莫冬瑩

(廣西灌陽縣高級中學(xué) 541600)

運用向量法解決高中數(shù)學(xué)習(xí)題常會應(yīng)用到向量的坐標(biāo)運算，以尋找相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系.實踐表明，運用向量的坐標(biāo)運算可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的計算問題，大大降低解題的難度，因此，教學(xué)活動中要注重與學(xué)生一起總結(jié)向量與對應(yīng)幾何之間的關(guān)系以及向量坐標(biāo)運算的相關(guān)法則.

1 用于求最值問題

最值問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，解該類問題主要有兩種思路：運用基本不等式和運用函數(shù)單調(diào)性，因此運用向量法解高中數(shù)學(xué)問題時，可通過向量的坐標(biāo)運算將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，而后運用函數(shù)的性質(zhì)進行解答.

例1 設(shè)a，b，c為平面向量，|a|=|b|=2，若(2c-a)·(c-b)=0，則c·b的最大值為____.

解析根據(jù)題意可設(shè)b=(2，0)，a=(2cosα，2sinα)，α∈[0，2π]，c=(x，y)，則c·b=2x，將問題轉(zhuǎn)化為求x的最大值問題.

因為2c-a=(2x-2cosα，2y-2sinα)，

c-b=(x-2，y)，

所以(2c-a)·(c-b)=(2x-2cosα)(x-2)+(2y-2sinα)y=0.

整理,得y2-ysinα+x2-x(cosα+2)+2cosα=0.

關(guān)于y的方程有解，則

Δ=sin2α-4x2+4x(cosα+2)-8cosα≥0.

令t=cosα∈[-1，1]，

則4x2-4x(t+2)+t2+8t-1≤0.

2 用于求范圍問題

求解參數(shù)范圍是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，其中借助向量坐標(biāo)的簡單運算可將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，借助三角函數(shù)的有界性問題便可迎刃而解.

解析設(shè)正方向ABCD的邊長為1，以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).則直線BD的方程為x+y=1.

3 用于求軌跡問題

軌跡問題往往涉及到點、線的變化，對學(xué)生想象以及分析問題的能力要求較高，運用向量法可將看似復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的坐標(biāo)運算，大大提高解題的正確率.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運用向量法求解軌跡問題，尤其結(jié)合具體習(xí)題為學(xué)生展示如何建系，如何設(shè)點，給其帶來良好的解題啟發(fā)，使學(xué)生能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).

例3設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球為球O，M為B1C1的中點，點P在球面上運動，且總有DP⊥BM，則點P軌跡的周長為____.

又因為CD∩CN=C，所以BM⊥平面DCN.

4 用于求離心率問題

求解離心率是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中的熱門問題.部分問題與向量知識結(jié)合起來，難度相對較大.解題的過程中應(yīng)結(jié)合題干創(chuàng)設(shè)的情境運用向量法進行解答，結(jié)合實際情況將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系、坐標(biāo)運算等.

所以m=a.即4ac=9a2-c2.

即e2+4e-9=0，

5 用于求解析幾何問題

解析幾何是比較常見的一種題型，與普通的平面幾何試題相比難度有明顯提升，因為解析幾何題目中通常同坐標(biāo)軸一起出現(xiàn)，還具有數(shù)量與方向兩個特征，所以會涉及平面向量的知識.在處理解析幾何類試題時，可采用向量語言來說明解析幾何的特征，同時也可借助向量對解析幾何的性質(zhì)進行計算，使其解題思維得以開拓，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(1)求點P(x，y)的軌跡C的方程；

解析(1)根據(jù)題意可以得到

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)其方程是y=k(x-1)(k≠0)，將3x2+4y2=12與y=k(x-1)聯(lián)立起來，可以得到(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以(x1-m)(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-1)(x2-1)

=(1+k2)x1x2-(m+k2)·(x1+x2)+m2+k2

向量法在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.為使學(xué)生更好地掌握這一重要的解題方法，應(yīng)做好向量基礎(chǔ)知識的講解，使學(xué)生切實打牢基礎(chǔ).同時，做好經(jīng)典例題的講解以及相關(guān)習(xí)題的訓(xùn)練，提高學(xué)生運用向量法學(xué)習(xí)意識的同時，掌握相關(guān)的解題經(jīng)驗與技巧.