張海霞,杜子俊,王景景

(青島科技大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,山東 青島 266061)

聲波在水下環(huán)境中具有良好的傳播特性,是目前應(yīng)用最廣泛的水下通信方式。但水聲通信存在可用帶寬有限、傳播時延大、多徑衰落等問題[1-3]。正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)將信道劃分為若干正交子信道進行信息傳輸,提高了數(shù)據(jù)傳輸速率與頻譜利用率[4-6],成為高速水聲數(shù)據(jù)傳輸研究熱點之一。信道估計技術(shù)可以通過估計信道狀態(tài)信息提高接收端數(shù)據(jù)解調(diào)的正確率,對OFDM水聲通信系統(tǒng)具有關(guān)鍵作用。但由于水下信道復(fù)雜,要完成信道估計需要大量子載波傳輸導(dǎo)頻信息,造成頻譜資源嚴重浪費。

壓縮感知(compressed sensing,CS)理論打破了奈奎斯特采樣定理的局限性,它提出當(dāng)信號在某個域中稀疏[7-9]時,可以使用更少的采樣點來準(zhǔn)確地重建稀疏信號。由于水聲信道具有稀疏性[10-11],將壓縮感知用于水聲信道估計可通過少量導(dǎo)頻數(shù)據(jù)就能估計出信道參數(shù),從而提高頻譜利用率,基于CS的水聲信道估計也引起了學(xué)者的重視。重構(gòu)算法是壓縮感知的關(guān)鍵技術(shù),目前已有的重構(gòu)算法主要包括凸優(yōu)化類算法、組合優(yōu)化類算法和貪婪迭代類算法。其中貪婪迭代類算法效率較高且較易實現(xiàn),更適用于對實時性要求較高的水聲信道估計。匹配追蹤(matching pursuit,MP)算法與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法都是經(jīng)典的貪婪迭代算法[12-13],其基本思想是迭代地找到信號的支撐集,每次迭代會從詞典中選擇與殘差信號最匹配的一個原子。但這種單個候選集的選擇模式存在缺陷,會使問題陷入局部最優(yōu)解。有學(xué)者提出了多路徑匹配追蹤(multipath matching pursuit,MMP)算法,在每次迭代中選擇不同原子放入多個候選集中,提高了算法的重構(gòu)性能[14],但也增加了算法的復(fù)雜度。大多數(shù)貪婪算法需要準(zhǔn)確知道信道稀疏度才能正確停止迭代,但是在大多數(shù)實際情況下無法滿足要求。稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit,SAMP)算法提出了一種不需要稀疏度的算法,但仍需知道信道噪聲水平才能設(shè)置合適閾值來停止迭代[15],且該閾值設(shè)置對算法重構(gòu)精度影響很大。

針對上述算法對信道先驗信息(例如稀疏性或噪聲級別)依賴性和復(fù)雜度高的問題,本工作提出一種基于交叉驗證[16-17]與正則化[18]相結(jié)合的多徑匹配追蹤算法(multipath matching mursuit based on cross validation and regularization,CV-RMMP)算法,將其用于水聲稀疏信道估計。

1 系統(tǒng)模型

水聲信道是一個時變多徑信道,其信道沖擊響應(yīng)為

其中,C為水聲信道中多徑數(shù)目,Ai(t)和τi(t)分別表示t時刻第i條路徑的復(fù)增益和時延。水聲信道可以看作頻率選擇性慢衰落信道,此時信道的相干時間遠大于OFDM符號周期,可以認為在一個或幾個OFDM符號內(nèi)信道是時不變的。式(1)可表示為

對h(τ)以系統(tǒng)采樣周期Ts采樣得離散時不變信道模型為

其中,M為信道長度。水聲信道的稀疏性即體現(xiàn)在[h0,h1,…,h M－1]中非零元素個數(shù)很少,其非零值個數(shù)K(K?M)即為此信道稀疏度。假設(shè)系統(tǒng)有N個子載波,發(fā)送信號經(jīng)過水聲信道后得到的系統(tǒng)傳輸模型矩陣形式可表示為

