羅 敬，王金鑫，2，鞠國浩，尤晨旭，劉奕辰，徐天曉，2，李成浩，姜成強(qiáng)，馬銘澤，2，何 煦，張曉輝，董吉洪，徐抒巖*

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

1 引 言

三反消像散光學(xué)系統(tǒng)具備寬光譜、大視場、高成像分辨率、易控制雜散光等特性，在對地遙感、天文觀測中得到了廣泛的應(yīng)用［1］。JWST［2］、CSST［3-4］、Euclid［5］、HabEx［6］和WFIRST-A［7］等均屬于三反消像散光學(xué)系統(tǒng)。離軸三反光學(xué)系統(tǒng)因孔徑離軸或視場離軸實現(xiàn)了無中心遮攔，這有利于提高系統(tǒng)的光通量和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Point Spread Function，PSF）質(zhì)量。然而，離軸系統(tǒng)的非旋轉(zhuǎn)對稱性卻增加了裝調(diào)難度，傳統(tǒng)的定心裝調(diào)方法不再適用，因此，光學(xué)裝調(diào)成為研制離軸三反光學(xué)系統(tǒng)的主要難點(diǎn)之一［8-11］。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，成像觀測精度的要求越來越高，進(jìn)而迫使高分辨率光學(xué)系統(tǒng)朝大口徑、長焦距方向發(fā)展。哈勃望遠(yuǎn)鏡主鏡口徑2.4 m，系統(tǒng)焦距達(dá)到57.6 m［12］，其繼任者JWST的口徑更是達(dá)到6.5 m，系統(tǒng)焦距為131.4 m［2］。不斷增大的口徑和焦距進(jìn)一步增加了光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)難度。一方面，隨著口徑的增大和像質(zhì)的提高，光學(xué)系統(tǒng)中各個鏡體的裝調(diào)公差要求更為嚴(yán)格；另一方面，目前大多數(shù)計算機(jī)輔助裝調(diào)方案均將系統(tǒng)波像差作為主要的輸入信息，其檢測精度直接決定了系統(tǒng)裝調(diào)的效率和質(zhì)量［13］。然而，大口徑、長焦距光路中氣流擾動成為決定系統(tǒng)波前檢測精度的關(guān)鍵因素，這會對光學(xué)裝調(diào)造成重要影響。因此，抑制光學(xué)檢測中的氣流擾動具有重要意義。

Shi［14］和陳華等［15］理論分析了氣流擾動對折射率空間分布的影響機(jī)理，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并計算了不同狀態(tài)下氣流對波前像差的影響。姜自波等［16］結(jié)合理論分析和實驗測量，深入研究了氣流擾動對單鏡面形檢測結(jié)果的影響。徐抒巖等［17］針對氣流擾動下大口徑光學(xué)系統(tǒng)在實驗室環(huán)境下裝調(diào)困難的難點(diǎn)，提出通過主動送風(fēng)來抑制氣流擾動對波前檢測的影響，取得了較好的效果。本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出結(jié)合主動隨機(jī)送風(fēng)和動態(tài)干涉儀多次平均累加的裝調(diào)方案，降低了對風(fēng)扇陣列的要求，提高了方案的可靠性和可實施性。通過Fluent軟件仿真和多次實驗迭代，優(yōu)化了風(fēng)扇數(shù)量、位置、朝向和風(fēng)速等風(fēng)場設(shè)置，最終較好地抑制了氣流擾動對大口徑、長焦距光學(xué)系統(tǒng)波前檢測的影響。最后，在主動隨機(jī)送風(fēng)條件下完成了一個0.5 m口徑、6 m焦距離軸三反光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)，取得了良好的收斂效果和系統(tǒng)像質(zhì)。

2 基本原理

基于靈敏度矩陣的計算機(jī)輔助裝調(diào)是目前應(yīng)用最廣泛的裝調(diào)方法，其基本原理是：小失調(diào)范圍內(nèi)系統(tǒng)各個視場的Zernike系數(shù)變化量與失調(diào)量之間近似滿足線性關(guān)系［13］。其數(shù)學(xué)模型可以表示為：

