李海濤，馬 軍

（陜西科技大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

1 引言

并聯(lián)機器人，與串聯(lián)機器人相比，具有閉鏈約束是并聯(lián)機器人在結(jié)構(gòu)方面最大特點，不僅抵消了誤差累積效應(yīng)，且運動慣量低、負載能力強、剛度大，使并聯(lián)機器人成為潛在的高速度、高精度運動平臺。六自由度平臺實物[1]，如圖1所示。其結(jié)構(gòu)，如圖2所示

圖1 六自由度機械平臺實物圖Fig.1 Physical Drawing of 6-DOF Mechanical Platform

圖2 機械平臺結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural Drawing of Mechanical Platform

六自由度并聯(lián)運動平臺的空間解析正解的求解一直是一大難點，至今仍不完善。當下，并聯(lián)機器人正解常用解析法和數(shù)值法。文獻[2]只是對正解方法和現(xiàn)狀及原因做了簡單的描述；文獻[3-8]等提出的求解方法存在適用性差、計算復(fù)雜、效率低、仿真模型不完整等缺點。文獻[9]采用雙鏈交叉算子的遺傳算法較精確地控制并聯(lián)機器人，但其實時性不強，不能達到快速準確的效果；文獻[10]采用粒子群算法求解正解，但較復(fù)雜，很難快速得到結(jié)果。

六自由度并聯(lián)機器人運動仿真，很多研究人員用的是AD‐MAS、Solidworks、UG等[11]，但有建模復(fù)雜、運動參數(shù)調(diào)整不靈活等缺點。其次，MATALB自帶的Stewart仿真模型內(nèi)部系統(tǒng)設(shè)計復(fù)雜，運算有延遲。

鑒于此，采用隱函數(shù)圖解法編寫MATALB程序，進而快速解算平臺的運動學(xué)正解，能在1s內(nèi)解算出結(jié)果，并且對比計算誤差僅在0.05%內(nèi)。又通過建立MATLAB∕SimMechanics模型進行實例模擬，結(jié)果與預(yù)設(shè)軌跡基本吻合，進一步驗證了方法的正確性與可靠性，同時有助于對運動平臺實時控制。

2 運動學(xué)建模與求解

六自由度并聯(lián)機器人的運動學(xué)分析包含坐標變換及位姿正反解。

2.1 移動坐標變換

高度不變時，上平臺從初始位置沿直線向任意方向平行移動到某一個位置時六根支桿的長度隨位移變化的情況。

設(shè)分別沿X、Y、Z軸平移r、q、s，則平移后

2.1.1 高度不變，已知移動的中心點求桿長—反解

（1）建系：以固定平臺的中心為原點，所在面為X O Y面，由右手定則Z軸向上。設(shè)定兩個距離近的萬向節(jié)之間的夾角為θA，下固定平臺的半徑為R，上平臺的半徑為r。

（2）固定平臺的6個坐標點空間坐標分別為：

（3）假定平臺高度為h，為便于建系，設(shè)定上下平臺連接的兩個萬向節(jié)夾角為30°，用AutoCAD畫出上下平臺俯視圖，如圖3所示。對于上面的平臺的6個坐標點的空間坐標分別為：

圖3 上下平臺俯視圖Fig.3 Top View of Upper and Lower Platform

（4）當h不變及下平臺固定（下平臺固定中心坐標為O A(0，0，0)，上平臺原中心坐標為O B(0，0，h)）時，上平臺水平向任意方向移動，如圖4所示。假設(shè)移至空間坐標點O1(x0，y0，h)，則方 向 向 量已 知，且 移 動 距 離 為已 知 ，則且平移方向的夾角為

圖4 平臺移動圖Fig.4 Platform Mobility

對于B1點，設(shè)B'1(x1，y1，h)，則x1=0+Ssin?，y1=-r+Scos?，h不變。故，

（6）為避免公式推算繁瑣，利用MATLAB編程對實例進行數(shù)值求解。編寫function函數(shù)，theta_A=pi∕7，theta_B=pi∕7，h=15，R=20，r=10，x0=1，y0=0時，L1=18.8921，L2=19.6445，L3=19.9897，L4=20.6488，L5=19.5517，L6=20.6766。

2.1.2 高度不變，已知桿長求移動的中心點—正解

利用MATLAB中的隱函數(shù)符號變量計算，但收斂速度慢，故修改solve的誤差限，用2.1.1中的桿長，求得中心坐標，如圖5所示。并對比正反解數(shù)據(jù)，如表1所示。

圖5 位置逆解隱函數(shù)圖Fig.5 Implicit Function Graph of Inverse Position Solution

表1 正解精確度Tab.1 Precision of Positive Solution

數(shù)據(jù)分析：在表1正反解結(jié)果對比中，由于計算數(shù)據(jù)保留精度的影響，保留4位小數(shù)得出的誤差僅在0.05%內(nèi)，說明方法可行，求解結(jié)果準確度高。

