度高阻尼隔振器的力傳遞率曲線;同時給出數(shù)值計算結(jié)果，如圖4所示.

由圖4可見，低剛度高阻尼隔振器的數(shù)值解和解析結(jié)果良好一致，證明其頻域解析結(jié)果有效.

與常規(guī)線性隔振器相比，力傳遞率曲線峰值得到顯著衰減，且峰值頻率向低頻移動，即有著更寬的隔振頻帶.

與準零剛度隔振器相比，本文所述低剛度高阻尼隔振器具有以下優(yōu)點.

1）由于多穩(wěn)態(tài)非線性的出現(xiàn)，準零剛度隔振器會出現(xiàn)嚴重的穩(wěn)定性問題，而對低剛度高阻尼隔振器而言，其傳遞率曲線表現(xiàn)出較弱的非線性且沒有分岔、混沌及多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，因此該隔振器有著較好的穩(wěn)定性.

2）準零剛度隔振器只有在其隔振頻率遠大于跳變頻率時才可實現(xiàn)較為安全的隔振，相比之下，低剛度高阻尼隔振器具有更寬的隔振頻帶.

3）在不改變剛度系數(shù)及阻尼系數(shù)的情況下，低剛度高阻尼隔振器通過其系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)整可實現(xiàn)比準零剛度隔振器更低的諧振頻率及更低的諧振峰值.

此外，由式（43）可以看出，系統(tǒng)的等效剛度隨著初始傾角的增大而增大，因此本文所述低剛度高阻尼隔振器的靜承載能力可根據(jù)隔振器結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)進行調(diào)節(jié)，從而實現(xiàn)“高靜低動”的效果.如在負載質(zhì)量未作用于隔振器時，設(shè)計初始傾角為一較大值，此時隔振器的等效剛度較大，可以保證隔振系統(tǒng)有較好的靜承載能力;當負載作用在隔振器上且達到靜平衡狀態(tài)時，隔振系統(tǒng)的初始傾角必然會減小，此時隔振系統(tǒng)的等效剛度也會減小，即可保證該隔振器有較小的動剛度.

由此說明，低剛度高阻尼隔振器可實現(xiàn)對動剛度減小和阻尼放大的設(shè)計目標，即在系統(tǒng)動態(tài)剛度減小的同時實現(xiàn)了高阻尼輸出，并且有著較好的穩(wěn)定性與靜承載能力.

4有限元模型驗證

為了驗證解析模型的正確性，現(xiàn)建立與解析模型等效的有限元模型，如圖5和圖6所示.其中，慣性質(zhì)量點的值M =10 kg;桿長比λ=3;初始傾角θ=60°;彈簧剛度k=2 000 N/m;阻尼系數(shù)c= 10 N/m.

邊界條件：桿之間鉸接通過圖示的軸采用revolute 連接方式實現(xiàn);在上部X型機構(gòu)內(nèi)部添加剛度單元，在下部X型機構(gòu)內(nèi)部添加阻尼單元，分別表征理論模型中的剛度單元與阻尼單元.在上板中心位置添加質(zhì)量點表征負載;下板采用Fixed support固支表征基礎(chǔ);在上板施加垂向正弦力激勵，表征力激勵.網(wǎng)格條件為：所有網(wǎng)格單元均采用六面體網(wǎng)格，網(wǎng)格單元尺寸為3 mm，共劃分為4 380個單元，22 143個節(jié)點.

上述分析在Ansys workbench掃頻分析模塊中進行，設(shè)置掃頻范圍為0～100 Hz，計算頻點數(shù)為300個.通過提取固支端的反力得到激勵力通過隔振器傳遞到基礎(chǔ)的力，從而得到傳遞率曲線，如圖7所示.

由圖7可以看出：有限元分析所得傳遞率曲線與解析方法所得傳遞率曲線在高頻處有略微的差別，這是由有限元模型的高頻局部模態(tài)引起的，由于隔振系統(tǒng)解析結(jié)果主要用于表征系統(tǒng)在中低頻段的減隔振效果，不包含高頻模態(tài)的影響，所以本文中由高頻局部模態(tài)引起的動態(tài)響應(yīng)不再討論.由于剛性桿的質(zhì)量相對于質(zhì)量點較小，對有限元分析結(jié)果影響不大，因此兩條傳遞率曲線基本完全擬合，由此說明解析結(jié)果正確、有效.