其中,矩陣X＝diag(x(0),x(1),…,x(N－1))表示OFDM符號攜帶的數(shù)據(jù),Y＝[Y(0),Y(1),…,Y(N－1)]T為接收的數(shù)據(jù)符號,H＝[H(0),H(1),…,H(N－1)]T為信道頻域響應(yīng),Z＝[Z(0),Z(1),…,Z(N－1)]T為高斯白噪聲,D為N×M維的DFT變換矩陣,表示如下

在OFDM系統(tǒng)的接收端,接收到的導(dǎo)頻信號用于信道估計。假設(shè)發(fā)送端插入導(dǎo)頻數(shù)量為P,則接收端接收導(dǎo)頻信號可表示為

Yp為接收到的P×1維觀測向量,Φ＝XpDp為P×M維測量矩陣,Yp,XP,FP在接收端均為已知。由于信道的稀疏性,h中的多數(shù)成分為零,非零項代表不同時延的幅度值。估計這個信道就是找出這些時延并計算這些非零值的大小,信道估計問題就轉(zhuǎn)為在獲取觀測向量Yp和已知訓(xùn)練序列構(gòu)成的測量矩陣Φ的情況下,利用合適的重構(gòu)算法重構(gòu)出未知的水聲信道時域沖激響應(yīng)h。

2 基于CV-RMMP算法的水聲信道估計

本工作對MMP算法的稀疏度依賴和復(fù)雜度方面進行了優(yōu)化,提出了一種CV-RMMP重構(gòu)算法并將其用于稀疏水聲信道估計。

2.1 MMP算法

在傳統(tǒng)貪婪迭代算法中,每次迭代僅選擇一個原子。如果在一次迭代過程中選擇了錯誤的原子,則接下來的迭代過程都是基于此錯誤的選擇,所得最終支撐集將是錯誤的。MMP算法則選擇多個候選集,并在迭代完成后,基于殘差最小化在所有候選集中選出最終支撐集,此策略增大了搜索范圍,提高了原子被正確選擇的概率,比傳統(tǒng)單個候選集的選擇模式精度更高。MMP算法步驟如圖1所示。

圖1 MMP算法Fig.1 MMP algorithm

其中K為稀疏度,k為迭代索引,J是每個候選集的候選路徑數(shù),為第k次迭代候選集的集合,為第k次迭代的第i個候選集,表示第k次迭代的第i個候選集的h估計值,表示第k次迭代時第i條路徑的殘差。

2.2 CV-RMMP算法

2.2.1 正則化

由圖1中的迭代步驟可知,MMP算法的每一次迭代過程中,都會選擇J個原子分別放入不同候選集中,如多叉樹一樣,在每次迭代中基于根節(jié)點分出多個子節(jié)點,這種方式比單個候選集的原子選擇模式可靠性更高,但計算復(fù)雜度也隨之上升。因此,本文采用一種基于正則化刪除部分候選路徑并約束候選集數(shù)量的方式降低復(fù)雜度。

對于第k次迭代的第i條路徑,通過求殘差rk－1i與測量矩陣Φ的每個原子(Φ的列向量)的內(nèi)積絕對值,來計算相關(guān)系數(shù):

首先在集合Γ中尋找滿足條件的子集Ωk:

然后在Ωk中尋找具有最大能量的集合Ωmax:

Ωmax本質(zhì)為Γ的子集,用Γ*表示,與Γ相比,Γ*通過正則化刪除部分相關(guān)性小的原子,在保證重建性能的前提下降低了計算復(fù)雜度和存儲開銷。此外,如圖2所示,通過設(shè)置最大候選集數(shù)量Nmax來進一步降低復(fù)雜度。

