蔡春艷

摘要：“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，這一章的邏輯結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)相似，也為高中繼續(xù)研究函數(shù)提供了研究范式.怎樣在短暫的一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的學(xué)習(xí)過程？基于PBL教學(xué)模式，結(jié)合問題展開“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)，并從數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)反饋等不同維度，協(xié)同發(fā)展學(xué)生的各種思維能力，立體培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：PBL;問題;二次函數(shù)

1 引言

PBL模式是一種以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法（problem-based learning，PBL），由美國的神經(jīng)病學(xué)教授 Barrows 首創(chuàng).它遵循以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生的主體性，使學(xué)習(xí)者投入于問題中，通過學(xué)習(xí)者的自主探索和合作交流來解決問題，從而學(xué)習(xí)到問題中隱含的知識(shí)，并在此過程中發(fā)展解決問題的能力和自主學(xué)習(xí)的能力[1].

筆者最近參與了一節(jié)蘇州市評優(yōu)課“二次函數(shù)”的磨課過程.“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，這一章的邏輯結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)相似，是對函數(shù)知識(shí)的完善和提高.第一課時(shí)的重點(diǎn)為理解概念，如果按照傳統(tǒng)模式，理解概念—應(yīng)用概念，學(xué)生會(huì)缺乏學(xué)習(xí)課程的新鮮感，也無法從整體上理解二次函數(shù).課程標(biāo)準(zhǔn)提出，“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)

主動(dòng)的過程.教學(xué)活動(dòng)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題” [2].PBL理念與課程標(biāo)準(zhǔn)一致，因此筆者嘗試采取PBL理念，即基于問題展開學(xué)生的學(xué)習(xí)，對教學(xué)過程作出梳理，供研討.

2 課堂實(shí)錄

2.1 環(huán)節(jié)（一）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引入新課

師：同學(xué)們好，我來自蘇州新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中，昨天開車來到我們常熟外國語學(xué)校.

如圖1，在這段運(yùn)動(dòng)過程中涉及哪幾個(gè)量？

生：時(shí)間、路程、速度.

師：這里的速度是常量，路程S和時(shí)間t是變量.這兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系？

生：S=80 t.

師：S是t的函數(shù)嗎？為什么？

生：是的.因?yàn)樵谶@個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量S和t，對于t的每一個(gè)值，S都有唯一的值與它對應(yīng).

師：這是什么函數(shù)？

生：正比例函數(shù).

師：正比例函數(shù)也是什么函數(shù)？

生：一次函數(shù).

師：如圖2，在這個(gè)過程中，t與v又有怎樣的關(guān)系？是我們學(xué)過的函數(shù)嗎？

生：t=3v，是反比例函數(shù).

師：有一段下坡路，若不踩油門，隨著時(shí)

間的變化，汽車的速度會(huì)怎

樣變化？（學(xué)生沉默了半分鐘.）

師：大家可以回想一下自己騎自行車下坡的體驗(yàn)，你感覺速度怎樣變化？

生：速度越來越快.

師：可見，這不再是一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng).此時(shí)，路程與時(shí)間會(huì)是怎樣的關(guān)系呢？為了探究這個(gè)問題，我們來做一個(gè)實(shí)驗(yàn).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：播放小車沿斜面下滑的視頻.

通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)，如表1.

師：觀察表1，你認(rèn)為S是t的函數(shù)嗎？是一次函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？

生：S是t的函數(shù)，但既不是一次函數(shù)，也不是反比例函數(shù).

師：請同學(xué)們畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.（投影展示）

師：老師和大家一樣也畫出了圖象，請看圖3，這是我們熟悉的函數(shù)圖象嗎？

生：不是.

師：這是一個(gè)新的函數(shù).我們通常是怎樣研究函數(shù)的？

生：研究函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題……

師：概念通常又是怎么得到的？

生：從生活中實(shí)際問題抽象而來.

師：是的，生活中存在很多類似的函數(shù)關(guān)系……

設(shè)計(jì)意圖：上課開始，教師就和學(xué)生分享了從自己學(xué)校到學(xué)生所在學(xué)校的路上的歷程，拉近教師與學(xué)生的距離，將學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂帶入現(xiàn)實(shí)生活情境中，符合PBL模式中設(shè)計(jì)完整學(xué)習(xí)情境的理念.在這個(gè)情境中，學(xué)生體會(huì)到可以用數(shù)學(xué)語言來解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)在不同情境下，路程與時(shí)間、速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.通過已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)關(guān)系，回顧研究函數(shù)的一般思路，為本節(jié)課進(jìn)一步研究新的函數(shù)奠定基礎(chǔ). 研究下坡路時(shí)路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，就是建模的過程，通過實(shí)驗(yàn)，由形入手，發(fā)現(xiàn)了一類新的函數(shù).這是什么函數(shù)，它有什么特征，有什么作用？在問題的驅(qū)動(dòng)下開始本章節(jié)的研究.

