王紅華

筆者曾受邀參加咸寧市名師工作室研討活動(dòng)，會(huì)上研討了一節(jié)“一題一課”型的復(fù)習(xí)課.大部分教師在討論中提出，中考前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課難上，認(rèn)為復(fù)習(xí)課是“三無”產(chǎn)品，即“無教材、無教參、無教案”，因此許多教師往往依賴各類教輔資料搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)加重，阻礙數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.而“一題一課”的課型就是讓學(xué)生走出題海，減負(fù)增效.這種課型以一個(gè)問題為背景材料，深度挖掘問題的條件、結(jié)論和解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，從知識(shí)體系的高度去變式拓展，探究新的問題解決方案，并提煉其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，揭示問題的本質(zhì)，促進(jìn)思維能力的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

筆者以人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章第4節(jié)的課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”的問題1為素材，討論用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)基于“一題一課”型復(fù)習(xí)課的生成過程并作簡要評(píng)析.

1 課本問題呈現(xiàn)

問題 如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B 地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

2 課堂生成思路

此問題也叫將軍飲馬問題，是每年各地中考的熱點(diǎn)之一.解決本問題可以作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，如圖2，連接A′B，交直線l于點(diǎn)C，即AC+BC最小.本問題通過軸對(duì)稱變換，將直線同側(cè)兩點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)變換到另一側(cè)，而不改變路徑的總長度，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決本問題.這其中蘊(yùn)含化歸思想，在解決問題的過程中軸對(duì)稱變換起到了橋梁作用.

此問題為解決最短徑問題提供了思考方法，下面繼續(xù)對(duì)本問題進(jìn)行思考.此問題中對(duì)象的特征是：有三個(gè)點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)在直線上，另兩個(gè)點(diǎn)實(shí)際上是兩定點(diǎn)且在直線的同側(cè).用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般的思想去思考，能否由定點(diǎn)想到動(dòng)點(diǎn)，而動(dòng)點(diǎn)往往在某個(gè)幾何圖形上，由此我們可以聯(lián)想到點(diǎn)A，B在某個(gè)幾何圖形上，由靜到動(dòng)多角度變式拓展，聯(lián)系前后所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，將此問題逐步推進(jìn)，提出新問題，然后分析問題，解決問題，進(jìn)而加深對(duì)知識(shí)的理解，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，同時(shí)提升思維的廣闊性和深刻性.

2.1 聯(lián)系直線型生成

上述已經(jīng)聯(lián)想到點(diǎn)A，B在某個(gè)幾何圖形上，可以用分類的思想，將初中幾何圖形簡單分為直線型、圓、一般曲線型（拋物線、雙曲線）.最簡單的一種，如問題1：如圖3，直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O，點(diǎn)B為一定點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線l1上且與點(diǎn)B在直線l2的同側(cè)，點(diǎn)C為直線l2上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C分別在何處時(shí)，AC+BC的值最?。?/p>

解法指引：

問題1與將軍飲馬問題不同之處在于點(diǎn)A不是定點(diǎn)，但A和B都在直線l2的同側(cè)，這與將軍飲馬問題中的對(duì)象有相似性，可以將此問題歸類為將軍飲馬問題，進(jìn)而類比將軍飲馬問題的解決方法去求解.學(xué)生容易想到用以下思路一解決.

思路一：如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B′，此時(shí)BC=B′C，求AC+BC的最小值，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.過點(diǎn)B′作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)A，連接AB′交直線l2于點(diǎn)C，即點(diǎn)A，C為所求點(diǎn).

用整體的思想繼續(xù)思考，若將直線l1看作是“定”的整體，能否通過類比將軍飲馬問題加以解決？于是指導(dǎo)學(xué)生用以下思路二加以解決.

思路二：如圖5，作直線l1關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線l3，此時(shí)過B作BD垂直于直線l3，垂足為D，交直線l2于點(diǎn)C，作D關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A，即BD為AC+BC的最小值，點(diǎn)A，C為所求點(diǎn).

兩種思路的證明也可讓學(xué)生類比將軍飲馬問題的證明，但此問題利用“垂線段最短”來說理，證明過程略.思路二中利用整體思想，使生疏的問題熟悉化，復(fù)雜的問題簡單化，從而順利解決問題.

聯(lián)系等邊三角形、菱形、正方形性質(zhì)可編寫習(xí)題.根據(jù)學(xué)情，也可讓學(xué)生自主編題.以下就是結(jié)合等邊三角形性質(zhì)編寫的例題.

例1 （2020＼5營口中考題改編）如圖6，△ABC為等邊三角形，邊長為6，AD⊥BC，垂足為D，E和F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，EF，則BE+EF的最小值為? ??.

分析：

此題中，點(diǎn)B和點(diǎn)F在AD的同側(cè)，點(diǎn)F和點(diǎn)E分別為AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，問題可轉(zhuǎn)化為將軍飲馬直線型拓展模型解決.本題中根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求BE+EF的最小值，問題可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到AB的距離，如圖7.解法略.

2.2 聯(lián)系圓生成

按分類思想，繼續(xù)考慮，點(diǎn)A若在圓上呢？

問題2 如圖8，點(diǎn)B為一定點(diǎn)，圓O與點(diǎn)B在直線l的同側(cè)，若點(diǎn)A為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)A，C在何處時(shí)，AC+BC的值最??？

解法指引：

點(diǎn)A在定圓O上且與點(diǎn)B均在直線l的同側(cè)，類比以上直線型拓展模型，也有兩種思路.

思路一：如圖9，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最小值.連接點(diǎn)B′和圓心O，交圓O于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)A，C即為所求點(diǎn).