2.2.2 交叉驗證

根據(jù)交叉驗證的理論[16-17],將接收向量YP分為重建向量和交叉驗證向量。測量矩陣Φ也被分成兩個子矩陣,即Pre×M維重構(gòu)矩陣Φre和Pcv×M維交叉驗證測量矩陣Φcv,其中P＝Pcv＋Pre。相應(yīng)的得到一個重建方程

和一個交叉驗證方程

式(10)用于貪婪算法重建稀疏信號,式(11)用于確定停止條件。其中。矩陣Φ由Φre和Φcv組成。對于稀疏的水聲信道,是未知的K稀疏信道向量。使用表示第k次迭代中的估計信道矢量,則第k次迭代中的CV殘差表示為

當(dāng)不使用交叉驗證時,第k次迭代的殘差定義為

圖2 CV-RMMP算法Fig.2 CV-RMMP algorithm

圖2為提出的CV-RMMP算法詳細步驟。如步驟1所示,在使用交叉驗證時,無需根據(jù)信道稀疏度或噪聲級別設(shè)置最大迭代次數(shù)或重構(gòu)閾值,而僅需要最大迭代次數(shù)即可。通?？梢詫cv的值設(shè)置為大于稀疏K的值,實際應(yīng)用中可以通過使用同步幀來粗略地估計該設(shè)置值。

如圖2中步驟4,CV-RMMP算法首先利用2.2.1節(jié)介紹的正則化得到集合Γ*,相比于 圖1 MMP算法中的集合Γ,通過引入正則化對已選索引值進行二次篩選,刪除部分能量小的路徑,在保證重建性能的前提下降低了計算復(fù)雜度和存儲開銷。根據(jù)2.2.2節(jié)介紹的交叉驗證原理,將MMP算法中的接收向量YP分為重建向量和交叉驗證向量;將測量矩陣Φ分為重構(gòu)矩陣Φre和交叉驗證測量矩陣Φcv。利用重建向量和重構(gòu)矩陣進行迭代估計,第k次迭代完成后得到相應(yīng)的估計值,之后利用和交叉驗證向量以及交叉驗證矩陣計算第k次迭代的CV殘差,如步驟20。Ncv次迭代結(jié)束后選出最小CV殘差,此殘差對應(yīng)的迭代次數(shù)記為kcv,找到第kcv次迭代對應(yīng)的信道估計值,即為所求最終信道估計值。

3 仿真結(jié)果及分析

在本節(jié)中,將研究本工作所提出的CV-RMMP算法的性能并將其與其他估計算法的性能進行比較。首先,通過BELLHOP軟件仿真生成信道沖激響應(yīng),表1給出了主要仿真參數(shù),其中海洋環(huán)境參數(shù)參考冬季淺海設(shè)置。OFDM系統(tǒng)的參數(shù)如下:子載波的數(shù)量N＝512;導(dǎo)頻的數(shù)量為P＝128,插入方式為隨機插入導(dǎo)頻;調(diào)制方式采用16QAM。對MMP和CV-RMMP算法,設(shè)置J＝5,Pcv＝30,Nmax＝50。使用MATLAB R2018a在由2.90 GHz Intel Core i5 CPU和4 GB內(nèi)存的計算機上進行仿真。

