馬鵬宇，任 豪，劉曉輝，彭榮貴

（1.長安大學(xué)高速公路施工機(jī)械陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064；2.河南省信陽市公路管理局，河南 信陽 464000）

1 引言

機(jī)器人機(jī)械臂的精確定位和快速運(yùn)動(dòng)一直是人們所期望的目標(biāo)，由于實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)都存在機(jī)構(gòu)的振動(dòng)現(xiàn)象，這就成為了其精準(zhǔn)控制的難點(diǎn)[1?2]。為了解決這一問題，就必須降低機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的振動(dòng)超調(diào)，使系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)束后的殘余振動(dòng)為零或者接近于零，柔性機(jī)構(gòu)的振動(dòng)抑制問題也是一個(gè)非?；钴S的研究課題[3]。指令整形是一種前饋控制技術(shù)，其原理是利用時(shí)滯脈沖響應(yīng)的相互抵消實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的消除[4?6]?，F(xiàn)有的相關(guān)研究只是針對(duì)傳統(tǒng)的ZV、ZVD 和EI三種整形器的設(shè)計(jì)分析[7?9]，但并未對(duì)擴(kuò)展整形器進(jìn)行振動(dòng)抑制的研究對(duì)比，且機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)刻系統(tǒng)殘余振動(dòng)較大，調(diào)節(jié)緩慢；雖也有利用導(dǎo)數(shù)法對(duì)整形器進(jìn)行了改進(jìn)和靈敏度的相關(guān)分析[10]，但只分析了單模態(tài)的靈敏度情形并未進(jìn)行振動(dòng)抑制效果的分析對(duì)比。

這里基于對(duì)簡單整形器進(jìn)行脈沖序列擴(kuò)展，采用易于實(shí)現(xiàn)的整形器級(jí)聯(lián)方法得到性能更加穩(wěn)定的改進(jìn)整形器。針對(duì)單連桿變截面柔性臂系統(tǒng)，通過將輸入信號(hào)規(guī)劃為三段式梯形速度，并采用4種擴(kuò)展整形器對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行整形，即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)殘余振動(dòng)的抑制，很大程度上減小了系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間，增加了整形器的魯棒性。另外，對(duì)4種擴(kuò)展整形器的單模態(tài)和多模態(tài)靈敏度進(jìn)行研究，得到了各擴(kuò)展整形器的魯棒性和多模態(tài)振動(dòng)抑制頻率比的規(guī)律，可為擴(kuò)展整形器的設(shè)計(jì)和振動(dòng)模態(tài)抑制提供依據(jù)。

2 指令整形擴(kuò)展計(jì)算方法及仿真

2.1 指令整形法的擴(kuò)展計(jì)算方法

指令整形法是依據(jù)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比得到一系列脈沖信號(hào)，將脈沖信號(hào)與系統(tǒng)的輸入信號(hào)進(jìn)行卷積后作為新的信號(hào)輸入系統(tǒng)，即可有效抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。系統(tǒng)在脈沖序列作用下的殘余振動(dòng)響應(yīng)為[7]：

式中：n—脈沖數(shù)；Ai—脈沖幅值；ti—脈沖作用時(shí)間阻尼振動(dòng)頻率。

要使得殘余振動(dòng)為零，必須滿足下式：

傳統(tǒng)指令整形法的ZV整形器（包含2個(gè)脈沖），由式（2）和約束條件t1=0，∑Ai=1可解得ZV整形器的脈沖參數(shù)如下：

實(shí)際應(yīng)用中，一方面要依據(jù)系統(tǒng)本身特點(diǎn)及輸出響應(yīng)情況，另一方面為了提高系統(tǒng)參數(shù)存在誤差時(shí)輸入整形器的魯棒性，需要合理地增加脈沖序列的個(gè)數(shù)。因此，提出來一種基于現(xiàn)有指令整形法的擴(kuò)展改進(jìn)方法，將ZV整形器擴(kuò)展為n脈沖的整形器，只需脈沖序列參數(shù)滿足式（4）即可抑制柔性系統(tǒng)的殘余振動(dòng)，將其稱為改進(jìn)的ZV輸入整形器。

