熊志遠，宋瑞祥，趙 娜，趙 陽

（北京市勞動保護科學研究所，北京100054）

1 引言

彈簧按形狀可分為碟形彈簧、環(huán)形彈簧、扭桿彈簧以及圓柱螺旋彈簧等，其中圓柱螺旋彈簧是應用最為廣泛的一類彈簧。圓柱螺旋彈簧可用于緩沖減振，例如：安裝在車身和車輪之間的懸架螺旋彈簧；安裝在水泵、風機等動力設備與基礎之間的隔振彈簧。它還可用于控制機械運動，如內燃機中的閥門彈簧、離合器中的控制彈簧以及凸輪機構的壓緊彈簧。圓柱螺旋彈簧也可用于測量力的大小，如彈簧秤或彈簧測力計中的彈簧。

圓柱螺旋彈簧是汽車懸架的重要組成部分，其輕量化能促進汽車整備質量的降低，有利于提高汽車動力性能、減少燃料消耗、降低排氣污染。輕量化的隔振彈簧，能夠給裝卸、運輸等帶來便利。便攜式彈簧秤輕量化后，更便于人們輕松攜帶。

文獻[1]基于基因遺傳算法，對一內燃機用氣門圓柱螺旋彈簧進行模糊優(yōu)化設計，結果彈簧減重29.7%。文獻[2]應用混合遺傳模擬退火算法對某采油樹閥門執(zhí)行機構內部一圓柱螺旋彈簧進行優(yōu)化設計，優(yōu)化結果與傳統設計法相比，彈簧減重17.50%。文獻[3]運用Matlab對管道機器人中的圓柱螺旋彈簧進行了優(yōu)化設計，結果彈簧減重10%。文獻[4]分別運用傳統彈簧設計方法和Matlab方法對某電子設備使用的圓柱螺旋彈簧進行設計計算和優(yōu)化，結果表明：傳統方法及Matlab方法所設計的彈簧體積分別為22.8mm3與16.6mm3。

對圓柱螺旋彈簧進行輕量化設計除了上述結構優(yōu)化外，還有運用新材料。文獻[5]將樹脂傳遞模塑技術和紡織技術相結合制備出復合材料圓柱螺旋彈簧，并導出了彈性常數。文獻[6]利用玻璃纖維與環(huán)氧樹脂制備了復合材料圓柱螺旋彈簧，探討了彈簧的加工工藝及結構參數對其彎曲回彈力、回復率和拉伸性能等的影響。文獻[7]研究了任意形狀的復合材料螺旋彈簧的動態(tài)行為。文獻[8-9]分別基于多目標優(yōu)化設計軟件，對復合材料螺旋彈簧的最小質量與最大剛度進行了優(yōu)化設計。文獻[10-11]對碳纖維復合材料圓柱螺旋彈簧的剛、強度性能進行了理論預測與仿真研究。文獻[12]對車用復合材料螺旋彈簧進行了優(yōu)化設計，優(yōu)化后的復合材料彈簧比金屬彈簧質量減輕了34.4%。

圓柱螺旋彈簧輕量化設計不同于現有的結構優(yōu)化，它探討了空心簧絲圓柱螺旋彈簧的剛、強度性能與重量之間的變化關系，探究一種新的圓柱螺旋彈簧輕量化設計方法，以期給已有的各種設計方法提供補充參考。

2 空心簧絲圓柱螺旋彈簧的剛強度

空心簧絲圓柱螺旋彈簧在P力作用下進行壓縮的示意圖，如圖1所示。與該彈簧對應的相關參數，如表1所示?？招幕山z的內、外徑分別用di、d o表示，下標“i”與“o”分別為英文“inside”與“outside”的第一個字母。實心簧絲圓柱螺旋彈簧受到一定壓力時的最大剪應力及剛度均有經典的理論分析[13]，將對空心簧絲圓柱螺旋彈簧受壓時的最大剪應力及剛度進行理論推導。