2.2 旋轉(zhuǎn)坐標變換

上平臺在初始狀態(tài)下與下平臺平行，描述在保持上平臺初始中心位置不變的情況下，向任意方向傾斜某一角度，此時六根支桿的長度隨傾角變化的情況。

畫出同一坐標系中的原始坐標和旋轉(zhuǎn)后的坐標，如圖6所示。

圖6 坐標旋轉(zhuǎn)Fig.6 Coordinate Rotation

繞Z軸旋轉(zhuǎn)：原始坐標為XOY，繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ度得到坐標系X'O Y'。Q'為坐標變換Q對應(yīng)的點，即Q'=R Z,γQ，則

同時，坐標系繞X軸旋轉(zhuǎn)角度α的變換矩陣為：

坐標系繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度β的變換矩陣為：

故總坐標系變換矩陣為：

2.3 復(fù)合姿態(tài)

復(fù)合姿態(tài)包含坐標軸方向的運動、繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的運動及通過某一指定路徑實現(xiàn)該姿態(tài)。

復(fù)合運動變換=旋轉(zhuǎn)矩陣+平移矩陣=R[x0，y0，z0]T+T，式中：T=［XT，Y T，ZT］T，XT，YT，Z T分別是沿X、Y、Z軸移動距離。

3 運動控制與MATLAB∕SimMechanics仿真

SimMechanics擁有一系列的模塊庫，機械模型和仿真工具。故采用科學(xué)計算軟件MATLAB中Simulink的SimMechanics對并聯(lián)機器人進行動態(tài)仿真。機器人仿真系統(tǒng)原理圖，如圖7所示。

3.1 建立機械系統(tǒng)模型

3D模型最終可視化動畫化效果圖，如圖8所示?？梢詮牟煌慕嵌瓤刂剖髽诉M行查看平臺的運動。桿伸縮量結(jié)算模塊圖，如圖9所示。編寫function函數(shù)leg_length.m計算。其中，軌跡規(guī)劃部分，如圖10所示，軌跡規(guī)劃作為輸入，輸出為桿伸縮量。用Goto模塊（圖9）和From模塊（圖12）代替信號連接線。

圖8 MATLAB仿真三維模型可視化Fig.8 Visualization of 3D in MATLAB Simulation

圖9 桿伸縮量結(jié)算模塊Fig.9 Rod Expansion Settlement Module

圖10 軌跡規(guī)劃器Fig.10 Trajectory Planner

3.2 執(zhí)行機構(gòu)模型

建立平臺與支鏈之間的機械關(guān)系，如圖11所示。上下平臺的參數(shù)通過編制m文件設(shè)置計算得出，并在CS1至CS6設(shè)定參數(shù)。運動平臺的坐標檢測傳感器用Body Sensor模塊，將其連接到剛體的附加輸出端，用以檢測運動平臺的位置、速度等信息，并且可后接示波器顯示出來。Env模塊定義環(huán)境參數(shù)。

圖11 執(zhí)行機構(gòu)Simulink模塊總圖Fig.11 General Drawing of Simulink Module of Actuator

以桿4為例，桿件4支鏈模型，如圖12所示。上下桿用Body模塊表示為實體，Revolute模塊為轉(zhuǎn)動副，約束兩個實體間只有轉(zhuǎn)動。Cylindrical模塊為柱面副，代表缸（介質(zhì)為液或電或氣）內(nèi)既可以轉(zhuǎn)動又可以移動。

圖12 桿4支鏈模型連接圖Fig.12 Connection Diagram of Rod 4 Branch Chain Model

其中，S輸入模塊，如圖13所示。驅(qū)動器Joint Actuator驅(qū)動桿運動。

圖13 S輸入驅(qū)動模塊圖Fig.13 Input Driver Module Diagram

3.3 數(shù)據(jù)模擬實證

MATLAB仿真獲得的Y坐標隨時間的變化曲線，如圖14所示。軌跡輸入為斜坡函數(shù)，得到的軌跡與預(yù)設(shè)軌跡相符，說明仿真結(jié)果和解算方法較為理想，軌跡跟蹤效果良好，滿足預(yù)設(shè)系統(tǒng)要求。

圖14 數(shù)據(jù)實例模擬Fig.14 Data Instance Simulation

4 結(jié)束語

主要對Stewart型六自由度并聯(lián)運動平臺進行了運動學(xué)正解研究，首先建立了運動平臺空間運動數(shù)學(xué)模型，提出一種新的正解方法——隱函數(shù)圖解法，通過MATALB程序求解可快速獲得末端執(zhí)行器的位姿序列。通過數(shù)值模擬驗證，結(jié)果表明，該方法運算效率更高，且誤差在0.05%內(nèi)。之后，建立了MATLAB∕Sim‐Mechanics模型，設(shè)計了平臺軌跡規(guī)劃（即軌跡的設(shè)定與約束），其內(nèi)部運動參數(shù)均可實現(xiàn)靈活調(diào)控，同時又可實現(xiàn)運動姿態(tài)可視化，具有Solidworks等軟件不可比擬的優(yōu)越性，經(jīng)過數(shù)值模擬驗證，其軌跡與預(yù)設(shè)軌跡的一致性非常好，與傳統(tǒng)方法相比，其對平臺的實時控制更加高效準確。該項研究對于并聯(lián)機器人的正解求解提供了新的思路，有助于這一難點的進一步突破，對Stewart型平臺運動分析與控制具有很大的指導(dǎo)意義。