其中，K=e?(2ξπ/(n?1?ζ2))；M=K+K2...+Kn?1。

ZV整形器在系統(tǒng)特性參數(shù)無誤差情況下可以有效的消除殘余振動(dòng)，為使在系統(tǒng)特性參數(shù)存在可控誤差時(shí)，也可以有效的抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)，應(yīng)對(duì)ZV輸入整形器施加額外的約束，使得殘余振動(dòng)V（ω，ζ）對(duì)頻率ω的導(dǎo)數(shù)在被控對(duì)象固有頻率ωn處為零，即可得到魯棒性較好的ZVD輸入整形器（包含3個(gè)脈沖）[7]。這里方法的不同之處在于：改進(jìn)的指令整形法是通過卷積兩個(gè)任意脈沖數(shù)的ZV整形器來獲得改進(jìn)的ZVD整形器，這樣就對(duì)其脈沖數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)充，抑制振動(dòng)的效果和穩(wěn)定性得到提高。以2×3脈沖的改進(jìn)ZVD 整形器（包含6 個(gè)脈沖）為例，如圖1 所示，所形成的ZVD整形器的6個(gè)脈沖參數(shù)滿足式（5）。

圖1 整形器的卷積過程Fig.1 Convolution of Shaper

式中：K=e?ζπ/(31?ζ2)；M=K2+K3+K4+K5+K7。

2.2 柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型

柔性機(jī)械臂的物理模型，如圖2所示。XOY為全局坐標(biāo)系，xoy為隨柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的隨動(dòng)坐標(biāo)系。角位移θ(t)為柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)的角度，E、I、A、ρ、L分別代表?xiàng)钍夏Ａ?、慣性矩、橫截面積、密度、總長度。U為扭矩，設(shè)U=m(x,t)。軸套半徑為r。y(x,t)代表柔性機(jī)械臂末端的振動(dòng)位移。將變截面梁等效成無窮多個(gè)均勻的等截面梁的組合，如圖3所示。

圖2 柔性機(jī)械臂物理模型Fig.2 Physical Model of Flexible Manipulator

圖3 單連桿柔性機(jī)械臂模型Fig.3 Models of a Single?Link Flexible Manipulator

由振動(dòng)力學(xué)[5]得變截面柔性梁的橫向振動(dòng)微分方程：

根據(jù)振型截?cái)喾╗5]得機(jī)械臂彈性變形為：

由振動(dòng)力學(xué)[5]得每段等截面梁的振型函數(shù)為：

令r=EI″(x)/ρA(x)且m(x,t)=0，式（6）可寫為：

式（10）中參數(shù)x和t相互獨(dú)立，令等式兩邊同時(shí)等于常數(shù)ω2，上式仍成立，式（10）被寫為：

式中：ω—機(jī)械臂的固有圓頻率。將式（10）和式（11）聯(lián)立化簡可得：

對(duì)式（12）的等號(hào)兩邊同乘以Yj(x)并積分得：

根據(jù)正交性條件[5]和式（13）可到旋轉(zhuǎn)扭矩作用下的柔性機(jī)械臂振動(dòng)微分方程，考慮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼因素，假設(shè)系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比為ζi，并寫成輸入輸出的形式[5]：

現(xiàn)將作用在柔性機(jī)械臂上的力矩看作集中力距，則力矩m(x,t)可寫成[5]：

式中：δ(?)—狄拉克函數(shù)，ξ—受力點(diǎn)到電機(jī)軸心O點(diǎn)的距離。

將式（15）代入式（14）并根據(jù)δ(?)導(dǎo)數(shù)的篩選性質(zhì)[5]得：

機(jī)械臂的力矩是由慣性力產(chǎn)生，慣性力的等效作用點(diǎn)是機(jī)械臂的質(zhì)心，由數(shù)學(xué)知識(shí)知如圖2的機(jī)械臂的質(zhì)心離軸心的距離ξ為：

