楊鵬程，譚 鑫，鄭艷秋，黎 婧，蒲笑非，向思宇

（核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610213）

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制在工業(yè)上有著廣泛的應(yīng)用。比如桁架機(jī)器人、起重設(shè)備和龍門吊車在工件移位、掛物運(yùn)輸、懸臂抖動(dòng)和液體晃動(dòng)抑制等都是典型的欠驅(qū)動(dòng)控制應(yīng)用場景。此外，目前日益競爭激烈的工業(yè)機(jī)器人正在遍及不同的領(lǐng)域，以解決傳統(tǒng)工業(yè)環(huán)境中各種條件的限制問題，工業(yè)機(jī)器人在移動(dòng)和搬運(yùn)貯液容器的應(yīng)用場景將會(huì)大量出現(xiàn)，所以對(duì)工業(yè)機(jī)器人末端平滑運(yùn)動(dòng)控制以及液體晃動(dòng)抑制的應(yīng)用也提出比較高的要求。本文以開放貯液容器運(yùn)動(dòng)控制為代表的一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在保證貯液容器運(yùn)動(dòng)過程中快速、精確響應(yīng)的同時(shí)對(duì)容器中液體的晃動(dòng)抑制控制進(jìn)行研究，對(duì)這一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制具有充分的理論研究意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

從上世紀(jì)六十年代開始，國內(nèi)外研究者們就針對(duì)液體晃動(dòng)抑制提出可行性的控制方法，Singer N C和Singhose W等人提出了基于輸入整形技術(shù)的晃動(dòng)抑制控制方法，但是其方法對(duì)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型要求嚴(yán)格并且在一定程度上延長響應(yīng)時(shí)間。哈爾濱工業(yè)大學(xué)張龍等人在建立固液耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近線性化模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于觀測器的魯棒多目標(biāo)控制系統(tǒng)抑制液體晃動(dòng)。北京理工大學(xué)臧強(qiáng)對(duì)二維和三維液體的小幅晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)和控制問題進(jìn)行研究，分析高階模態(tài)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，使用基礎(chǔ)模態(tài)頻率和第三模態(tài)頻率作為設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)計(jì)復(fù)合控制器，進(jìn)而能夠消除無窮模態(tài)的晃動(dòng)。此外，還有一些學(xué)者在滑?？刂坪虷-inf控制方面展開研究，且都需要先建立較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型，但是在實(shí)際中往往不能夠建立系統(tǒng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型。本文將基于模型參考自適應(yīng)控制，對(duì)不能夠建立嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型的液體晃動(dòng)抑制這一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究。

1 基于Lyapunov穩(wěn)定性的模型參考自適應(yīng)控制方法

1.1 模型參考自適應(yīng)控制方法設(shè)計(jì)

模型參考自適應(yīng)控制（Model Reference Adaptive Control，MRAC），20世紀(jì)50年代后期發(fā)展起來的一類特殊的自適應(yīng)系統(tǒng)，使被控對(duì)象在參數(shù)未知以及系統(tǒng)具有不可測的動(dòng)態(tài)特性時(shí)仍然可以具有良好的控制性能。模型參考自適應(yīng)控制中，最重要的創(chuàng)新點(diǎn)就是提出參考模型，把對(duì)控制對(duì)象的系統(tǒng)性能要求首先通過一個(gè)已知確定的模型來設(shè)計(jì)，且這個(gè)模型具有和被控對(duì)象相似的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，把這個(gè)已知確定的模型稱作參考模型。同時(shí)把對(duì)參考模型的輸入也輸入到被控對(duì)象，然后根據(jù)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律使被控對(duì)象的輸出快速跟蹤參考模型的輸出，使得被控對(duì)象滿足設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性能要求。模型參考自適應(yīng)控制的系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 模型參考自適應(yīng)控制框圖

如圖1所示，設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程：

其中xp為n維的系統(tǒng)狀態(tài)向量，u為m維的輸入控制向量，且n和m都為已知常數(shù)，Ap和Bp分別為n×n系統(tǒng)矩陣和n×m輸入矩陣。設(shè)參考模型的狀態(tài)方程：

其中xm為n維的系統(tǒng)狀態(tài)向量，yr為m維的輸入控制向量，且n和m都為已知常數(shù)，Am和Bm分別為n×n系統(tǒng)矩陣和n×m輸入矩陣?，F(xiàn)采用參數(shù)可調(diào)的前饋控制器K和反饋控制器F來調(diào)整被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，且輸入u則：

其中K和F分別為m×m矩陣和m×n矩陣。為求自適應(yīng)機(jī)構(gòu)中的自適應(yīng)律，定義廣義狀態(tài)誤差向量：

根據(jù)實(shí)際情況，選取Lyapunov函數(shù)：

其中，P為n×n維正定對(duì)稱矩陣，R1和R2為m×m維正定對(duì)稱矩陣，符號(hào)tr表示矩陣的跡。由于Am為穩(wěn)定矩陣，則可以選擇正定對(duì)稱矩陣Q′，使得成立。工程上，Q′通常取為單位矩陣。所以式（5）也可為：

式（7）和式（8）即為液體晃動(dòng)抑制模型參考自適應(yīng)控制方法（MRAC）自適應(yīng)機(jī)構(gòu)的前饋控制器和反饋控制器的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律。其中F（0）和K（0）為初值，和為m×m矩陣，主要是根據(jù)試驗(yàn)來確定。