其中：ΔX為系統(tǒng)各個維度的失調(diào)量；A為靈敏度矩陣；ΔF為各項波像差的變化量，通常用各個視場波像差的Zernike多項式擬合系數(shù)來表示。若靈敏度矩陣A為滿秩矩陣，則式（1）存在唯一解，有：

即通過靈敏度矩陣的逆與各視場Zernike系數(shù)變化量的乘積便可得到失調(diào)量。然而，在離軸三反消像散光學(xué)系統(tǒng)中，次鏡和三鏡各個維度對系統(tǒng)波像差的影響并不是相互獨(dú)立的。比如，次鏡沿Y軸的偏心與次鏡和三鏡繞X軸的傾斜均存在補(bǔ)償。這表明靈敏度矩陣A的各個列向量不是線性無關(guān)的，不能通過線性組合表示出同等維度空間內(nèi)的任意列向量ΔF。因此，靈敏度矩陣A不是滿秩，屬于奇異矩陣，不存在嚴(yán)格的逆［18］。綜 上，式（1）是 矛 盾 方 程 組，不 存 在 解析解。

在許多實際問題中，線性方程組往往都是不相容的，即方程組沒有嚴(yán)格意義的解。在這種情況下，人們追求的目標(biāo)是得到不相容方程組的最優(yōu)解，即最小二乘解。對于一個失調(diào)的光學(xué)系統(tǒng)，輸入更多的像差信息可以更加真實地反映出系統(tǒng)的失調(diào)情況，從而更有利于找到方程組的最優(yōu)解。因此，通常的做法是增加方程的數(shù)目，即矩陣A的行數(shù)。這導(dǎo)致矩陣A不再是方陣，其行數(shù)大于列數(shù)。此時，式（1）變?yōu)橐粋€超定方程。根據(jù)多元函數(shù)的極值理論及矩陣運(yùn)算和求導(dǎo)規(guī)則，該超定方程的最小二乘解為［13，18］：

式（3）也被稱為法方程或者正則方程。然而，該正則方程的求解依然存在缺陷，即其條件數(shù)通常很大。這是因為離軸三反消像散光學(xué)系統(tǒng)中失調(diào)維度多，且波像差與失調(diào)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系十分復(fù)雜，次鏡和三鏡各個維度失調(diào)量之間存在較為嚴(yán)重的互相關(guān)［13，19］。若系統(tǒng)的靈敏度矩陣A與測量結(jié)果ΔF均不存在誤差，通過式（2）可以解算得到正確的失調(diào)量。然而，在測量時不可避免地會存在測量誤差，大條件數(shù)會導(dǎo)致解算結(jié)果極易受到測量誤差的影響而出現(xiàn)大范圍波動，使得解算的失調(diào)量失真［20］。

建立線性方程組：

顯然，該方程的精確解為X=(1 1)T。若右側(cè)矢量存在微小的擾動，即：

則式（4）變?yōu)椋?/p>

其解變?yōu)閄=(3.01-0.99)T。盡管右側(cè)矢量的擾動量很小，擾動前后方程的解卻差異很大，若將擾動后的解作為最終結(jié)果會導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重失真。

3 Zernike系數(shù)測量誤差對計算機(jī)輔助裝調(diào)的影響

輸入?yún)?shù)測量誤差會導(dǎo)致大條件數(shù)靈敏度矩陣的解出現(xiàn)大偏差。為了抑制大條件數(shù)靈敏度矩陣失調(diào)量解算結(jié)果隨Zernike系數(shù)測量誤差波動性大的問題，阻尼最小二乘法被提出［21］。盡管通過添加阻尼因子，可以有效減小靈敏度矩陣的條件數(shù)，避免失調(diào)量解算結(jié)果失真。然而，大的Zernike系數(shù)測量誤差還是會降低裝調(diào)結(jié)果的收斂效率，裝調(diào)結(jié)果會隨Zernike系數(shù)誤差在一定范圍內(nèi)波動，導(dǎo)致次鏡和三鏡各個維度存在較大的裝調(diào)殘差。本文將基于一個0.5 m口徑、6 m焦距的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真來說明Zernike系數(shù)測量誤差對計算機(jī)輔助裝調(diào)的影響。