圖1 空心簧絲彈簧示意圖Fig.1 Diagram of Spring with Hollow Spring Wire

表1 空心簧絲彈簧的相關參數Tab.1 Relevant Parameters of Spring with Hollow Spring Wire

當α<5o時，便可忽略α的影響，近似認為簧絲橫截面與彈簧軸線在同一平面內，據此截取彈簧上部分，如圖2所示。為保持該部分平衡，簧絲橫截面上應有一個剪力Q和一個力偶矩T，且Q=P，T=P D∕2。

圖2 基于簧絲任意橫截面截取的彈簧上部分Fig.2 Based on the Arbitrary Cross Section of Spring Wire the Upper Part of the Spring to be Cut Out

與Q對應的剪應力τ1，認為在簧絲橫截面上均勻分布，如圖3（a），其表達式為：

表1中，簧絲外徑do與簧圈平均直徑D之比為0.1，故可略去簧絲曲率的影響，近似用受扭的空心直桿公式表示τ2，其表達式為[13]

式中：r—簧絲橫截面上應力所在點到圓心的距離，如圖3（b）所示。

圖3中，最大合應力位于簧絲截面最左邊緣處，將r=do∕2代入式（2）后，并與式（1）相加，可得

圖3 橫截面上的剪應力Fig.3 Shear Stress on Cross Section

右邊括號內的1與剪力Q對應與純扭對應。將表1中的相關數據代入，計算結果為13.85，1與之相比可省略，式（3）簡化為：

載荷P對彈簧所做的功W為：

基于式（2）和圖3（b）作圖，如圖4所示。圖4是橫截面上距圓心為r的點處的剪應力τ2。單位體積變形能u可表示為：

圖4 距圓心為r的點處的剪應力τ2Fig.4 Shear Stressτ2 at the Point That is r Away From the Center of the Circle

整個彈簧儲存的變形能U為：

式中：rdrdθ—截面上的微分面積；ds—沿簧絲軸線的微分長度。

將式（2）代入式（6），再將式（6）代入式（7），計算結果為：

載荷P對彈簧所做的功W應等于彈簧所儲存的變形能U，由式（5）等于式（8），可得彈簧剛度表達式為：

3 圓柱螺旋彈簧性能與重量變化關系

3.1 剛度性能與重量變化關系

3.1.1 僅簧絲內徑di變化時的情況

將表1中的相關數據代入式（9），其中只允許簧絲內徑di變化，作出彈簧剛度K與簧絲內徑di的關系曲線，如圖5所示。

圖5 彈簧剛度K與簧絲內徑di的變化關系Fig.5 Relationship Between the Stiffness of Spring K and the Inside Diameter of Spring Wire di

關系曲線表明：隨著簧絲內徑增加，彈簧剛度下降，即：在簧絲外徑（12mm）等其他參數不變的情況下，隨著空心簧絲壁厚越來越薄，彈簧的剛度也是越來越低的，但是在曲線的不同區(qū)域，彈簧剛度的降低程度是不一樣的。將簧絲內徑di=0mm及表1中的其他相關參數代入式（9），可得實心簧絲彈簧的剛度為24600N∕m，與圖5中曲線與縱軸的交點位置相符。設定彈簧剛度下降率為5%，對應的空心簧絲彈簧的剛度為23370N∕m。將表1中的相關數據代入式（9），并令其等于23370N∕m，可計算出簧絲內徑di=5.67mm，見圖5中直線。將該位置點定為減重設計最佳點，即認為該點是剛度下降盡量小、重量下降盡量多的平衡點。

空心簧絲圓柱螺旋彈簧的重量計算式為：

式中：g—重力加速度，取9.8m∕s2。將do=12mm、di=0mm及表1中相關數據代入式（10）后，計算得實心簧絲彈簧重為16.38N。同樣，將do=12mm、di=5.67mm及表1中相關數據代入式（10）后，計算得空心簧絲彈簧重為12.73N。空心簧絲相比于實心簧絲彈簧，重量下降22.28%?？梢姡瑒偠葥p失5%，減重卻可達22.28%。