根據(jù)式（7）和式（8）確定的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律在輸入連續(xù)時(shí)，該自適應(yīng)系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，即：

1.2 奇異系統(tǒng)矩陣參考模型的設(shè)計(jì)

本文研究對(duì)象為二維狀態(tài)下開放貯液容器的液體晃動(dòng)抑制，采用擺動(dòng)的小球來等效容器中晃動(dòng)的液體，其小球及擺線晃動(dòng)的角度θ及其對(duì)時(shí)間的微分可以表征液體晃動(dòng)的程度，其等效力學(xué)模型如圖2所示。

根據(jù)圖2所示等效力學(xué)模型，根據(jù)參考文獻(xiàn)建立的狀態(tài)空間方程的系統(tǒng)矩陣：

圖2 液體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型

本文考慮的等效力學(xué)模型為參數(shù)已知的確定模型，其中yr為參考模型輸入項(xiàng)。然后可以根據(jù)二次最優(yōu)控制方法（LQR）對(duì)本文中參數(shù)已知的確定模型進(jìn)行二次最優(yōu)設(shè)計(jì)，可以得到：

其中R為對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)輸入向量的權(quán)重矩陣且為n×m的實(shí)對(duì)稱半正定矩陣，G為由系統(tǒng)（A，B，C）設(shè)計(jì)的逆穩(wěn)態(tài)增益，且G=-[C（A+R-1BTK）-1B]-1。Am滿足Re{eig（Am）}<0，即參考模型的系統(tǒng)矩陣Am特征根的實(shí)部均位于復(fù)平面的左半部分，保證參考模型的系統(tǒng)矩陣Am是穩(wěn)定矩陣。

2 仿真研究與分析

根據(jù)1.2節(jié)設(shè)計(jì)的參考模型，結(jié)合基于輸入整形技術(shù)的PID控制方法進(jìn)行仿真研究與特征對(duì)比分析，理想輸出的結(jié)果如圖3所示。

圖3 LQR控制方法與PID-ZVD控制方法響應(yīng)的比較

系統(tǒng)的理想輸出即參考模型輸出的穩(wěn)定時(shí)間相較于PID-ZVD控制方法增快0.895 s，增快36%，且液體的晃動(dòng)程度都很小。

根據(jù)1.1節(jié)理論推導(dǎo)設(shè)計(jì)參考模型及自適應(yīng)控制律，且被控對(duì)象系統(tǒng)參數(shù)未知，調(diào)節(jié)自適應(yīng)參數(shù)可得到仿真結(jié)果如圖4所示MRAC控制方法中參考模型與被控對(duì)象的位置響應(yīng)和速度響應(yīng)誤差和如圖5所示MRAC控制方法中參考模型與被控對(duì)象的響應(yīng)性能。整理仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，未知參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)的具體數(shù)值見表1。

圖4 參考模型與被控對(duì)象的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)誤差

圖5 參考模型與被控對(duì)象的響應(yīng)性能

結(jié)合表1所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通過模型參考自適應(yīng)律對(duì)前饋控制器和反饋控制器的調(diào)節(jié)能夠使參數(shù)未知的被控對(duì)象很好地跟蹤參考模型的控制性能，具體表現(xiàn)：

表1 模型參考自適應(yīng)控制的性能比較

（1）MRAC控制方法的系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間、最大瞬態(tài)晃動(dòng)角度以及殘余晃動(dòng)幅值均能較好地跟蹤參考模型的響應(yīng)時(shí)間，即達(dá)到系統(tǒng)期望性能指標(biāo)。

（2）MRAC控制方法相較于LQR控制方法的伺服電機(jī)最大驅(qū)動(dòng)力較小。

通過對(duì)仿真數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)參數(shù)未知的被控制對(duì)象的未知誤差響應(yīng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)小于1.0×10-5m能夠保證非常好的跟蹤性能。如圖6和圖7所示分別為MRAC控制方法中參考模型和被控對(duì)象的響應(yīng)。

圖6 參考模型的響應(yīng)

圖7 被控對(duì)象的響應(yīng)

3 總結(jié)與展望

本文主要針對(duì)這一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的各種不確定性，包括系統(tǒng)中的未建模動(dòng)態(tài)、諸多的非線性現(xiàn)象以及系統(tǒng)在運(yùn)行中的干擾，提出基于模型參考自適應(yīng)晃動(dòng)抑制控制方法，并在仿真中通過不同的系統(tǒng)參數(shù)來驗(yàn)證控制算法的自適應(yīng)性能。

本文提出的液體晃動(dòng)抑制模型參考自適應(yīng)控制方法（MRAC），對(duì)于奇異系統(tǒng)矩陣Lyapunov函數(shù)無解的情況，結(jié)合二次最優(yōu)控制的參考模型設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)得到穩(wěn)定的參考模型系統(tǒng)矩陣，為MRAC控制方法提供保證并且獲得期望的系統(tǒng)性能，系統(tǒng)響應(yīng)性能快速跟蹤參考模型的響應(yīng)性能。本文在二維環(huán)境中成功實(shí)現(xiàn)貯液容器位移的快速精確響應(yīng)、液體的晃動(dòng)抑制和系統(tǒng)輸入能量最小等運(yùn)動(dòng)過程中液體晃動(dòng)抑制的多目標(biāo)的優(yōu)化，但在未來的研究工作及工業(yè)應(yīng)用中推廣還需考慮三維環(huán)境中液體晃動(dòng)抑制問題，并展開進(jìn)一步的研究。