他維武

摘要：一次函數(shù)和不等式的結(jié)合非常緊密，基于二者在初中代數(shù)中的重要地位，同時(shí)又是歷年中考命題熱點(diǎn)，而學(xué)生對一次函數(shù)中關(guān)于自變量取值范圍難題的解決通常一籌莫展，本文中結(jié)合具體案例，從最簡單的一條直線出發(fā)研究如何利用“蝴蝶法”化解一次函數(shù)中自變量取值范圍難題，對教學(xué)重難點(diǎn)突破有一定的幫助.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);自變量;取值范圍;不等式（組）;數(shù)形結(jié)合思想

無論是在單純的函數(shù)問題，還是應(yīng)用題中，一次函數(shù)中自變量的取值范圍始終是重要內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生難以突破的一個(gè)考點(diǎn)[1].基于此，本文中首先介紹平面直角坐標(biāo)系中一條直線對應(yīng)的函數(shù)的自變量取值范圍，然后拓展到兩條相交直線中利用“蝴蝶法”討論自變量的取值范圍，希望在幫助教師教學(xué)的同時(shí)也能幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

1 引例分析

例1 已知函數(shù)y=2x-4，要使y>0，那么x的取值范圍是.

分析：這是一道一次函數(shù)與不等式結(jié)合的題目，比較常見且難度不大，有兩種不同的解法.解法一，由y>0得到2x-4>0，解出不等式后即得x的取值范圍.解法二，畫出函數(shù)y=2x-4的圖象，借助圖象分析出x的取值范圍.

解：用兩點(diǎn)法作出函數(shù)y=2x-4的圖象，如圖1所示.

中，x=2時(shí)，y=0.直線y=2x-4被點(diǎn)（2，0）分成上下兩部分.如圖2所示，在直線上半部分中取若干各點(diǎn)，分別找出這些點(diǎn)對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)x大于2時(shí)，

y都大于0，于是有“x>2時(shí)，y>0”.

接下來，在直線下半部分中取若干個(gè)點(diǎn)，分別找出這些點(diǎn)對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)x小于2時(shí)，y都小于0，于是有“x<2時(shí)，y<0”.

所以，y>0時(shí)x的取值范圍是x>2.

點(diǎn)評：通過函數(shù)圖象分析自變量的取值范圍大致分為以下幾個(gè)步驟.（1）找圖象與x軸的交點(diǎn)，確定y=0;（2）將直線分為上下兩部分，取若干點(diǎn)討論x，y;（3）比較大小.當(dāng)然，還可以通過觀察圖象直接得到直線上半部分中的點(diǎn)相應(yīng)的y值都大于0，直線下半部分直線中的點(diǎn)相應(yīng)的y值都小于0，即“上大下小”[2].

2 例析“蝴蝶法”

所謂“蝴蝶法”，是根據(jù)同一坐標(biāo)系中兩條直線形成的圖形而產(chǎn)生的方法，其基礎(chǔ)是例1中的方法，只不過是將一條直線換成了兩條直線.下面通過例2說明如何用“蝴蝶法”解決一次函數(shù)自變量的取值范圍.

例2 已知函數(shù)y1=x-1和y2=2x-3，當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍是.

分析：本題可采用兩種方法解答.法1可以直接根據(jù)y1>y2得到不等式x-1>2x-3，解之即可得到x的取值范圍.法2采用圖象法，即先畫出函數(shù)圖象，然后根據(jù)“蝴蝶法”分析.

解：首先，畫出兩函數(shù)圖象，如圖3所示.

其次，求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo).由y=x-1，y=2x-3.得

x=2，y=1.

即當(dāng)x=2時(shí)，y1=y2.

再次，找“蝴蝶”.兩條直線將整個(gè)平面直角坐標(biāo)系分成了四部分，利用“引垂法”找到垂線與兩直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)所在直線之間部分（如圖4所示）即為所找“蝴蝶”.

最后，由圖可以發(fā)現(xiàn)y1>y2部分主要在交點(diǎn)左邊部分“蝴蝶”，而這部分的橫坐標(biāo)全部小于2.于是，得到了當(dāng)x<2時(shí)，y1>y2.那么交點(diǎn)右邊部分的“蝴蝶”的橫坐標(biāo)全部大于2.于是，得到了當(dāng)x>2時(shí)，y1

綜上，應(yīng)填答案：x<2.

例3 圖5表示一艘輪船和一艘快艇沿著相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程中路程隨時(shí)間變化的圖象.根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）在輪船和快艇中，哪一個(gè)的速度較大？

（2）當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，快艇在輪船的后面？當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，快艇在輪船的前面？

分析：第（2）問是本文研究的對象，主要方法是求出兩條直線交點(diǎn)，然后利用“引垂法”找到“蝴蝶”，再用“蝴蝶法”找到自變量的取值范圍.

解：（1）在輪船快艇中，快艇的速度更大，快艇的速度為40 km/h.

（2）兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.當(dāng)x<4時(shí)，輪船在快艇的前面;當(dāng)x>4時(shí)，快艇在輪船的前面.

點(diǎn)評：在運(yùn)用“蝴蝶法”求自變量取值范圍的過程中，用“引垂法”找準(zhǔn)“蝴蝶”非常關(guān)鍵.若不掌握此法，學(xué)生極易出現(xiàn)選左右兩個(gè)部分的錯(cuò)誤，繼而無法準(zhǔn)確找出y1>y2或y1

3 總結(jié)與反思

用“蝴蝶法”求一次函數(shù)自變量取值范圍的步驟如下：

（1）畫圖象.根據(jù)題目需要，利用“兩點(diǎn)法”快速畫出函數(shù)圖象.

（2）求交點(diǎn).聯(lián)立一次函數(shù)解析式，解之即可求出直線交點(diǎn)坐標(biāo).此時(shí)，要透徹理解交點(diǎn)的意義.以例2中的交點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）為例，其意義為當(dāng)x=2時(shí)，y1=y2.

（3）找“蝴蝶”.為了避免找錯(cuò)“蝴蝶”，通常利用“引垂法”，如例2解題過程中所寫.

（4）比大小.這里的比大小，一方面要比較x的大小，另一方面要比較y的大小.首先，欲找到x的取值范圍，只需將x與交點(diǎn)橫坐標(biāo)比較.其次，欲找到y(tǒng)1>y2或y1y2;如果與直線y2的交點(diǎn)在上方，則y1

使用“蝴蝶法”時(shí)，還需注意以下兩個(gè)方面：

（1）正確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵，所以學(xué)生要牢固掌握“兩點(diǎn)法”.

（2）“引垂法”的關(guān)鍵在于找到直線上一個(gè)點(diǎn)后，分別作出它與x，y軸的垂線，其垂足之處對應(yīng)的數(shù)字的絕對值就是該點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.

4 結(jié)語

“蝴蝶法”作為一次函數(shù)自變量取值范圍問題的解決方法，其適用范圍非常廣，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象或一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象等都可以利用.另外，在利用該法解決問題時(shí)，教師要注重學(xué)生圖象觀察能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中體會數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)而掌握這類問題的解決方法[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]馬士偉. 函數(shù)自變量的取值范圍[J]. 數(shù)理天地（初中版）， 2020（3）：9-11.

[2]張建良. 善用直觀圖形 巧定取值范圍[J]. 初中生世界， 2020（Z5）：83-84.

[3]李春宣. 分離出一次函數(shù) 直觀看參數(shù)范圍[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 2020（3）：76-77.

[4]周林雪. 概念透析精細(xì)化——以《一次函數(shù)》章節(jié)分析為例[J]. 中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)）， 2020（2）：84-85.