思路二：直線型拓展模型將點(diǎn)A所在的直線看作“定”的整體，在這個(gè)問題中，同樣用到整體思想，我們也可把點(diǎn)A所在的圓O看作“定”的整體.類比思路一的方法，如圖10，作定圓O關(guān)于直線l的對(duì)稱圓O′，連接BO′，交圓O′于點(diǎn)A′，交直線l于點(diǎn)C，作點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，點(diǎn)A，C即為所求點(diǎn).此問題利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來證明，理由從略.

0

進(jìn)一步用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般的思想去思考：若點(diǎn)A，B在兩個(gè)不同圓上呢？學(xué)生作圖進(jìn)一步探究.

問題3 如圖11，若點(diǎn)A為圓O1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為圓O2上一動(dòng)點(diǎn)，圓O1與圓O2在直線l的同側(cè)，C為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)A，B，C分別在何處時(shí)，AC+BC的值最小？

1

2

解法指引：

點(diǎn)A，B在不同的圓上，點(diǎn)C在直線l上，三點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，圓O1，O2均在直線l的同側(cè)，可以類比前面的問題2，用整體的思想，把圓O1，O2分別當(dāng)作一個(gè)整體，看作直線l的同側(cè)的兩個(gè)不同的“定點(diǎn)”，就可以轉(zhuǎn)化為前面的將軍飲馬模型加以解決.如圖12，作圓O1關(guān)于直線l的對(duì)稱圓O′1，連接O′1O2交圓O′1于點(diǎn)A′，交圓O2于點(diǎn)B，交直線l于點(diǎn)C，連接O1C，交圓O1于點(diǎn)A，此時(shí)AC+BC的值最小，點(diǎn)A，B，C即為所求點(diǎn).當(dāng)然也可作圓O2關(guān)于直線l的對(duì)稱圓，方法與前面類似.此問題的證明方法也可類比將軍飲馬問題，如圖12，在直線l上任取一點(diǎn)C′，連接O1C′，O1′C′，利用“三角形中兩邊之和大于第三邊”來證明，具體證明略.有了此題問題的解決方法，以下2013年重慶高考題很容易找到突破口.

例2 （2013＼5重慶高考）已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（? ）.

A.52-4

B.17-1

C.6-22

D.17

3

解析：

M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，均在x軸的同側(cè)，問題歸類為以上將軍飲馬.聯(lián)系圓拓展模型，類比問題3的解法，如圖13，作圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓A，圓心為A（2，-3），半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，|PM|+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

即（3-2）2+（4+3）2-1-3=52-4.故選答案：A.

2.3 聯(lián)系拋物線生成

用分類的思想進(jìn)一步思考，若點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線和拋物線上呢？引導(dǎo)學(xué)生探究，數(shù)形結(jié)合思想，最后拓展成如下問題.

4

問題4 如圖14，若A為直線l： y=x+1上一點(diǎn)且在x軸上方，B為拋物線y=x2-4x+5上一動(dòng)點(diǎn)，C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求AC+BC的最小值.

解法指引：

分析題中已知條件，可以看出，點(diǎn)A，B，C均為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A，B均在x軸的同側(cè)，問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題.類比前面的方法，如圖14，作直線l：y=x+1關(guān)于x軸的對(duì)稱直線l1，易求得直線l1的解析式為y=-x-1.求AC+BC的最小值就轉(zhuǎn)化為求直線l1：y=-x-1上的點(diǎn)到拋物線y=x2-4x+5的最短距離了，此時(shí)可以平移直線l1至直線l2，當(dāng)直線l2與拋物線y=x2-4x+5有且僅有一個(gè)交點(diǎn)B時(shí)，求得此時(shí)直線l2的解析式為y=-x+114，點(diǎn)B的坐標(biāo)為32，54.過點(diǎn)B作BA′⊥l1，垂足為點(diǎn)A′，A′B交x 軸于點(diǎn)C，作點(diǎn)A′關(guān)于x 軸的對(duì)稱點(diǎn)A，即AC+BC的最小值為A′B，可求得A′B=1528.

3 課例評(píng)析

3.1 點(diǎn)成線，線成體，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系

本節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課在素材的選擇上具有重要意義，選擇具有生長力的問題，以一個(gè)問題為點(diǎn)，聯(lián)系前后知識(shí)，梳理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以思想方法為線索，在逐步變式拓展推進(jìn)中，將知識(shí)點(diǎn)與思想方法融合，形成了知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

3.2 思想方法引導(dǎo)，課堂生成行云流水

在變式拓展過程中，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般，以分類思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想為引導(dǎo)，聯(lián)系直線、圓及拋物線進(jìn)行變式拓展，層層深入，自然生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課，最后解決問題的方法動(dòng)中取靜，透過表象找到本質(zhì).

3.3 對(duì)比分析，學(xué)生思維得以呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)習(xí)思維方法、提高思維能力.在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下，變式拓展問題，分析對(duì)比變式拓展前后的問題對(duì)象的共同特征，思考能否將問題轉(zhuǎn)化為拓展前的問題加以解決，讓學(xué)生從思維的角度找到解決問題的切入點(diǎn).如，本文中讓學(xué)生分析變式拓展前后問題對(duì)象具有的共同特征，某兩個(gè)對(duì)象都在直線的同側(cè)，都是求最值的問題.讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)問題的思考、拓展、對(duì)比分析、探索、提煉的過程，發(fā)展學(xué)生思維.

4 結(jié)束語

由于篇幅所限，本文只闡述了用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課的過程及簡要評(píng)析，在具體教學(xué)實(shí)施過程中，可根據(jù)學(xué)情，創(chuàng)造性地變式拓展提問，合理有序地組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)的過程中，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技巧和數(shù)學(xué)方法得到有效演繹，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題方法和規(guī)律，提升數(shù)學(xué)思維能力.

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