王之岳，陳灶灶，朱利民，張?chǎng)稳?/p>

（上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240）

1 引 言

微透鏡陣列是將單顆透鏡作為陣列單元，排列在一個(gè)基板上的一種透鏡應(yīng)用。微透鏡陣列可以進(jìn)行聚光和散光，廣泛應(yīng)用于光束投影儀、光通信器件和照明設(shè)備等［1］。注塑和壓印是實(shí)現(xiàn)塑料微透鏡陣列大規(guī)模生產(chǎn)的關(guān)鍵技術(shù)，該技術(shù)需要高精度微透鏡陣列模芯。目前，高精度微透鏡陣列模芯的加工方法有超精密加工［2-3］、光刻［4］和激光加工等［5-7］。隨著微透鏡陣列模芯精度和尺度的不斷提高，需要研究更高精度的加工解決方案［8］。

現(xiàn)階段微透鏡陣列的機(jī)械加工方法主要包括超精密銑削與車削。與慢刀伺服車削相比，銑削逐顆加工透鏡陣列的加工一致性更好，且銑刀刀具壽命更長(zhǎng)。然而，銑削加工表面存在不規(guī)則刀痕和底部尖點(diǎn)缺陷，且銑削加工后的面形精度難以控制在亞微米水平。在加工大口徑透鏡陣列時(shí)，銑削加工單顆透鏡耗時(shí)長(zhǎng)，加工效率低。當(dāng)單顆透鏡的口徑大于2 mm、陣列數(shù)量大于100顆時(shí)，慢刀伺服的加工效率遠(yuǎn)高于銑削，而且不會(huì)出現(xiàn)銑削加工產(chǎn)生的不規(guī)則刀痕、底部尖點(diǎn)缺陷等問題。因此，在超精密加工實(shí)踐中，嘗試使用慢刀伺服車削整體加工大口徑透鏡陣列。然而，慢刀伺服加工高精度的微透鏡陣列依然存在挑戰(zhàn)［8］，加工出的透鏡面形精度差，加工表面會(huì)產(chǎn)生規(guī)則刀痕，并在邊緣處發(fā)生過切。

目前，慢刀伺服車削加工微透鏡陣列存在以下兩方面難點(diǎn)：一是刀具干涉過切，加工時(shí)在某些切削位置，受切表面局部方向與刀面不垂直，刀具產(chǎn)生等效傾斜角而導(dǎo)致過切，另外機(jī)床位置控制系統(tǒng)存在的2 ms左右時(shí)延也會(huì)導(dǎo)致過切，因此加工出的透鏡面形精度與一致性差；二是微透鏡陣列的加工誤差補(bǔ)償，由于刀具的幾何參數(shù)、刀具坐標(biāo)系及工件裝夾無法做到絕對(duì)準(zhǔn)確，因而加工出的微透鏡陣列存在一定的偏差，需要進(jìn)行補(bǔ)償加工［9］。此外，相比于銑削加工，車刀的使用壽命更短，且會(huì)在加工表面留下螺旋狀的規(guī)則刀痕。

針對(duì)慢刀伺服加工透鏡陣列面形精度與一致性差的問題，本文提出了慢刀伺服切削微透鏡陣列的加工誤差理論預(yù)測(cè)模型，通過與實(shí)際加工測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性；并開發(fā)了一套微透鏡陣列慢刀伺服切削補(bǔ)償系統(tǒng)，將預(yù)測(cè)的加工誤差預(yù)補(bǔ)償?shù)郊庸こ绦蛑?，從而提高慢刀伺服加工微透鏡陣列的面形精度與一致性。

2 模型建立

2.1 法曲率

假設(shè)空間中曲面上一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）是兩個(gè)獨(dú)立變量u，v的函數(shù)，用參數(shù)方程表示為：

用向量形式表示為：

當(dāng)參數(shù)（u，v）變成（u+du，v+dv）時(shí)，曲面上的點(diǎn)r=r（x，y，z）在du，dv的一階無窮小范圍內(nèi)，變?yōu)閞+dr=（x+dx，y+dy，z+dz），其中：