圖1為離軸三反消像散系統(tǒng)光路，系統(tǒng)包含主鏡、次鏡和三鏡，它們均為二次曲面。該系統(tǒng)焦距為6 m，入瞳直徑為0.5 m，有效視場為1°×1°，各視場設(shè)計平均波像差RMS為0.05λ。本文分別計算了無Zernike系數(shù)誤差、Zernike系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.005以及σ=0.05三種情況下，次鏡和三鏡各個維度失調(diào)后經(jīng)計算機(jī)輔助裝調(diào)的收斂情況，每種情況下進(jìn)行10組蒙特卡洛仿真計算。需要特別指出的是，三種情況下光學(xué)系統(tǒng)的初始失調(diào)量是以相同標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)生成的。當(dāng)無Zernike系數(shù)測量誤差時，裝調(diào)前后系統(tǒng)各個視場的波像差如圖2所示（彩圖見期刊電子版）。顯然，經(jīng)計算機(jī)輔助裝調(diào)后，各個視場的波像差回到了設(shè)計水平。次鏡和三鏡各個維度的裝調(diào)殘差均為0，如圖3所示。

圖1 離軸三反系統(tǒng)光路Fig.1 Optical layout of off-axis three-mirror anastigmat telescope

圖2 無Zernike系數(shù)測量誤差時裝調(diào)前后光學(xué)系統(tǒng)各個視場的波像差RMSFig.2 Wavefront errors of optical system at different FOVs without measurement errors of Zernike coefficients

圖3 無Zernike系數(shù)測量誤差時裝調(diào)前后次鏡和三鏡各個維度的殘余失調(diào)量Fig.3 Misalignments of SM and TM without measurement errors of Zernike coefficients

當(dāng)存在標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.005的Zernike系數(shù)測量誤差時，系統(tǒng)波像差和各維度失調(diào)量裝調(diào)結(jié)果分別如圖4和圖5所示。可以看出，系統(tǒng)各個視場的波像差基本可以收斂到設(shè)計狀態(tài)，但是相比較于圖2，存在一定波動。次鏡和三鏡各個維度存在一定的裝調(diào)殘差，如圖5所示，尤其是三鏡沿Y軸偏心和繞X軸傾斜。將Zernike系數(shù)測量誤差進(jìn)一步增大，使其標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.05，結(jié)果分別如圖6和圖7所示。顯然，各個視場的波像差已很難收斂到設(shè)計狀態(tài)，次鏡和三鏡的裝調(diào)殘差也明顯變大。

圖4 Zernike系數(shù)測量誤差σ=0.005時裝調(diào)前后光學(xué)系統(tǒng)各個視場的波像差RMSFig.4 Wavefront errors of optical system at different FOVs with measurement errors of Zernike coefficients with standard deviationσ=0.005

圖5 Zernike系數(shù)測量誤差σ=0.005時裝調(diào)前后次鏡和三鏡各個維度的殘余失調(diào)量Fig.5 Misalignments of SM and TM with measurement errors of Zernike coefficients with standard deviationσ=0.005

圖6 Zernike系數(shù)測量誤差σ=0.05時裝調(diào)前后光學(xué)系統(tǒng)各個視場的波像差RMSFig.6 Wavefront errors of optical system at different FOVs with measurement errors of Zernike coefficients with standard deviationσ=0.05

圖7 Zernike系數(shù)測量誤差σ=0.05時裝調(diào)前后次鏡和三鏡各個維度的殘余失調(diào)量Fig.7 Misalignments of the SM and TM with measurement errors of Zernike coefficients with standard deviationσ=0.05