式中：r—軸套半徑；L—變截面梁的總長；b0,b1—梁的固定端x=0和懸臂端x=L處橫截面的高度；b2—機(jī)械臂夾具長度。

由于力距M(t)是角速度ω0的函數(shù)，式（16）中的M(t)和Yj′(x)可寫成：

將Yj′(x)換成Yi′(x)，且記：

則式（16）改寫為：

將柔性機(jī)械臂的終端振動(dòng)位移y作為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，將式（20）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式：

表1 柔性臂參數(shù)表Tab.1 Flexible Arm Parameter Table

根據(jù)主振型正則化[5]和式得柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的輸入為角加速度信號(hào)，輸出為機(jī)械臂末端振動(dòng)位移的傳遞函數(shù)：

2.3 指令整形擴(kuò)展的振動(dòng)抑制仿真

通過實(shí)驗(yàn)衰減法測得柔性機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)：一階模態(tài)的固有頻率為ω=25.041rad/s；阻尼比為ζ=0.026。文獻(xiàn)[11]根據(jù)數(shù)值仿真得出，驅(qū)動(dòng)力矩頻率不高的時(shí)候，取前一階模態(tài)可滿足精度要求。因此這里只研究單連桿柔性機(jī)械臂的第一階振動(dòng)模態(tài)。

在仿真時(shí)將輸入的角速度信號(hào)經(jīng)整形器整形后再經(jīng)過微分器變成角加速度信號(hào)輸入到系統(tǒng)中，輸入信號(hào)和整形后的信號(hào)如圖5所示。系統(tǒng)仿真模型包括輸入信號(hào)模塊、四個(gè)整形器模塊、系統(tǒng)模塊、輸出模塊，具體模型，如圖4所示。

圖4 仿真模型Fig.4 Simulation Model

根據(jù)機(jī)械臂的特性參數(shù)及式（4）和式（5）可求得各整形器脈沖的幅值A(chǔ)i和作用時(shí)間ti。下面以2脈沖的ZV整形器、3脈沖的改進(jìn)ZV 整形器、（2×2）脈沖的改進(jìn)ZVD 整形器、（2×3）脈沖的改進(jìn)ZVD 整形器為例進(jìn)行仿真分析。各整形器脈沖序列設(shè)計(jì)參數(shù)，如式（6）~式（9）：

2脈沖ZV整形器：

3脈沖改進(jìn)ZV整形器：

2×2脈沖改進(jìn)ZVD整形器：

2×3脈沖改進(jìn)ZVD整形器：

針對(duì)圖3 中的機(jī)械臂系統(tǒng)，輸入信號(hào)設(shè)置為梯形速度信號(hào)（加速?勻速?減速），經(jīng)微分變?yōu)榻羌铀俣刃盘?hào)后輸入到系統(tǒng)模型中。初始信號(hào)和經(jīng)過ZV整形器整形的信號(hào)，如圖5所示?？v坐標(biāo)為輸入角速度，機(jī)械臂末端的振動(dòng)輸出響應(yīng)，如圖6所示。

圖5 系統(tǒng)輸入信號(hào)Fig.5 System Input Signal

圖6 系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.6 System Output Response

將各整形器整形后的信號(hào)輸入到柔性臂系統(tǒng)得到的仿真結(jié)果，如圖7、圖8所示。

圖7 改進(jìn)ZV整形器輸出響應(yīng)Fig.7 Improved Output Response of ZV Shaper

圖8 改進(jìn)ZVD整形器輸出響應(yīng)Fig.8 Improved Output Response of ZVD Shaper

圖6中，當(dāng)輸入信號(hào)加載給系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)在輸入信號(hào)結(jié)束后的3.13s時(shí)，機(jī)械臂末端存在2.76e?3m的殘余振動(dòng)。