這兩個(gè)點(diǎn)之間距離的平方為：

其中：E=r u·r u，F(xiàn)=r u·r v，G=r v·r v；ds2為曲面的線素。右側(cè)是du，dv的二次形式，稱第一基本形式，3個(gè)系數(shù)E，F(xiàn)，G稱為第一基本量。

在曲面r=r（u，v）上的一點(diǎn)（u，v）處，做曲面的兩個(gè)切向量r u和r v，假定r u×r v≠0，則曲面在該點(diǎn)的法向量n滿足：

法向量對(duì)于所有切線滿足：

在曲面r=r（u，v）上的一點(diǎn)（u，v）處，做曲面的切平面，從其臨近點(diǎn)（u+du，v+dv）做該切平面的垂線，那么這個(gè)垂直距離是du，dv的二階無窮小量，其主部定義為第二基本形式φ，帶入式（6）有：

式中：

在曲面r（u，v）上的一點(diǎn)（u，v）處，其法曲率kn滿足［10］：

2.2 慢刀伺服切削面形誤差理論模型

將微透鏡陣列加工等效為自由曲面加工，慢刀伺服切削面形誤差理論模型中，根據(jù)切削點(diǎn)處的法曲率，計(jì)算出該點(diǎn)的局部曲率半徑，記為RC；再由刀具等效傾斜角模型，計(jì)算出由于該點(diǎn)實(shí)際切削產(chǎn)生等效傾斜角而導(dǎo)致的刀具過切量Δz1；最后由機(jī)床加工時(shí)延模型計(jì)算出刀具過切量Δz2，Δz1+Δz2作為慢刀伺服切削面形誤差的預(yù)測(cè)值。

如圖1（a）～1（c）所示，刀具沿螺線上的一點(diǎn)P切削自由曲面，刀面與切削平面垂直，記垂直于切削方向的向量為u→，沿切削方向的向量為v→，它們?cè)谧杂汕嫔系耐队盀镻＇，u→＇，v→＇。如圖1（a）所示，在垂直于切削方向的截面上，單晶金剛石車刀沿著點(diǎn)P＇切削。如圖1（b）所示，自由曲面在該點(diǎn)的曲率半徑RC等于在該點(diǎn)沿向量v→＇的法曲率kn的倒數(shù)，即有：

機(jī)床加工時(shí)延模型如圖1（d）所示。由于機(jī)床z軸與x，y軸之間存在控制時(shí)延Δt，當(dāng)加工程序控制機(jī)床的x，y軸到達(dá)t位置時(shí)，z軸仍在t-Δt位置，因而產(chǎn)生刀具過切量Δz2。由于機(jī)床z軸時(shí)延不易直接測(cè)量，需要先進(jìn)行一組加工實(shí)驗(yàn)，標(biāo)定得到機(jī)床加工時(shí)延Δt，再由實(shí)驗(yàn)標(biāo)定得到的Δt預(yù)測(cè)第二組不同曲率半徑球面透鏡陣列的加工誤差，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。

圖1 慢刀伺服切削面形誤差模型示意圖Fig.1 Model of slow slide servo cutting error

刀具的等效傾斜角模型如圖2所示。如圖2（b）所示，在切削過程中，待加工表面的斜率沿加工軌跡變化，導(dǎo)致前刀面與加工表面不垂直，產(chǎn)生一個(gè)等效傾斜角t。如圖2（c）所示，刀具在等效傾斜角t的作用下，刀刃方程變化為：

刀具在y方向上產(chǎn)生的Δy為：

如圖2（d）所示，將刀前點(diǎn)作為參考點(diǎn)，切點(diǎn)與刀前點(diǎn)在z方向上的距離記作Δz。記切點(diǎn)處的傾斜角為α，刀刃方程的導(dǎo)函數(shù)為f（x）=z＇1（x），可以得到切點(diǎn)的x p坐標(biāo)為：