5參數(shù)影響分析

根據(jù)第1節(jié)所述內(nèi)容，低剛度高阻尼隔振器的主要設(shè)計參數(shù)為λ、θ和ξ，以下重點討論這些設(shè)計參數(shù)對低剛度高阻尼隔振器動態(tài)特性的影響.此外，還分析了激勵力幅值對隔振器傳遞率的影響.為了便于討論，以第3節(jié)中定義的設(shè)計參數(shù)為初始值.

5.1阻尼比ξ對隔振性能的影響

阻尼比分別取ξ為0.01、0.05、0.10，得到力傳遞率曲線，如圖8所示.由圖可見，阻尼系數(shù)主要對力傳遞峰值有影響，即隨著阻尼比增大，力傳遞率峰值顯著減小.

5.2桿長比λ對隔振性能的影響

低剛度高阻尼隔振器桿長比對力傳遞率曲線的影響如圖9所示.其中，桿長比λ的取值分別為1、3和5.可見，桿長比增大，力傳遞率諧振峰值明顯減小;其諧振頻率向低頻移動.由此可說明，桿長比越大，系統(tǒng)剛度越小，系統(tǒng)阻尼越大.

5.3初始傾角值θ對隔振性能的影響

低剛度高阻尼隔振器鉸接桿初始傾角θ對力傳遞率的影響如圖10所示.由圖10可見，初始傾角分別為45°、60°和70°時，隨著初始傾角增大，力傳遞率曲線諧振峰值明顯減小，同時其諧振頻率向高頻移動.由此可說明，隨著初始傾角的增大，系統(tǒng)阻尼在增大的同時，系統(tǒng)剛度也在增大.因此，為了實現(xiàn)隔振器低剛度高阻尼的輸出這個設(shè)計目標，初始角度需要根據(jù)具體設(shè)計參數(shù)進行調(diào)整.

5.4激勵力幅值F對隔振性能的影響

低剛度高阻尼隔振器激勵力幅值對力傳遞率的影響如圖11所示.由圖11可見，隨著激勵力幅值的增大，諧振幅值在減小，但其減小效果極其微小，而諧振頻率基本沒有變化.由此可說明激勵力幅值對隔振效果的影響較小，也說明該隔振系統(tǒng)的非線性特性較弱.這就導(dǎo)致F=1N、5N、10N的3條力傳遞率曲線基本重合，因此圖11看起來只有2條曲線.

6結(jié)論

本文提出一種低剛度高阻尼的隔振器.首先，在所建隔振系統(tǒng)動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，采用諧波平衡法給出其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的解析表達式，并進行了驗證，同時分別給出該隔振系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼表達式.其次，求得并利用有限元模型驗證了隔振系統(tǒng)的力傳遞率，同時在頻域?qū)Ω粽衿鞲粽裥ЧM行了評估.最后，采用力傳遞率作為評價指標，對其關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)進行了影響研究.研究結(jié)果表明：

1）與常規(guī)線性隔振器相比，低剛度高阻尼隔振系統(tǒng)的力傳遞率曲線峰值顯著衰減，且諧振頻率向低頻移動.

2）與準零剛度隔振器相比，低剛度高阻尼隔振器有著較好的穩(wěn)定性、更寬的隔振頻帶，隔振性能可通過結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)靈活調(diào)整.

3）數(shù)值解與解析解的對比驗證及有限元模型驗證，證明所建解析模型和表達式正確有效.

4）隔振系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對隔振性能均有較大影響：隔振器阻尼比增大，力傳遞率峰值減小，諧振頻率基本沒有變化;桿長比增大，力傳遞率諧振峰值明顯減小;其諧振頻率向低頻移動;初始傾角e增大，力傳遞率曲線諧振峰值明顯減小，同時其諧振頻率向高頻移動;合理設(shè)計結(jié)構(gòu)參數(shù)，隔振器可實現(xiàn)“高靜低動”的隔振特性.

本文研究成果對X型機構(gòu)類型隔振器的設(shè)計和應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)意義.