3.1.2 僅簧絲外徑do變化時的情況

模擬法人實體運行機制是指以效益為中心，以成本為主線，將市場機制引入企業(yè)內部，實現實業(yè)部、工序等主體的獨立核算、自主經營、自負盈虧。接受營業(yè)收入、利潤、成本、資金占用等指標，以及安全、質量、環(huán)保等指標的考核，經營成果與工資總額掛鉤，做到績效與監(jiān)督同步、激勵與制約并重。以建立壓力層層傳遞、指標層層分解、責任層層落實、績效層層考核、活力層層激發(fā)的新機制，充分調動企業(yè)內部方方面面的積極性、主動性和創(chuàng)造性。

將表1中的相關數據代入式（9），其中只允許簧絲外徑do變化，作出彈簧剛度K與簧絲外徑do的關系曲線，如圖6所示。關系曲線稍微向右下方凸出，而且隨著簧絲外徑do的增加，彈簧剛度K的增加量愈來愈顯著。

圖6 彈簧剛度K與簧絲外徑do的變化關系Fig.6 Relationship Between the Stiffness of Spring K and the Outside Diameter of Spring Wire do

3.1.3 簧絲內、外徑d i、d o同時變化的情況

將表1中的相關數據代入式（9），其中允許簧絲內、外徑d i、do變化，作出彈簧剛度K與簧絲內、外徑d i、do的關系曲面，如圖7所示。圖7中的上、下兩圖是針對同一曲面的不同角度投影。

圖7 彈簧剛度K與簧絲內、外徑d i、do的變化關系Fig.7 Relationships Between the Stiffness of Spring K and the Inside，Outside Diameters of Spring Wire d i，do

圖7中，底面上兩垂直坐標分別代表彈簧空心簧絲的內徑di和外徑do，縱坐標表示彈簧剛度。在正方形底面上，對角線do=di上的點代表空心簧絲的內、外徑相等，該處彈簧不存在，剛度為零；在dodi的區(qū)域內才呈現出曲面圖形。

從圖7中可以看到，假定簧絲的外徑do取定某一個具體的值時，彈簧剛度K隨內徑di的增加，首先經歷一個平緩下降區(qū)域，然后急劇下降。圖中①號曲線就是外徑do=12mm的平面與曲面相交的交線，即圖5所示的曲線。假定簧絲內徑d i取定某一個具體值時，彈簧的剛度K將隨簧絲外徑do的增加而急劇增加。圖中②號曲線就是內徑d i=8mm的平面與曲面相交的交線，即圖6所示的曲線。

當簧絲外徑分別為4mm、8mm、16mm、20mm時，同樣可計算得相應的簧絲內徑與彈簧剛度，如表2所示。從而可在圖7中的曲面上得到曲線③。通過曲面上標注的③號曲線，設計時既能夠通過增大或縮小簧絲外徑來快速提高或降低彈簧的剛度，又能夠通過選取適當的內徑來實現產品減重的目的。

表2 剛度下降5%時對應的設計參數Tab.2 Corresponding Design Parameters When Stiffness Decreases by 5%

3.2 強度性能與重量變化關系

同一載荷作用下，構件最大應力越大，強度越低；反之，強度越高。

3.2.1 僅簧絲內徑di變化時的情況

將表1中相關數據代入式（4），其中只允許簧絲內徑di變化，作出最大剪應力τmax與簧絲內徑di的關系曲線，如圖8所示。

圖8 彈簧最大剪應力τmax與簧絲內徑di的變化關系Fig.8 Relationship Between the Maximum Shear Stress of Springτmax and the Inside Diameter of Spring Wire di