從而進(jìn)一步得到：

如圖2（e）和2（f）所示，加工程序控制的刀前點(diǎn)位置不變，刀具傾斜t會(huì)使刀具產(chǎn)生過切量Δz1。計(jì)算過程中，將切削點(diǎn)鄰域的待加工曲面近似為球面，球面半徑由式（10）計(jì)算。由于RC?Δz，θ→90°，因此得到Δz1的近似表達(dá)式為：

圖2 刀具等效傾斜角模型示意圖Fig.2 Model of tool equivalent tilt angle

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，進(jìn)行了微透鏡陣列切削實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)的微透鏡陣列如圖3所示，詳細(xì)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。透鏡陣列上的單元透鏡為曲率半徑為6 mm或8 mm的球面，第一組加工曲率半徑為6 mm的球面透鏡陣列，第二組加工曲率半徑為8 mm的球面透鏡陣列。使用摩爾Nanotech 650 FG機(jī)床，半徑為0.498 mm的單晶金剛石車刀，并采用慢刀伺服的方式沿螺旋線軌跡進(jìn)行加工。

圖3 透鏡陣列加工實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.3 Schematic diagram of micro-lens array machining experiment

表1 微透鏡陣列設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of freeform surface array

如圖4所示，每組實(shí)驗(yàn)加工完畢后，使用共聚焦傳感器（控制器型號(hào)micro-epsilon IFC 2471，測(cè)頭型號(hào)IFS 2405）進(jìn)行原位測(cè)量和分析，采集到原始測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)。根據(jù)面形公稱值，得到實(shí)際測(cè)量的面形誤差值。

圖4 共聚焦傳感器原位測(cè)量示意圖Fig.4 In situ measurement using chromatic confocal sensor

本文所提出的機(jī)床加工時(shí)延模型需要一組實(shí)際加工結(jié)果校正。第一組實(shí)驗(yàn)加工出的PV用于機(jī)床時(shí)延Δt的標(biāo)定，使用機(jī)床加工時(shí)延模型預(yù)測(cè)第二組實(shí)驗(yàn)加工出的PV，將誤差模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行比較。

補(bǔ)償加工的方法是用補(bǔ)償面形來間接補(bǔ)償機(jī)床加工時(shí)延。將誤差面形預(yù)先補(bǔ)償?shù)絻山M實(shí)驗(yàn)的加工程序中，使用補(bǔ)償后的加工程序重新加工，加工完畢后使用原位測(cè)量得到補(bǔ)償后的誤差面形，評(píng)價(jià)補(bǔ)償效果。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5展示了標(biāo)定機(jī)床加工時(shí)延的結(jié)果，圖5（a）展示了第一組實(shí)驗(yàn)中誤差面形的測(cè)量值，9顆透鏡的峰谷（Peak to Valley，PV）值記錄在表2。除去處在中心位置的5號(hào)透鏡，其余透鏡的PV平均值為5.349μm。根據(jù)圖5（b）所示的誤差PV-機(jī)床加工時(shí)延標(biāo)定結(jié)果，得到機(jī)床加工z軸時(shí)延Δt=2.15 ms。

表2 第一組實(shí)驗(yàn)透鏡陣列的加工誤差Tab.2 Lens array residuals of Group 1 （μm）

圖5 機(jī)床加工時(shí)延標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Result of lathe delay calibration experiment

如圖6（a）所示，采用本文提出的刀具等效傾斜角模型計(jì)算出刀具在z方向上的過切量在百納米量級(jí)，對(duì)加工誤差產(chǎn)生次要影響。如圖6（b）所示，利用第一組實(shí)驗(yàn)標(biāo)定的機(jī)床加工z軸時(shí)延Δt=2.15 ms，可以得到第二組實(shí)驗(yàn)面形誤差的理論預(yù)測(cè)值，其預(yù)測(cè)的過切量PV值為4μm，對(duì)加工誤差產(chǎn)生主要影響。