參考文獻

[1] CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P. Static analysis of a passive vibration isolator with quasi - zero -stiffness characteristic [J]. Journal of Sound and Vibration，2007，301 （3）：678-689.

[2]CARRELLA A，BRENNAN M J，KOVACIC I，et al. On the force transmissibility of a vibration isolator with quasi-zero-stiffness [J]. Journal of Sound and Vibration，2009，322（4/5）：707-717.

[3] CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P. Optimization of a quasi-zero-stiffness isolator [J]. Journal of Mechanical Science and Technology，2007，21（6）：946-949.

[4]ROBERTSON W S，KIDNER M R F，CAZZOLATO B S，et al. Theoretical design parameters for a quasi-zero stiffness magnetic spring for vibration isolation[J] . Journal of Sound and Vibration，2009，326（1/2）：88-103.

[5] XU D L，YU Q P，ZHOU J X，et al. Theoretical and experimental analyses of a nonlinear magnetic vibration isolator with quasizero-stiffness characteristic[J]. Journal of Sound and Vibration，201 332（14）：3377-3389.

[6] LIU X T，HUANG X C，HUA H X. On the characteristics of a quasi-zero stiffness isolator using Euler buckled beam as negative stiffness corrector [J]. Journal of Sound and Vibration，201 332 （14）：3359-3376.

[7]徐道臨，周杰，周加喜，等.碟形橡膠準零剛度隔振器的設(shè)計和特性分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，42（8）：22-28.

XU D L，ZHOU J，ZHOU J X，et al. Design and analysis of a disc rubber vibration isolator with quasi-zero-stiffness characteristic [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2015，42 （8）：22-28.（In Chinese）

[8]徐道臨，成傳望，周加喜.屈曲板型準零剛度隔振器的設(shè)計和特性分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），201 41（8）：17-22.

XU D L，CHENG C W，ZHOU J X. Design and characteristic analysis of a buckling plate vibration isolator with quasi-zerostiffness [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），201 41（8）：17-22.（In Chinese）

[9]徐道臨，趙智，周加喜.氣動可調(diào)式準零剛度隔振器設(shè)計及特性分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），201 40（6）：47-52. XU D L，ZHAO Z，ZHOU J X. Design and analysis of an adjustable pneumatic vibration isolator with quasi-zero-stiffness characteristic [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），201 40（6）：47-52.（In Chinese）

[10] BI AN J，JING X J. Nonlinear passive damping of the X-shapedstructure[J] . Procedia Engineering，2017，199：1701-1706.

[11] BIAN J，JING X J. Superior nonlinear passive damping characteristics of the bio-inspired limb-like or X-shaped structure [J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，125：21-51.

[12] LIU C C，JING X J，LI F M. Vibration isolation using a hybrid lever-type isolation system with an X-shape supporting structure [J] . International Journal of Mechanical Sciences，2015，98：169-177.

[13] JING X J，ZHANG L L，F(xiàn)ENG X，et al. A novel bio-inspired antivibration structure for operating hand-held jackhammers [J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，118：317-339.

[14] DAI H H，JING X J，WANG Y，et al. Post-capture vibration suppression of spacecraft via a bio-inspired isolation system[J] . Mechanical Systems and Signal Processing，2018，105：214-240.

[15] FENG X，JING X J. Human body inspired vibration isolation：Ben- eficial nonlinear stiffness，nonlinear damping amp; nonlinear inertia [J] . Mechanical Systems and Signal Processing，2019，117：786-812.

[16] CHENG C，LI S M，WANG Y，et al. Force and displacement transmissibility of a quasi-zero stiffness vibration isolator with geometric nonlinear damping[J] . Nonlinear Dynamics，2017，87（4）：2267-2279.

[17] XUE B C. Simulation study on scissor-like element vibrations [D]. Hong Kong：Hong Kong Polytechnic University，2013.

[18] SUN X T，JING X J，XU J，et al. Vibration isolation via a scissorlike structured platform[J]. Journal of Sound and Vibration，201 333（9）：2404-2420.

[19] SUN X T，JING X J. Analysis and design of a nonlinear stiffness and damping system with a scissor-like structure[J] . Mechanical Systems and Signal Processing，2016，66/67：723-742.