上述仿真結(jié)果表明，基于波前檢測的計算機(jī)輔助裝調(diào)結(jié)果會受到Zernike系數(shù)測量誤差的顯著影響。Zernike系數(shù)測量誤差過大，會導(dǎo)致離軸三反光學(xué)系統(tǒng)中次鏡和三鏡各個維度的裝調(diào)殘差增大，系統(tǒng)波像差的波動性變大，甚至無法收斂。

增大通光口徑是光學(xué)系統(tǒng)提高成像分辨率的主要手段。隨著口徑的增大，氣流擾動成為影響系統(tǒng)波前檢測精度，進(jìn)而影響系統(tǒng)裝調(diào)效率和質(zhì)量的關(guān)鍵因素。目前，不管是實驗室極限溫控，還是使用大型真空罐，均需要付出極大的經(jīng)濟(jì)和時間成本。針對上述問題，本文在基于主動送風(fēng)的大型光學(xué)系統(tǒng)波前檢測氣流擾動抑制方案［17］的基礎(chǔ)上，結(jié)合理論仿真和實驗迭代，進(jìn)一步優(yōu)化了風(fēng)場設(shè)置，將各個風(fēng)扇的朝向隨機(jī)化，徹底擾亂干涉檢測光路中的折射率場，使它變成隨機(jī)分布，并通過動態(tài)數(shù)字干涉儀的快速多次累加，得到了穩(wěn)定的干涉檢測結(jié)果。

4 主動隨機(jī)送風(fēng)條件下的Zernike系數(shù)測量

實驗系統(tǒng)如圖8所示，由一個6 m焦距、0.5 m有效通光口徑的離軸三反消像散光學(xué)系統(tǒng)、兩個六足調(diào)整臺、自準(zhǔn)直平面反射鏡、干涉儀和風(fēng)扇等組成。結(jié)合前期Fluent軟件仿真結(jié)果，并經(jīng)過多次實驗迭代，更改風(fēng)扇位置，將水平朝向［17］改為置于干涉光路的下方，進(jìn)而采取由下往上的方式進(jìn)行主動送風(fēng)，并優(yōu)化了風(fēng)扇到系統(tǒng)光軸的間距。為擾亂整個光路的溫度場和折射率場，需確保風(fēng)扇陣列充滿整個干涉檢測光路，且所有風(fēng)扇均搖頭擺動，朝向角度隨機(jī)，各個風(fēng)扇之間的相對位姿也隨機(jī)，最終使得干涉檢測光路的氣流隨機(jī)分布。

圖8 離軸三反系統(tǒng)自準(zhǔn)直干涉檢測光路Fig.8 Optical path for self-collimating interference detection of off-axis three mirror anastigmat telescope

為驗證主動隨機(jī)送風(fēng)條件下大口徑、長焦距光學(xué)系統(tǒng)波前檢測數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，通過動態(tài)干涉儀對光學(xué)系統(tǒng)波前進(jìn)行多次累加測量。保持圖8中所示光路不變，分別在風(fēng)扇開啟和風(fēng)扇關(guān)閉兩種條件下對系統(tǒng)波前進(jìn)行測量，每種條件下各測得10組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均包含500次原始數(shù)據(jù)的累加。在上述兩種條件下，干涉儀的數(shù)據(jù)采集模式、曝光時長、Mask大小，以及干涉儀、次鏡和三鏡調(diào)整臺的位姿等均保持一致，且所有數(shù)據(jù)均在同一天測得。實驗結(jié)果如圖9所示，圖中給出了Z5～Z16在不同環(huán)境條件下的穩(wěn)定性。顯然，圖9（a）數(shù)據(jù)的穩(wěn)性明顯好于圖9（b）。對兩種環(huán)境條件下的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計計算，各項條紋Zernike系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。在主動隨機(jī)送風(fēng)條件下，Z6～Z16的標(biāo)準(zhǔn)差在0.003以下，Z5的波動稍大，但也小于0.01。作為比較，關(guān)閉風(fēng)扇后，保持光路其他元件、參數(shù)不變，Z5標(biāo)準(zhǔn)差增大了近4倍，達(dá)到0.037，其他各階Zernike系數(shù)的穩(wěn)定性也明顯變差。上述數(shù)據(jù)充分證明，通過主動隨機(jī)送風(fēng)，可以有效抑制大口徑、長焦距干涉檢測光路的氣流擾動，大幅度提高波前檢測的穩(wěn)定性。