第二組實(shí)驗(yàn)使用原位測(cè)量，得到的誤差面形如圖7（a）所示。對(duì)比圖6（a）和圖7（a），理論預(yù)測(cè)和實(shí)際測(cè)得的誤差面形，兩者的PV趨勢(shì)一致，體現(xiàn)了關(guān)于陣列單元所在位置的對(duì)稱性，中心區(qū)域的5號(hào)透鏡誤差最小，其余區(qū)域的誤差面形與加工軌跡具有強(qiáng)相關(guān)性。在數(shù)值上，理論模型預(yù)測(cè)的誤差面形偏差為［-0.7μm，0.3μm］，理論預(yù)測(cè)與實(shí)際測(cè)量偏差在1μm以內(nèi)。然而，理論預(yù)測(cè)對(duì)角線方向上的1，3，7，9號(hào)透鏡的PV值是軸線方向上2，4，6，8號(hào)透鏡PV值的1.5倍，這一點(diǎn)在實(shí)際測(cè)量出的誤差面形中沒有體現(xiàn)。理論預(yù)測(cè)的誤差面形PV值顯著大于實(shí)際測(cè)量值，推測(cè)第一組實(shí)驗(yàn)中有其他因素導(dǎo)致標(biāo)定的機(jī)床時(shí)延偏大。

圖6 誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.6 Predicted results of surface residual model

圖7 第二組實(shí)驗(yàn)測(cè)量透鏡陣列誤差面形Fig.7 Measured results of micro-lens array surface residual of Group 2

3.2.2 加工補(bǔ)償結(jié)果

這里使用補(bǔ)償面形來間接補(bǔ)償機(jī)床的加工時(shí)延。將誤差面形預(yù)先補(bǔ)償?shù)絻山M實(shí)驗(yàn)的加工程序中，使用補(bǔ)償后的加工程序重新加工，加工完畢后原位測(cè)量得到補(bǔ)償后的誤差面形。補(bǔ)償效果如圖8所示，其中5號(hào)位置在中心位置，補(bǔ)償前PV值最小。從圖中可以看出，加工程序修正后透鏡的PV值顯著降低，第一組實(shí)驗(yàn)透鏡陣列的PV值從補(bǔ)償前的5.4μm降低到補(bǔ)償后的0.6μm；第二組實(shí)驗(yàn)透鏡陣列PV值從補(bǔ)償前的2.4μm降低到補(bǔ)償后的0.3μm。由此證明了本文基于理論誤差預(yù)測(cè)值的補(bǔ)償方法的有效性。

圖8 補(bǔ)償前后陣列PV對(duì)比Fig.8 Comparison of PV before and after compensation

4 結(jié) 論

本文通過建立慢刀伺服切削模型有效預(yù)測(cè)了誤差面形，提出了基于理論誤差面形的補(bǔ)償加工方法。計(jì)算了待加工曲面在每一個(gè)切削點(diǎn)處沿切削方向的曲率半徑，并結(jié)合刀具等效傾斜角模型和機(jī)床加工時(shí)延模型，實(shí)驗(yàn)確定刀具等效傾斜角模型效應(yīng)對(duì)于誤差面形的影響可以忽略，并標(biāo)定出機(jī)床z軸時(shí)延2.15 ms，進(jìn)一步得到了慢刀伺服切削微透鏡陣列時(shí)的理論誤差面形。將誤差理論計(jì)算值與實(shí)際加工測(cè)量值進(jìn)行比較，兩者偏差為［-0.7μm，0.3μm］。將理論計(jì)算的誤差值預(yù)補(bǔ)償?shù)郊庸こ绦蛑?，補(bǔ)償加工后的PV值顯著減小，從補(bǔ)償前的5.4μm降低到補(bǔ)償后的0.6μm。本文所提的加工補(bǔ)償方法可有效提高慢刀伺服加工微透鏡陣列的加工精度和一致性。