2.2 環(huán)節(jié)（二）——自主探究，合作交流

校園風(fēng)景如畫，老師帶領(lǐng)同學(xué)們來到學(xué)校門口的水池旁，一起觀察.

（1）水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，圓的面積 S 與半徑 r 之間的函數(shù)關(guān)系為?? ?.

（2）學(xué)校在另一側(cè)再建一個(gè)周長為20 m的矩形水池，水池的面積S（單位：m2）與一邊長 x（單位： m）之間的函數(shù)關(guān)系為?? ?.

（3） 如圖4，外側(cè)矩形長10 m，寬3 m，水池的邊緣是等寬的，寬度為 x m，則中間小矩形的面積 y（單位：m2）與 x之間的函數(shù)關(guān)系為??? ?.

問題1 S=πr2，S=-x2+10x，y=4x2-26x+30三個(gè)表達(dá)式有什么共同特征？

歸納得到二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量，y是x的函數(shù).

學(xué)生討論概括二次函數(shù)解析式的特征：（1）等號右邊是關(guān)于自變量的整式;（2）最高次項(xiàng)的次數(shù)是2;（3）二次項(xiàng)系數(shù)不等于零.

問題2 在以上實(shí)際問題中，自變量可以取哪些值？

歸納得到二次函數(shù)自變量的取值范圍：

（1）通常二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的自變量x可以是任意實(shí)數(shù).

（2）如果二次函數(shù)的自變量表示實(shí)際問題中的某個(gè)變量，那么它的取值范圍受到實(shí)際意義的限制.

設(shè)計(jì)意圖：在PBL模式的理念下，學(xué)生需要在一個(gè)真實(shí)的情境中對驅(qū)動(dòng)問題展開探究.環(huán)節(jié) （一）中，學(xué)生已經(jīng)明確了要研究的問題，并對這個(gè)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣.環(huán)節(jié)（二）中，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入真實(shí)的校園場景，觀察校門口的水池，探究水滴入水、水池面積等變化過程中變量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些變量之間的共同特征，從而歸納出新的函數(shù)——二次函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上展開研究.

2.3 環(huán)節(jié)（三）——?jiǎng)邮植僮?，解決問題

小組活動(dòng)：每人寫一個(gè)二次函數(shù)，請同桌說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

例題 如圖5，學(xué)校在長300 m，寬90 m的矩形廣場內(nèi)修建等寬的十字形道路，設(shè)道路寬為 x m，綠地面積為y m2. 你能寫出綠地面積與道路寬之間的函數(shù)表達(dá)式嗎？道路寬的取值范圍是什么？

探究 如圖6，用長50 m的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，墻的長度是20 m.請利用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，提出一個(gè)問題并解決，分小組完成.

設(shè)計(jì)意圖： 學(xué)生通過環(huán)節(jié)（二）的探究得到一個(gè)“產(chǎn)品”（ PBL模式的特征之一）——二次函數(shù)模型，環(huán)節(jié)（三）繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生漫步校園，從教學(xué)樓前的花壇入手，學(xué)生以小組合作的形式，提出問題并解決問題，體現(xiàn)了PBL模式的項(xiàng)目式教學(xué).在解決問題的過程中，學(xué)生可能需要用一元二次方程或二次函數(shù)的性質(zhì)來解決問題，也可能需要思考方程、不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，學(xué)生在思考、探索等過程中得到了必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，體會(huì)到了數(shù)學(xué)思維的多元性，并且激發(fā)出后續(xù)研究二次函數(shù)性質(zhì)的好奇心與求知欲.

3 基于PBL模式的課例賞析

3.1 基于問題情境展開學(xué)習(xí)

環(huán)節(jié)（一）為教師到學(xué)校路途中所遇之景，環(huán)節(jié)（二）為進(jìn)校所見一景，環(huán)節(jié)（三）為教學(xué)樓前一角景觀，整節(jié)課基于漫步校園所遇之景的變化，由學(xué)生自己提出問題，主動(dòng)探索問題，圍繞二次函數(shù)的概念這一主線展開學(xué)習(xí).學(xué)生的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了PBL模式的兩個(gè)要點(diǎn)：

（1）學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人

在PBL模式中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人. 在本課的學(xué)習(xí)中，不再由教師講授知識(shí)，而是學(xué)生自主探索.如環(huán)節(jié)（一），每個(gè)學(xué)生都可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)狀態(tài)多角度思考，從而得出不同程度的結(jié)論，學(xué)習(xí)積極性被調(diào)動(dòng)起來了.環(huán)節(jié)（二），圍繞校園里的水池，學(xué)生觀察水滴入水的過程，思考擴(kuò)建水池的設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)這些過程中變量的關(guān)系，提煉它們的共同特征，從而歸納得出一類新的函數(shù)——二次函數(shù).

