鐘岱輝孫文豪

(山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)

0 引言

軟土場地地震反應(yīng)分析是巖土地震工程學(xué)領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容，是工程場地地震安全性評價(jià)的核心內(nèi)容，也是確定地表地震動參數(shù)不可或缺的一部分[1]。軟土場地地震反應(yīng)分析主要有頻域等效線性化和時(shí)域非線性兩種方法[2-4]。

上述方法的根本差別在于阻尼模型的不同[5]。頻域分析法常采用滯后阻尼模型，用等效線性化模擬土體的非線性特性，這種方法與頻率無關(guān)。而時(shí)域分析法通常采用粘滯阻尼，粘滯阻尼通常采用瑞利阻尼(Rayleigh damping)模型。馬俊玲[6]通過比較計(jì)算7種不同Rayleigh阻尼的取值在時(shí)域和頻域中的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)頻率是影響Rayleigh阻尼系數(shù)的主要原因。與頻域分析法不同，時(shí)域中的Rayleigh阻尼是與頻率相關(guān)的[7-8]。孫強(qiáng)強(qiáng)等[9]發(fā)現(xiàn)不同Rayleigh阻尼在場地地震反應(yīng)中對加速度反應(yīng)譜和加速度有一定的影響，而輸入地震動的頻譜特性決定了其影響程度。許紫剛等[10]提出了一種新的Rayleigh阻尼系數(shù)確定方法，即改進(jìn)完整形式的瑞利阻尼，并對比研究了不同Rayleigh阻尼對場地地震反應(yīng)分析的影響。

文章介紹了Rayleigh阻尼的基本理論，利用一維場地地震反應(yīng)分析程序DEEPSOIL，針對某典型Ⅲ和Ⅳ類軟土場地，分析了在不同地震動輸入下，不同Rayleigh阻尼模型的適應(yīng)性，研究了選取不同Rayleigh阻尼模型對場地地震反應(yīng)結(jié)果的影響，指出在DEEPSOIL的時(shí)域非線性方法下如何正確選取Rayleigh阻尼模型。

1 時(shí)域中的Rayleigh阻尼

在時(shí)域分析時(shí)，通常采用粘滯阻尼(viscous damping)假定。粘滯阻尼矩陣與頻率有關(guān)，即阻尼力與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度成正比。這種粘性阻尼矩陣與頻率有關(guān)，阻尼公式的類型決定了阻尼對頻率的依賴程度，這種考慮阻尼的方法是由RAYLEIGH等[16]于1945年首次提出的。在此方法中，阻尼矩陣[C]與質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]成正比，由式(1)表示為

式中a0、a1為Rayleigh阻尼系數(shù)。

粘滯阻尼矩陣與土體的質(zhì)量、剛度和固有模態(tài)有關(guān)。土體剛度和土體的固有模態(tài)可由土體的剪切波速推導(dǎo)出。當(dāng)阻尼矩陣只與剛度成正比時(shí)，即Rayleigh系數(shù)a0=0時(shí)，可以簡化式(1)，由式(2)表示為

式(2)又稱為簡化Rayleigh阻尼矩陣(Simplified Rayleigh Formulation，SRF)，該阻尼只與土層的第一振型有關(guān)，而且與土體剛度成正比。

式(1)又稱為完全Rayleigh阻尼矩陣(Full Rayleigh Formulation，F(xiàn)RF)，在工程中得到廣泛采用。

將式(1)擴(kuò)展，指定兩個(gè)以上的頻率，稱之為擴(kuò)展Rayleigh公式(Extended Rayleigh Formulation，ERF)。利用質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交的條件，阻尼矩陣可以由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的任意組合組成，由式(3)表示為

式中n為頻率數(shù)；ab為對應(yīng)常數(shù)阻尼比土層的系數(shù)。

Rayleigh阻尼公式的頻率依賴性意味著時(shí)域解的精度取決于所選擇的定義阻尼函數(shù)的頻率。確定Rayleigh阻尼系數(shù)，關(guān)鍵在于目標(biāo)頻率的選取。根據(jù)目標(biāo)頻率選取的不同，DEEPSOIL程序提供了3種Rayleigh阻尼模型，即簡化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼和擴(kuò)展Rayleigh阻尼[11]，如圖1所示。

