潘 慧

(浙江省國土勘測規(guī)劃有限公司杭州分公司 浙江杭州 310030)

近年來，我國高速鐵路發(fā)展迅速，其運行安全成為人們關(guān)注的重點。對高速鐵路進行沉降監(jiān)測并對其數(shù)據(jù)做進一步分析與預(yù)測，對于安全運行具有重要意義。然而高速鐵路沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的采集受多種因素的影響，如何利用已有沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)來預(yù)測高速鐵路沉降并提高預(yù)測精度是目前的研究對象。目前常用的時間序列預(yù)測模型包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、卡爾曼濾波模型及灰色系統(tǒng)模型等，其中灰色系統(tǒng)模型中最常用是傳統(tǒng)GM(1，1)模型。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的優(yōu)點是“小樣本、貧信息”，但受環(huán)境干擾較大，且當原始數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)較大波動時，該模型預(yù)測會產(chǎn)生較大誤差，導致預(yù)測精度不高。原始數(shù)據(jù)序列加權(quán)是提高模型精度的眾多方法之一，目前已有學者做了相關(guān)研究。趙澤昆等[1]利用權(quán)遞增因子構(gòu)建權(quán)矩陣，建立了非等間距加權(quán) GM(1，1) 模型 ，并證明了時間加權(quán)-新陳代謝GM(1，1)模型比傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的預(yù)測精度高；趙建飛等[2]將權(quán)作為原始序列的平滑因子，借助Matlab自編程序反復試驗得出權(quán)值，并驗證了加權(quán)GM(1,1)模型在地鐵沉降變形分析中的有效性、實用性和正確性。以上研究中權(quán)值大小隨時間遞增，充分考慮了新信息優(yōu)先原理，在一定程度上提高了模型的精度，但卻忽略了誤差對原始數(shù)據(jù)可信度的影響，存在一定的局限性。

本文運用相對誤差與時間距離相結(jié)合的定權(quán)方法，引入新陳代謝思想，建立一種新的加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型，并將傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型應(yīng)用到高速鐵路沉降預(yù)測中，通過實驗驗證加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型在高速鐵路沉降預(yù)測中的優(yōu)越性。

1 傳統(tǒng)GM(1，1)模型構(gòu)建

灰色理論可以從雜亂無章的原始時間線序列中找出內(nèi)在規(guī)律，解決小樣本中信息不完備的隨機時間序列問題，為解決信息量少、規(guī)律性不強的數(shù)據(jù)提供了重要的處理方法。

假設(shè)原始序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)} ，對X(0)做一次累加，得到以下序列[3]：

X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(1)

k=1，2，…，n。

(2)

2 加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型構(gòu)建

2.1 原始序列加權(quán)

時間序列中不同時間點對應(yīng)的值都應(yīng)加上一個表征其可靠性的權(quán)值[4]，但是在傳統(tǒng)GM(1，1)中，所有時間點對應(yīng)的值都被視為同等重要，因此使用GM(1，1)模型對序列建模，都會降低擬合與預(yù)測的精度[5]。為了提高模型精度，本文在傳統(tǒng)GM(1，1)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合時間距離與傳統(tǒng)GM(1，1)模型一次擬合相對誤差對時間序列加權(quán)，其中，相對誤差反映了模型受外界環(huán)境的影響，用來剔除時間序列中的影響因子；加入時間距離，用來突出新舊時間序列值重要性的差異，提高距離預(yù)測點較近時間點對應(yīng)數(shù)據(jù)的利用率。

假設(shè)一序列ε=[ε(1)，ε(2)，…，ε(n)]為傳統(tǒng)GM(1，1)模型對原始時間序列擬合后得到的殘差值，此序列的相對誤差可表示為

(3)

距時間序列初始值的時間距離dt=k-1(t=1，2，…，n)，設(shè)初始值x(1)(1)=x(0)(1)，ρ(1)=1，可以得到

(4)

在傳統(tǒng)模型式中加入式(4)，得到最終的還原式為

(5)

式中：ρ為權(quán)值；a為發(fā)展系數(shù)，反映時間序列的發(fā)展趨勢；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。

2.2 加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型

與老信息相比，新信息在認知上會有更大的作用，故加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型的建立有利于體現(xiàn)新信息的優(yōu)勢。在維度保持一致的情況下，通過加權(quán)模型可以求出在n+1時刻的預(yù)測值，即使用x(0)(n+1)替換原始序列中的x(0)(1)，原始序列可變換為(x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1))，通過模型進一步求出n+2時刻的預(yù)測值，直至求出所有預(yù)測值。

2.3 精度驗證

對加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型的穩(wěn)定性與可靠性進行驗證，需檢驗其擬合與預(yù)測精度。常用的精度檢驗方法有小誤差概率合格模型、均方差比合格模型和殘差檢驗合格模型[5]。

2.3.1 小誤差概率合格模型

2.3.2 均方差比合格模型

2.3.3 殘差檢驗合格模型

表1 精度檢驗等級Tab.1 Levels of Accuracy Inspection精度等級小誤差概率均方差比值平均相對誤差一級0.950.350.01二級0.800.500.05三級0.700.600.10四級0.600.800.20