（2）在問題解決過程中獲得新知識(shí)，發(fā)展新能力

環(huán)節(jié)（一），下坡路段上路程隨時(shí)間變化的關(guān)系，學(xué)生由生活經(jīng)驗(yàn)可知是函數(shù)但不是一次函數(shù)，問題有一定的難度，學(xué)生一時(shí)無法解決.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，得出路程隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，再畫出函數(shù)的圖象，既可以讓學(xué)生感受到函數(shù)的不同表現(xiàn)形式，感受數(shù)形結(jié)合，也充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.環(huán)節(jié)（二）和環(huán)節(jié)（三），學(xué)生在探究過程中，不僅學(xué)習(xí)了二次函數(shù)這個(gè)新的知識(shí)，而且親自參與建模過程，這些都體現(xiàn)了PBL模式的“在探究過程中學(xué)習(xí)及應(yīng)用學(xué)科思想”.

3.2 基于問題的教學(xué)反思

教師的教學(xué)圍繞PBL模式的三個(gè)要點(diǎn)展開：

（1）以激發(fā)求知欲和好奇心為支點(diǎn)

教育心理學(xué)的研究指出，好奇心是推動(dòng)兒童和成人去獲得新知識(shí)的主要?jiǎng)訖C(jī).學(xué)生的求知欲和好奇心是課堂活力的源泉，是課堂教學(xué)價(jià)值的支點(diǎn).如何激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心呢？本課從學(xué)生熟悉的騎車上坡下坡問題入手，結(jié)合校園里的真實(shí)場景，讓每個(gè)學(xué)生都有話可說，有法可想，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維.學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)，學(xué)習(xí)積極性也被調(diào)動(dòng)起來了.

（2）教師是輔助者和引導(dǎo)者

環(huán)節(jié)（三）原先的設(shè)計(jì)是由教師呈現(xiàn)一組題，學(xué)生練習(xí)，以題目增強(qiáng)二次函數(shù)的概念的鞏固.但是PBL模式中，教師是指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)技巧的教練，因此最終繼續(xù)創(chuàng)設(shè)情境，放手讓學(xué)生自主探索.再如環(huán)節(jié)（二），教師在學(xué)生歸納得出二次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際問題，考慮自變量的取值范圍，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)了教師引導(dǎo)者的角色.

（3）真實(shí)的基于績效的評價(jià)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出，學(xué)習(xí)評價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，評價(jià)要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注學(xué)習(xí)的過程.PBL模式中要求建立真實(shí)的基于績效的評價(jià).環(huán)節(jié)（一），遇到新函數(shù)教師沒有避開不談或者直接告知，而是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索兩個(gè)變量關(guān)系的過程，環(huán)節(jié)（三），互相提問，既利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也可以暴露學(xué)生思維的局限性，最后在教師的引導(dǎo)下共同歸納注意要點(diǎn).

4 結(jié)論

PBL在國外已形成一套成熟的教學(xué)方法，學(xué)生通過規(guī)劃和完成一系列任務(wù)，最終實(shí)現(xiàn)某個(gè)目標(biāo)或者解決某個(gè)問題，這就是項(xiàng)目.學(xué)生為了成功地完成項(xiàng)目，必須整合自己的學(xué)科知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)團(tuán)隊(duì)協(xié)作，最終對自己或他人的表現(xiàn)作出評價(jià)，這是PBL教學(xué)法的精髓[3].在國內(nèi)，由于課程時(shí)間的限制，不能很好地實(shí)行項(xiàng)目教學(xué)，比如，本課的驅(qū)動(dòng)問題還需后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能解決，無法在一節(jié)課內(nèi)完整體現(xiàn).再如，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)部分，按照PBL理念應(yīng)該讓學(xué)生真正進(jìn)入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，借助打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，記錄路程隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的圖象，這樣可以更真實(shí)地經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象函數(shù)模型的過程，感受研究函數(shù)的方法，但是時(shí)間所限，本節(jié)課老師采用課前做實(shí)驗(yàn)，錄好視頻在課堂上播放的方式，也是一種變通與嘗試.

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