圖9 不同條件下的自準(zhǔn)直干涉光路波前檢測結(jié)果穩(wěn)定性Fig.9 Stability of wavefront measurement results of selfcollimating inteference optical system in different conditions

表1 不同測試條件下的條紋Zernike系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Standard deviations of fringe Zernike coefficients under different measuring conditions

上述測試結(jié)果驗證了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，還需要進(jìn)一步驗證數(shù)據(jù)的正確性。若上述波前檢測結(jié)果是由風(fēng)扇送風(fēng)而額外生成的，那么波前數(shù)據(jù)必然和風(fēng)扇的設(shè)置密切相關(guān)，尤其是風(fēng)扇的位置和朝向。因此，人為地改變光路中的風(fēng)扇朝向和位置，如圖10所示，風(fēng)扇陣列處于3種不同的組合狀態(tài)。在這3種狀態(tài)下，保持光路中其他參數(shù)和元件不變，采集系統(tǒng)波前數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，盡管風(fēng)扇陣列的設(shè)置發(fā)生了很大變化，但是3種情況下波前檢測結(jié)果幾乎沒有區(qū)別，Z6和Z7的平均值也非常接近，如表2所示。圖12給出了3種不同風(fēng)扇陣列設(shè)置情況下Z5～Z36的變化情況，可以看出，所有的Zernike系數(shù)在不同的風(fēng)扇設(shè)置下基本一致。上述實驗結(jié)果表明，圖9和表1所示的波前檢測結(jié)果不隨風(fēng)扇設(shè)置的不同而變化，能夠表征圖8中自準(zhǔn)直干涉檢測光學(xué)系統(tǒng)的真實波前。

圖10 干涉檢測光路中三種不同的風(fēng)扇組合Fig.10 Three different air fan combinations placed in inteference optical path

圖11 三種不同風(fēng)扇組合下Z6和Z7的檢測結(jié)果Fig.11 Measured results of Z6 and Z7 under three different air fan combinations

表2 三種不同風(fēng)扇組合下Z6和Z7的檢測結(jié)果平均值Tab.2 Mean values of Z6 and Z 7 with three different air fan combinations

圖12 三種不同風(fēng)扇組合下Z5～Z 36的檢測結(jié)果Fig.12 Measured results of Z5-Z 36 with three different air fan combinations

5 實驗與結(jié)果

由實測數(shù)據(jù)可知，通過主動隨機(jī)送風(fēng)可以提高大口徑、長焦距干涉光路波前檢測結(jié)果的穩(wěn)定性，并得到真實的系統(tǒng)波前結(jié)果。下面，我們將首次在主動隨機(jī)送風(fēng)條件下，完成該離軸三反光學(xué)系統(tǒng)的計算機(jī)輔助裝調(diào)。

根據(jù)待裝調(diào)光學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)，通過經(jīng)緯儀和激光跟蹤儀完成系統(tǒng)粗裝調(diào)。將干涉儀和自準(zhǔn)直平面反射鏡調(diào)整到位，經(jīng)過一段時間連續(xù)主動隨機(jī)送風(fēng)后，開始采集系統(tǒng)各個視場的波前數(shù)據(jù)，并保持系統(tǒng)一直處于主動隨機(jī)送風(fēng)狀態(tài)。根據(jù)待裝調(diào)光學(xué)系統(tǒng)的視場離軸特點(diǎn)選定5個視場，包括4個邊緣視場和1個中心視場，如圖13所示。測得粗裝調(diào)完成后系統(tǒng)各個視場的波像差，如圖14所示。系統(tǒng)各視場波前RMS平均值為0.493λ。