圖1 DEEPSOIL中的Rayleigh阻尼模型示意圖

簡化Rayleigh阻尼與目標(biāo)阻尼只有一個(gè)交點(diǎn)，只在一個(gè)頻率上滿足目標(biāo)阻尼，完全Rayleigh阻尼與目標(biāo)阻尼有兩個(gè)交點(diǎn)，能夠在兩個(gè)頻率滿足目標(biāo)阻尼，擴(kuò)展Rayleigh阻尼與目標(biāo)阻尼有4個(gè)交點(diǎn)，可以在4個(gè)頻率上滿足目標(biāo)阻尼。對于如何選取阻尼模型，PARK[13]推薦選取完全瑞利阻尼模型；但對＜1 000 km的深層土，采用擴(kuò)展Rayleigh得到的結(jié)果比完全Rayleigh阻尼時(shí)更好。

2 場地模型建立與地震動輸入

2.1 場地鉆孔資料

從全國大量實(shí)際的鉆孔資料中選取出一個(gè)典型Ⅲ類和一個(gè)Ⅳ類場地鉆孔，土層剖面數(shù)據(jù)和剪切波速等數(shù)據(jù)見表1、2。各土層的剪切模型比(G/Gmax)、阻尼比(λ)與剪應(yīng)變(γ)非線性參數(shù)見表3、表4，土體非線性動力學(xué)參數(shù)資料均取自試驗(yàn)結(jié)果。

表1 Ⅲ類場地剖面計(jì)算參數(shù)表

表3 Ⅲ類場地各類土的非線性動力參數(shù)表

表4 Ⅳ類場地各類土的非線性動力參數(shù)表

表2 Ⅳ類場地剖面計(jì)算參數(shù)表

2.2 地震動輸入

輸入地震動的頻譜特征對場地地震反應(yīng)結(jié)果有著較大影響[9，14]。文章選取了兩條具有明顯頻譜特征差異的天然地震波。一條是中頻成分豐富的埃爾森特羅(El-Centro)波，另一條是高頻成分豐富的納漢尼(Nahanni)波。兩條地震波的輸入時(shí)程和反應(yīng)譜如圖2和3所示。

圖2 El-Centro波的和加速度時(shí)程加速度反應(yīng)譜圖

圖3 Nahanni波的加速度時(shí)程和加速度反應(yīng)譜圖

考慮到輸入地震動強(qiáng)度對場地地震反應(yīng)的影響，采用比例放縮法對兩條地震波進(jìn)行幅值調(diào)幅，將輸入地震動峰值強(qiáng)度調(diào)整為0.05g、0.10g、0.25g、0.50g、和0.60g，這樣的地震動幅值范圍充分考慮到了可能存在的地震動強(qiáng)度。

2.3 DEEPSOIL非線性模型的建立

土層厚度劃分由式(4)表示為

式中h為劃分后的土層厚度，m；Vs為土層剪切波速，m/s；fmax為土層允許傳播的最大頻率，一般＞25 Hz。

對于多層土場地，場地自振頻率由式(5)表示為

式中fn為場地第n階自振頻率；Vseq為等效剪切波速，m/s；n為土層振型階數(shù)；H為土層覆蓋層厚度，m。

DEEPSOIL模型中的各類土層的非線性動力學(xué)參數(shù)通過縮減模量和與擬合阻尼曲線方法(Modulus Reduction and Damping Curve，MRD)擬合得到。簡化Rayleigh阻尼模型頻率選取場地基頻；完全Rayleigh阻尼模型頻率的選取，文獻(xiàn)[8]建議選取場地的第1階和第3階自振頻率，文獻(xiàn)[12]和[13]推薦選取場地基頻和5倍場地基頻，文獻(xiàn)[6]也比較了兩種選取方法結(jié)果的差異，結(jié)果表明二者計(jì)算精度相當(dāng)，但文獻(xiàn)[13]的方法更簡便；擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型頻率的前兩階與完全Rayleigh阻尼模型相同，第3、4階頻率的間隔約為10 Hz，其選取是通過擴(kuò)展Rayleigh阻尼曲線與目標(biāo)阻尼交點(diǎn)計(jì)算得到[13]。