3 實例分析

構(gòu)建傳統(tǒng)模型、加權(quán)模型和加權(quán)動態(tài)模型，然后對比分析3種模型的擬合值和預(yù)測值。試驗數(shù)據(jù)為某高速鐵路中DK1137+711斷面的累計沉降序列，選取第10～27期累積沉降數(shù)據(jù)進行建模，第28～30期累積沉降數(shù)據(jù)用于對傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型的預(yù)測效果進行檢驗。

3種模型擬合值的平均殘差分別為 0.268 mm、0.214 mm和0.137 mm，平均相對擬合誤差分別為13.372%、9.283%和6.524%。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為0.607 mm，最小擬合殘差為0.027 mm；加權(quán)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為0.447 mm，最小擬合殘差為0.057 mm；加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為 0.374 mm，最小擬合殘差為0.028 mm。表2為利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型得到的3期預(yù)測值。

表2 實測值與3種模型的預(yù)測值比較單位:mmTab.2 Comparison between Measured Values and Predicted Values of Three Models觀測期次實測值傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測值殘差加權(quán)GM(1,1)模型預(yù)測值殘差加權(quán)動態(tài)GM(1,1)模型預(yù)測值殘差282.882.5650.3152.6830.1972.7780.102293.152.9520.1983.0360.1143.1370.013302.863.2760.4163.1330.2733.0060.146

由表2可知，對高速鐵路沉降數(shù)據(jù)建模后預(yù)測得到的3期數(shù)據(jù)的平均殘差分別為0.310 mm、0.195 mm和0.087 mm，平均相對預(yù)測誤差分別為10.590%、6.668%和3.020%。通過殘差檢驗合格模型對3種模型擬合預(yù)測的結(jié)果進行檢驗，結(jié)果如表3所示。

表3 3期擬合預(yù)測精度檢驗結(jié)果Tab.3 Test Results of Three Phase Fitting Prediction Accuracy模 型平均相對擬合誤差/%精度等級平均相對預(yù)測誤差/%精度等級傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級10.590四級加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級6.668三級加權(quán)動態(tài)GM(1,1)模型6.524三級3.020二級

從表3可知，與傳統(tǒng)GM(1，1)模型相比，加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型的平均相對擬合誤差與平均相對預(yù)測誤差都有了較大程度的降低，精度提高較為明顯，尤其是預(yù)測精度，由四級提升到二級。為了更直觀地反映3種模型對高速鐵路數(shù)據(jù)的擬合與預(yù)測結(jié)果，繪制擬合預(yù)測值與擬合預(yù)測殘差值折線圖(圖1)。

圖1 斷面監(jiān)測點3期擬合預(yù)測值與擬合預(yù)測殘差值Fig.1 Fitting Prediction Values and Fitting Prediction Residual Values of Section Monitoring Points in Three- Phase

由圖1可知，加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型擬合預(yù)測結(jié)果與實測值最相近，擬合預(yù)測結(jié)果的殘差值波動最小，并且在原始時間序列波動較大的情況下依然能夠保持較好的擬合預(yù)測精度。采用同樣的方法對4期和5期數(shù)據(jù)進行預(yù)測，得到的檢驗精度統(tǒng)計結(jié)果如表4所示。

表4 4期和5期擬合預(yù)測精度檢驗結(jié)果Tab.4 Test Results of Fitting Prediction Accuracy in Four Phase and Five Phase期 數(shù)模 型平均相對擬合誤差/%精度等級平均相對預(yù)測誤差/%精度等級4期傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級14.836四級加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級8.196三級加權(quán)動態(tài)GM(1,1)模型6.524三級4.085二級5期傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級16.574四級加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級9.884三級加權(quán)動態(tài)GM(1,1)模型6.524三級5.165三級

從表4可以看到，隨著預(yù)測期數(shù)的增加，3種模型的預(yù)測精度都有所降低，但加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型精度降低的速率比另外兩種模型的小；加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型預(yù)測5期數(shù)據(jù)的平均相對誤差為5.165%，可以達到三級精度等級。

4 結(jié) 語

本文采用某高速鐵路中DK1137+711斷面的累計沉降序列數(shù)據(jù)，利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型進行沉降預(yù)測試驗，并對3種模型的試驗結(jié)果進行對比分析和驗證。結(jié)果表明，3種模型都能對高速鐵路進行準確的沉降監(jiān)測與預(yù)測，其中，加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型可將相對誤差視為誤差影響因子予以剔除，提高了新信息的利用率，并且可以減少數(shù)據(jù)中的隨機誤差，比其他兩種預(yù)測模型的擬合精度與預(yù)測精度更高。加權(quán)動態(tài)GM(1，1)模型用于高速鐵路沉降監(jiān)測具有高效性與準確性，可以反映出高速鐵路沉降變形規(guī)律，對于高速鐵路沉降監(jiān)測與預(yù)測具有一定參考價值。