關系曲線表明：隨著簧絲內徑的增加，最大剪應力τmax也增加，但在曲線不同區(qū)域，最大剪應力τmax增加程度不同。將di=0及表1中的相關參數代入式（4），計算得實心簧絲彈簧最大剪應力為141.54MPa，與圖8中曲線與縱軸的交點位置相符，若該最大剪應力τmax增加5%，即為148.62MPa。將表1中的相關數據代入式（4），并令其等于148.62 MPa，計算出空心簧絲內徑di=5.61mm，見圖8中直線。這里將該點定為減重設計最佳點，即認為該點是強度下降盡量小、重量下降盡量多的平衡點。

將do=12mm、di=5.61mm以及表1中相關數據代入式（10），經計算得空心簧絲彈簧重為12.80N；又已知do=12mm的實心簧絲彈簧重為16.38N，則空心簧絲相對于實心簧絲彈簧減重率為21.86%。可見以較小的強度損失可以獲得較多減重。

3.2.2 僅簧絲外徑d o變化時的情況

將表1中的相關數據代入式（4），其中只允許簧絲外徑do變化，作出最大剪應力τmax與簧絲外徑do的關系曲線，如圖9所示。很明顯，最大剪應力τmax與簧絲外徑do的變化關系是一條曲線，隨著簧絲外徑do的增加，最大剪應力τmax急劇下降，即強度顯著增強。

圖9 彈簧最大剪應力τmax與簧絲外徑do的變化關系Fig.9 Relationship Between the Maximum Shear Stress of Springτmax and the Outside Diameter of Spring Wire do

3.2.3 簧絲內、外徑di、do同時變化的情況

將表1中相關數據代入式（4），其中允許簧絲內、外徑di、do同時發(fā)生變化，作出最大剪應力τmax與簧絲內、外徑di、do的關系曲面，如圖10所示。圖10中的上、下兩圖是針對同一曲面的兩個不同角度的投影。在正方形底面的對角線d o=di上，式（4）分母為0，最大剪應力τmax理論上為無窮大；在dodi的等腰直角三角形區(qū)域內呈現出有意義的圖形。

圖10 最大剪應力τmax與簧絲內、外徑di、do的變化關系Fig.10 Relationships Between the Maximum Shear Stressτmax and the Inside，Outside Diameters of Spring Wire di，d o

從圖10中可以看到，假定簧絲的外徑do取定某一個具體的值時，最大剪應力τmax隨內徑di的增加，首先經歷一個平緩上升區(qū)域，然后急劇上升。圖中①號曲線就是外徑d o=12mm的平面與曲面相交的交線曲線，如圖8所示。假定簧絲的內徑di取定某一個具體值時，最大剪應力τmax將隨簧絲外徑do的增加而急劇下降。圖中②號曲線就是內徑di=8mm的平面與曲面相交的交線，如圖9所示。

當簧絲外徑分別為4mm、8mm、16mm、20mm時，同樣可計算得相應的簧絲內徑與彈簧最大剪應力如表3所示，從而可在圖10中的曲面上得到曲線③。通過曲面上標注的③號曲線，設計時既能通過增大或縮小簧絲外徑來快速提高或降低彈簧強度，又能夠通過選取合適的內徑來實現產品減重的目的。

表3 強度下降5%時對應的設計參數Tab.3 Corresponding Design Parameters When Strength Decreases by 5%

4 結論

首先，理論推導了空心簧絲圓柱螺旋彈簧受壓時的最大剪應力、剛度；然后，基于最大剪應力、剛度及提供的彈簧實例數據，探討了空心簧絲彈簧的剛、強度性能與重量之間的變化關系，得到如下結論：

（1）隨著簧絲內徑的增加，彈簧剛度逐漸降低；當彈簧剛度下降5%時，彈簧減重22.28%；該位置點被認為是剛度下降盡量小、重量下降盡量多的最佳設計點。

（2）隨著簧絲內徑的增加，彈簧強度逐漸降低；當彈簧強度下降5%時，彈簧減重21.86%；該位置點被認為是強度下降盡量小、重量下降盡量多的最佳設計點。