表1 BELLHOP仿真主要參數(shù)Table 1 Main parameters of Bell Hop simulation

OMP為經(jīng)典貪婪迭代算法,該算法需要準(zhǔn)確知道信道稀疏度才能正確停止迭代;SAMP算法在OMP算法基礎(chǔ)上,通過設(shè)置合適的閾值和步長來確定迭代停止條件,該算法雖然不需要稀疏度,但仍需知道信道噪聲水平才能正確停止迭代;上述兩種算法均為單候選集的原子選擇模式,容易陷入局部最優(yōu),MMP算法通過選擇多個候選集方式解決此問題并提高了算法估計精度,但仍存在稀疏度依賴和復(fù)雜度高的問題;本研究提出的CV-RMMP算法通過結(jié)合交叉驗證和正則化對MMP算法進行優(yōu)化,可以使算法在未知稀疏度情況下恢復(fù)稀疏信號。為了驗證所提算法在水聲信道估計中的估計性能,如圖3和圖4所示,本研究分別比較了4種算法在稀疏度K＝7和K＝15兩種情況下不同重構(gòu)算法的誤碼率(BER)?？梢钥闯?在兩種情況下,隨信噪比增加所有算法的誤碼率降低。在相同的信噪比下,CV-RMMP和MMP表現(xiàn)出了最好的誤碼率性能,而SAMP算法的最低。盡管CV-RMMP算法不需要關(guān)于稀疏度K的先驗信息,但仍能達到與MMP算法相近的重構(gòu)性能。此仿真證明CVRMMP算法具有很高的魯棒性,可以恢復(fù)稀疏信號,而無須事先了解稀疏度和噪聲水平等先驗信息。

圖3 SAMP、OMP、MMP和CV-RMMP算法BER比較(K＝7)Fig.3 SAMP,OMP,MMP and CV-RMMP algorithm BER comparison(K＝7)

圖4 SAMP、OMP、MMP和CV-RMMP算法BER比較(K＝15)Fig.4 SAMP,OMP,MMP and CV-RMMP algorithm BER comparison(K＝15)

圖5為信噪比20 dB、K＝7情況下,隨迭代次數(shù)增加,重構(gòu)誤差、殘差ε和CV殘差εcv的變化?？梢钥闯?殘差單調(diào)遞減,因此在沒有事先了解稀疏度和噪聲水平的情況下無法確定停止迭代的時間,所以殘差不能用作正確終止算法的指標(biāo)。同時,CV殘差與重構(gòu)誤差具有相同的趨勢,都在Ncv＝7處取得最小值。所以CV-RMMP算法可以根據(jù)CV殘差得到重構(gòu)信號,該仿真進一步驗證了CV的合理性。

圖5 重構(gòu)誤差σ、殘差ε和CV殘差εcv隨最大迭代次數(shù)Ncv的變化Fig.5 Reconstruction errorσ,residualε,and CV residualεcv change with the maximum number of iterations Ncv

本工作以算法估計一次水聲信道的平均運行時間代表算法的計算復(fù)雜度,表2給出了在信噪比20 dB、K＝7情況下SAMP、OMP、MMP和CVRMMP算法平均運行時間,其中SAMP步長為4?？梢钥闯?MMP算法復(fù)雜度遠高于OMP算法,這是由于其基于多個候選集的原子選擇模式導(dǎo)致的。CV-RMMP算法的仿真時間低于MMP算法,這是由于CV-RMMP算法通過正則化和限制候選集數(shù)兩個策略降低了MMP算法的計算復(fù)雜度,但優(yōu)化后的算法仍存在多個候選集,所以在時間復(fù)雜度上要高于單候選集的OMP算法。

表2 SAMP、OMP、MMP和CV-RMMP算法平均運行時間比較Table 2 Comparison of average running times of SAMP,OMP,MMP and CV-RMMP algorithms

4 結(jié) 語

本工作結(jié)合水聲信道具有稀疏性的特點,通過對水聲OFDM通信系統(tǒng)的分析,提出了一種高度實用的CV-RMMP算法。該算法利用交叉驗證確定迭代停止條件,無需事先了解信道稀疏度或噪聲水平就可以重建信號;引入正則化來進一步篩選候選集,降低了算法的復(fù)雜性及存儲開銷。仿真實驗表明,CV-RMMP算法優(yōu)于現(xiàn)有的OMP算法和SAMP算法?？稍谖粗诺老∈瓒鹊那闆r下,以更少的重構(gòu)時間達到與MMP相似的重構(gòu)性能。