由圖7知，加入ZV整形器和改進(jìn)的ZV整形器后，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的3.04s時(shí)機(jī)械臂末端分別存在4.76e?5m和3.98e?5m的殘余振動(dòng)。

相比未加輸入整形器的殘余振動(dòng)，系統(tǒng)殘余振動(dòng)分別減少了98.27%和98.56%。同時(shí)注意上述整形器加入之后系統(tǒng)的超調(diào)以及調(diào)節(jié)時(shí)間各不相同，加入改進(jìn)整形器后系統(tǒng)只在兩斜坡信號(hào)段出現(xiàn)超調(diào)，系統(tǒng)超調(diào)分別減小了46.86%和47.1%。

由圖8知，加入2×2脈沖改進(jìn)ZVD整形器和3×3脈沖改進(jìn)ZV整形器后，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的3.06s時(shí)和3.28s時(shí)機(jī)械臂末端分別存在8.39e?5m和4.44e?5m的殘余振動(dòng)。

相比未加輸入整形器的殘余振動(dòng)，系統(tǒng)殘余振動(dòng)分別減少了96.96%和98.39%。系統(tǒng)超調(diào)分別減小了46.35%和46.99%。由此說明對(duì)整形器的擴(kuò)展是合理且有效的，增加脈沖序列不但有效地消除系統(tǒng)殘余振動(dòng)，而且可以減小系統(tǒng)超調(diào)。

3 指令整形擴(kuò)展的靈敏度分析

在整形器的設(shè)計(jì)中，靈敏度是評(píng)價(jià)整形器性能的主要指標(biāo)。整形器的魯棒性可以用靈敏度曲線定量地表示，表示了系統(tǒng)固有頻率發(fā)生變化時(shí)對(duì)整形器抑制系統(tǒng)振動(dòng)的影響[9?10]。

靈敏度曲線上在某個(gè)殘余振動(dòng)水平范圍下的曲線的寬度稱為整形器的不敏感度，一般情況下整形器的振動(dòng)幅度限制為5%。靈敏度曲線表示了系統(tǒng)抑制的振動(dòng)與未抑制的振動(dòng)的比值，用最后一個(gè)脈沖結(jié)束時(shí)殘余振動(dòng)的百分比表示，曲線的橫軸為頻率比ωn，縱軸為殘余振動(dòng)百分比。輸入整形器的靈敏度V（ωn，ζ）的計(jì)算公式表示為式（27）：

式中：ωn—系統(tǒng)實(shí)際固有頻率與模型計(jì)算得到的頻率的比值。靈敏度曲線的寬度決定了整形器的不敏感度，曲線的寬度越大其不敏感度就越高，魯棒性也就越好。

對(duì)進(jìn)行靈敏度仿真，改進(jìn)ZV整形器的靈敏度曲線，如圖9所示。其設(shè)計(jì)參數(shù)為式（6）和式（7），一般以5%的殘余振動(dòng)為界線，根據(jù)上面的曲線圖可以看出，2脈沖和3脈沖改進(jìn)的ZV整形器的靈敏度曲線在頻率橫軸上的映射寬度分別為1.65和2.46，這表明3脈沖的ZV整形器的不敏感度比2脈沖的要稍高一些，也即3脈沖的ZV整形器魯棒性要稍好；同時(shí)，分析圖10可得，兩個(gè)ZV整形器不僅可以抑制頻率比為1的模態(tài)振動(dòng)，而且可以抑制某些特定頻率比的有限振動(dòng)模態(tài)。例如3脈沖改進(jìn)ZV整形器由于增加了脈沖數(shù)，還可以抑制頻率比為2的振動(dòng)模態(tài)。

圖9 ZV整形器的靈敏度曲線圖Fig.9 Sensitivity Curve of ZV Shaper

圖10 ZV整形器的靈敏度曲線Fig.10 Sensitivity Curve of ZV Shaper

然后對(duì)改進(jìn)后的ZVD整形器靈敏度曲線進(jìn)行仿真分析，其設(shè)計(jì)參數(shù)為等式（8）和等式（9），相應(yīng)靈敏度曲線，如圖11~圖12所示。