圖13 計算機(jī)輔助裝調(diào)相關(guān)的5個視場Fig.13 Five fields of views used in computer-aided alignment

圖14 粗裝調(diào)結(jié)束后離軸三反光學(xué)系統(tǒng)5個視場的波像差檢測結(jié)果Fig.14 Measured wavefront errors over five different fields of views of off-axis TMA telescope after initial alignment

通過自編的計算機(jī)輔助裝調(diào)程序，根據(jù)測得的各個視場的Zernike系數(shù)，解算得到次鏡和三鏡的失調(diào)量，再通過次鏡和三鏡底部的六足臺調(diào)整次鏡和三鏡的位姿。調(diào)整完成后，再次檢測各個視場的波像差，波前檢測結(jié)果如圖15所示。各視場波像差RMS平均值降為0.094λ。顯然，系統(tǒng)各個視場的波像差明顯收斂，表明失調(diào)量解算結(jié)果正確。根據(jù)該輪檢測結(jié)果，又解算得到一組次鏡和三鏡的失調(diào)量，再次調(diào)整后，檢測得到各個視場的波像差如圖16所示，條紋Zernike系數(shù)如表3所示。各視場波像差RMS平均值進(jìn)一步降為0.086λ，達(dá)到該系統(tǒng)的裝調(diào)指標(biāo)要求。

表3 兩輪計算機(jī)輔助裝調(diào)后系統(tǒng)各個視場條紋Zernike系數(shù)Tab.3 Measured fringe Zernike coefficients over five different fields of views of off-axis TMA telescope after second round CAA

圖15 第一輪計算機(jī)輔助裝調(diào)后系統(tǒng)5個視場的波像差檢測結(jié)果Fig.15 Measured wavefront errors over five different fields of views of off-axis T MA telescope after first round CAA

圖16 第二輪計算機(jī)輔助裝調(diào)后系統(tǒng)5個視場的波像差檢測結(jié)果Fig.16 Measured wavefront errors over five different fields of views of off-axis TMA telescope after second round CAA

6 結(jié) 論

本文提出主動隨機(jī)送風(fēng)的方案來抑制氣流擾動對大口徑、長焦距干涉光路波前檢測的影響。結(jié)合仿真結(jié)果和多次實驗迭代，優(yōu)化了風(fēng)扇陣列的數(shù)量、位置、朝向和風(fēng)速等風(fēng)場設(shè)置，使得通過主動隨機(jī)送風(fēng)可以實現(xiàn)對大口徑、長焦距干涉光路溫度場和折射率場的擾動隨機(jī)化。測試結(jié)果表明，通過主動隨機(jī)送風(fēng)可以顯著提高系統(tǒng)波前檢測結(jié)果的穩(wěn)定性，Zernike系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差由0.04降低到0.01以下。最后，在主動隨機(jī)送風(fēng)條件下，對一個6 m焦距、0.5 m通光口徑的離軸三反消像散光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了裝調(diào)。實驗結(jié)果顯示，在穩(wěn)定的Zernike系數(shù)檢測結(jié)果下，通過一輪計算機(jī)輔助裝調(diào)，系統(tǒng)各個視場的波像差RMS平均值由0.49λ降低到0.094λ；兩輪裝調(diào)后系統(tǒng)各視場波像差RMS平均值達(dá)到0.086λ，滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求。由此表明，通過主動隨機(jī)送風(fēng)，可以以極低的成本為大口徑、長焦距光學(xué)系統(tǒng)提供穩(wěn)定、可靠的波前檢測環(huán)境，這對于大口徑光學(xué)系統(tǒng)的研制及應(yīng)用具有重要意義。