苗媛媛

(江蘇省昆山市巴城高級中學(xué) 215311)

平面解析幾何的本質(zhì)，是通過用代數(shù)方法來解決平面幾何問題.高中數(shù)學(xué)中，直線與圓錐曲線的相交問題是解析幾何模塊中的難點，也是新高考中對學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，深受師生的關(guān)注.在處理直線與圓錐曲線問題時，通常有三種方法：韋達(dá)定理法、點差法和幾何法.在解析幾何教學(xué)過程中，教師需要注意在多種解題方法中培養(yǎng)學(xué)生自主總結(jié)運算技巧和優(yōu)化總結(jié)方法的能力.

1 韋達(dá)定理法中直線方程設(shè)法介紹

直線是平面幾何中最基本的幾何圖形之一，直線方程有多種不同的形式.在解決直線與圓錐曲線的相交問題時，我們通過設(shè)直線方程，將直線與圓錐曲線聯(lián)立得到一個關(guān)于x或y的一元二次方程，然后由韋達(dá)定理得兩者之間關(guān)系，然后將已知和所求都轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解弦長、面積、向量等問題.這種方法，稱之為韋達(dá)定理法.其中，選取直線方程的形式至關(guān)重要，直線方程選取不當(dāng)會直接導(dǎo)致計算過程繁瑣，甚至結(jié)果出錯.因此，在使用直線方程時，要注意不同直線方程中的限制條件：如點斜式方程的限制條件是直線必須存在斜率；截距式方程的限制條件是兩截距都存在且不為零；兩點式的限制條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直等.但是在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時通常會看到直線方程的另外一種形式，即直線的斜率不為零時，可設(shè)直線方程為x-x0=m(y-y0)(m≠0).這樣不僅可以避免討論直線斜率是否存在，而且有時還可以大大地簡化計算量.

2 例舉不同的直線方程設(shè)法在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用

對于直線方程x-x0=m(y-y0)(m≠0)，多數(shù)同學(xué)剛接觸時還是比較陌生，如何選取合適的直線方程形式，下面我們通過例題來研究直線x-x0=m(y-y0)(m≠0)在解決直線與圓錐曲線相關(guān)問題中的應(yīng)用.

聯(lián)立直線AB與橢圓方程,得

由韋達(dá)定理,得

所以m2=t2-1.

解法1使用的直線方程是x-x0=m(y-y0)(m≠0)，對于本題容易發(fā)現(xiàn)直線的斜率不為零，且與橢圓聯(lián)立后是消x留y，最后再利用橢圓中三角形面積公式求得最終結(jié)果.實際批改過程中，雖然有知識積累，大多數(shù)同學(xué)們還是在使用直線的縱截距方程，下將此方法解答過程詳解呈現(xiàn)出來，與解法1進(jìn)行比較.

化簡,得

由韋達(dá)定理,得

點O到直線AB的距離

3 思考解答過程，總結(jié)不同直線方程設(shè)法的選取優(yōu)勢

雖然兩種方法均可以將本題解決，但是用時和計算量上存在較大差異.雖然看起來解法2的設(shè)法更常規(guī)，帶來的是求三角形面積中參數(shù)k增多，運算處理繁瑣.而解法1抓住直線過x軸上的點，這樣不僅簡單，而且在假設(shè)直線方程時就可以把所有與橢圓相交的直線全部包括進(jìn)去，做到了“設(shè)線”的完備性.同時，在下面表示三角形面積過程中使得運算都相當(dāng)簡潔.因此，對于解析幾何中的各種基本方程要弄清內(nèi)涵、挖掘本質(zhì)、靈活運用.通過比較這兩種方法，我們能夠發(fā)現(xiàn)選擇設(shè)哪種直線方程主要取決于以下幾個方面：

(1)要設(shè)的直線斜率若存在就考慮直線的縱截距方程，若斜率不為零就考慮直線的橫截距方程；

(2)與圓錐曲線相交的直線方程所過定點是否在x軸，若是，則設(shè)為x=my+n的形式；

(3)在最終目標(biāo)求弦長、面積、向量問題時是需要消x還是y.

高考數(shù)學(xué)中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是經(jīng)久不衰的熱門考點，而這其中最大的難點在于：不知從何做起；計算量繁瑣“永無止盡”.要突破這兩點就要膽大心細(xì)、腳踏實地去細(xì)細(xì)品味例題，總結(jié)出自己的思路與思想.在使用韋達(dá)定理法設(shè)直線方程時，學(xué)生習(xí)慣于使用直線的斜率截距式方程.但直線方程y-y0=k(x-x0)不能表示與x軸垂直的直線，故在答題時，往往需要對斜率進(jìn)行討論.但若設(shè)直線方程為x-x0=m(y-y0)(m≠0)，則能有效地避免計算上的繁瑣.并且此方法在解決直線與圓錐曲線的相交問題中更能表現(xiàn)出超強(qiáng)的優(yōu)越性.不同程度的學(xué)生因為計算能力，知識綜合能力，熟練程度的不同，對不同方法的理解也不一樣，我們應(yīng)該在教學(xué)初期讓學(xué)生有自己對于題目的感受，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.