對于Ⅲ類場地，簡化Rayleigh阻尼模型的1階頻率選擇場地基頻0.73 Hz，即SRF(0.73 Hz)；完全Rayleigh阻尼的1、2階頻率選擇場地基頻和場地基頻的5倍，即FRF(0.73、3.65 Hz)；擴(kuò)展Rayleigh阻尼的前兩階頻率和完全Rayleigh阻尼相同，3、4階阻尼為35、45 Hz，即ERF(0.65、3.23、36、46 Hz)。對于Ⅳ類場地，Rayleigh阻尼模型頻率的選取結(jié)果為SRF(0.65 Hz)、FRF(0.65、3.23 Hz)、ERF(0.65、3.23、35、45 Hz)。

3 場地地震響應(yīng)分析

利用DEEPSOIL中的時(shí)域非線性方法對上述鉆孔場地剖面的60種工況進(jìn)行了計(jì)算。著重分析在不同頻譜、強(qiáng)度輸入地震動的作用下，3種Rayleigh阻尼模型的地表加速度反應(yīng)譜和土層峰值加速度的響應(yīng)特征。

3.1 地表加速度反應(yīng)譜

圖4～6為不同輸入地震動情況下3種Rayleigh阻尼模型的部分地表加速度反應(yīng)譜。

圖4～6給出了在時(shí)域非線性下簡化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼、擴(kuò)展Rayleigh阻尼及頻域無關(guān)解的計(jì)算結(jié)果，通過對比分析，地表加速度反應(yīng)譜結(jié)果有如下特征:

圖4 0.05 g輸入地震動下Ⅳ類場地地表加速度反應(yīng)譜圖

(1)與輸入地震動的頻譜特征相比，地表加速度反應(yīng)譜譜型基本類似于輸入地震波的譜型。地表加速度反應(yīng)譜在不同地震波作用下的譜型差異較大，在同一地震波的不同輸入強(qiáng)度下譜型整體差異不明顯。

(2)對于El-Centro波，5種輸入地震動強(qiáng)度工況下，3種Rayleigh阻尼模型的反應(yīng)譜頻譜特征基本一致，地表加速度反應(yīng)譜均在周期0.5～2.0 s之間出現(xiàn)雙峰現(xiàn)象。但簡化Rayleigh模型在周期約為0.5 s發(fā)生較大突變，出現(xiàn)了明顯的高頻放大現(xiàn)象，峰值甚至大于頻率無關(guān)解。Ⅳ類場地基頻為0.65 Hz，輸入地震動El-Centro波和Nahanni波的傅氏譜卓越頻率分別為1.46和16.06 Hz。文獻(xiàn)[9]提到，輸入地震動的卓越頻率和土層基頻接近時(shí)，在場地地震反應(yīng)分析中應(yīng)用簡化Rayleigh阻尼模型是可行的。簡化Rayleigh阻尼模型在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)注意輸入地震動的頻譜特性。在全局反應(yīng)譜譜值大小上，基本上是完全Rayleigh阻尼模型＞擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型＞頻率無關(guān)解＞簡化Rayleigh阻尼模型。對于擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型和完全Rayleigh阻尼模型，二者在周期1.0～10.0 s的低頻部分譜值幾乎一致，在周期0.01～1.0 s的中高頻部分完全Rayleigh阻尼稍大于擴(kuò)展Rayleigh阻尼。其原因在于擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型有4個(gè)頻率與目標(biāo)阻尼比相滿足。在輸入地震動強(qiáng)度＞0.25g后，反應(yīng)譜譜值和譜型均變化不大。

圖5 0.1g輸入地震動下Ⅳ類場地地表加速度反應(yīng)譜圖

圖6 0.25 g輸入地震動下Ⅲ類場地地表加速度反應(yīng)譜圖

(3)對于Nahanni波，不同于El-Centro波，各Rayleigh阻尼模型的頻譜特征一致性較差，只有在周期2.0～10.0 s內(nèi)一致性較好，可能與Nahanni波高頻成分豐富有關(guān)。在0.05g和0.10g輸入地震動強(qiáng)度下，反應(yīng)譜卓越周期約為0.5s。隨著輸入地震動強(qiáng)度的加大，周期在1.0～2.1 s內(nèi)的3種Rayleigh阻尼模型的反應(yīng)譜譜值逐漸增長并占優(yōu)，而且反應(yīng)譜譜型并沒有發(fā)生太大變化；簡化Rayleigh阻尼模型反應(yīng)譜峰值逐漸向長周期方向偏移；完全Rayleigh阻尼模型的譜值稍大于擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型，這點(diǎn)與El-Centro波相似。