圖12 ZVD整形器的靈敏度曲線Fig.12 Sensitivity Curve of ZVD Shaper

分析可知，圖11中2×2脈沖和2×3的改進(jìn)ZVD 整形器的殘余振動(dòng)曲線與5%限制界線的交點(diǎn)在橫軸上的頻率寬度分別為7.56和7.91，也就表明2×3脈沖的ZVD整形器魯棒性要好。圖11中兩個(gè)ZVD整形器不僅可以抑制頻率比為1的模態(tài)振動(dòng)，2×2脈沖ZVD整形器還可以抑制頻率比為1、3、5、7的振動(dòng)模態(tài)，2×3脈沖ZVD整形器可以抑制頻率比為1、2、3、4、5、7的振動(dòng)模態(tài)。

圖11 ZVD整形器的靈敏度曲線Fig.11 Sensitivity Curve of ZVD Shaper

所研究的4個(gè)整形器的靈敏曲線整合，如圖13所示。比較可知，無論是哪種整形器，只有當(dāng)系統(tǒng)的頻率比為1時(shí)，系統(tǒng)的殘余振動(dòng)才可以被完全消除；以殘余振動(dòng)5%為界線，上述整形器的靈敏度曲線在橫軸上的頻率寬度范圍依次為1.65、2.46、7.56、7.91，由此可看出，2脈沖和3脈沖的ZV整形器以及2×2脈沖和2×3脈沖的ZVD同類型整形器的魯棒性相差不是很大，但與ZV整形器同脈沖數(shù)的改進(jìn)ZVD 整形器的靈敏度頻率寬度范圍大約是ZV整形器的3倍，相比來說，這就表明ZVD整形器的魯棒性更好能夠適應(yīng)參數(shù)的小誤差。但是，ZVD整形器的作用時(shí)間是ZV整形器的約2倍，也說明了增加脈沖提高魯棒性的同時(shí)，要犧牲系統(tǒng)的作用時(shí)間。

圖13 整形器的靈敏度曲線Fig.13 Sensitivity Curve of Shaper

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)指令整形對(duì)整形器進(jìn)行了擴(kuò)展改進(jìn)以及系統(tǒng)輸出響應(yīng)的仿真分析，并對(duì)其靈敏度進(jìn)行實(shí)例仿真對(duì)比。結(jié)果表明：

（1）對(duì)柔性機(jī)械臂運(yùn)用指令整形擴(kuò)展方法并且采用三段式梯形輸入信號(hào)后，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)刻能有效消除殘余振動(dòng)平均達(dá)97.97%以上，而且系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)超調(diào)平均降低達(dá)46.81%以上。

（2）應(yīng)用指令整形時(shí)只有當(dāng)被控對(duì)象的實(shí)際固有頻率與建模頻率相等時(shí)，系統(tǒng)的殘余振動(dòng)才能被完全消除；在5%殘余振動(dòng)條件下，ZV整形器通過增加脈沖序列的個(gè)數(shù)可以增大振動(dòng)模態(tài)抑制的頻率比范圍，且對(duì)（m×n）脈沖ZVD整形器，能夠抑制頻率比為k（k不等于m和n的最小公倍數(shù)）的振動(dòng)模態(tài)，且隨著頻率比值的增大，對(duì)殘余振動(dòng)的抑制效果也逐漸變?nèi)酢?/p>

（3）增加脈沖序列的脈沖數(shù)可以提高整形器抑振的魯棒性，但其作用時(shí)間會(huì)相應(yīng)增加。綜合分析對(duì)比知改進(jìn)的2×2 脈沖ZVD整形器有較好的全面性能。因此，合理選擇整形器及脈沖序列數(shù)可以很好的抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)且提高魯棒性，實(shí)現(xiàn)最好的綜合性能，同時(shí)也為柔性機(jī)構(gòu)振動(dòng)抑制中整形器的設(shè)計(jì)和選擇提供了依據(jù)。