(4)對于深厚軟土場地，簡化Rayleigh阻尼模型的應(yīng)用應(yīng)輸入地震動的頻譜特性相匹配，擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反應(yīng)譜的高頻分量。

3.2 地表峰值加速度

在不同輸入地震動工況下采用不同Rayleigh阻尼模型場地的地表峰值加速度(Peak Ground Acceleration，PGA)變化情況。表5和圖7為不同輸入地震動工況下，使用不同Rayleigh阻尼模型計(jì)算得到的Ⅲ類場地場地地表峰值加速度放大倍數(shù)和Ⅳ類場地地表峰值加速度關(guān)系。

表5 Ⅲ類場地下不同輸入地震動下地表峰值加速度放大倍數(shù)表

圖7 不同輸入地震動下Ⅳ類場地地表峰值加速度圖

通過對比分析表5和圖7可以發(fā)現(xiàn)不同Rayleigh阻尼模型的地表峰值加速度及加速度放大倍數(shù)有如下特征:

(1)對于地表峰值加速度，3種Rayleigh阻尼模型的PGA隨輸入地震動強(qiáng)度的增加變化趨勢相似；0.25g輸入強(qiáng)度以下的3種Rayleigh阻尼模型所得到的PGA在數(shù)值上接近，＞0.25g以后差距逐漸變大；但是在0.6gNahanni波的工況下，3種Rayleigh阻尼的PGA反而變小，甚至＜0.5gNahanni波輸入時(shí)的結(jié)果。PGA的整體數(shù)值關(guān)系上，完全Rayleigh阻尼模型的結(jié)果最大，大于擴(kuò)展Rayleigh阻尼，簡化Rayleigh阻尼最小。

(2)對于地表峰值加速度放大系數(shù)，3種Rayleigh阻尼模型的PGA放大隨輸入地震動強(qiáng)度的增加變化趨勢相似，總體上表現(xiàn)為先快速減小然后相對慢速減小。不管是El-Centro波和Nahanni波，除0.05gEl-Centro波輸入的工況外，其PGA放大系數(shù)都＜1.0。

對于軟土場地，DEEPSOIL的時(shí)域非線性計(jì)算方法得到的場地地表峰值加速度放大倍數(shù)偏小，對比文獻(xiàn)[14]和[15]，同樣出現(xiàn)了低估場地土層放大效應(yīng)，使其結(jié)果與實(shí)際場地地表反應(yīng)嚴(yán)重不符。

4 結(jié)論

文章比較了軟土場地中不同Rayleigh阻尼模型在時(shí)域非線性下的地震響應(yīng)結(jié)果，主要得到以下結(jié)論:

(1)3種Rayleigh阻尼模型結(jié)果的差異主要與振型頻率有關(guān)，理論上擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型中有4個(gè)頻率滿足目標(biāo)阻尼，場地阻尼衰減曲線更符合工程實(shí)際。隨著輸入地震動強(qiáng)度的增大，3種Rayleigh阻尼模型在地表加速度反應(yīng)譜譜值上差異逐漸加大，完全Rayleigh阻尼模型結(jié)果略大于擴(kuò)展Rayleigh阻尼，簡化Rayleigh阻尼模型的應(yīng)用應(yīng)與輸入地震動的頻譜特性相匹配。

(2)擴(kuò)展Rayleigh阻尼模型雖然比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反應(yīng)譜的高頻分量，但計(jì)算量繁多，所需時(shí)間長，計(jì)算結(jié)果與完全Rayleigh阻尼模型在結(jié)果上的相差最大僅為6.8%。因此，工程應(yīng)用期間，推薦使用完全Rayleigh阻尼模型。