王小會(huì),李曉青,薛延剛
(蘭州工業(yè)學(xué)院 電氣工程學(xué)院,蘭州 730050)
全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System,GPS)是新一代衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng),可以為全球范圍內(nèi)的接收機(jī)用戶提供全天候的導(dǎo)航信息[1-2]。當(dāng)衛(wèi)星和GPS接收機(jī)之間具有很高的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),GPS信號(hào)會(huì)產(chǎn)生多普勒效應(yīng),這將導(dǎo)致采用傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)的普通GPS接收機(jī)無法正常工作[2-3]。
對(duì)于高動(dòng)態(tài)GPS載波的跟蹤,在無法得到多普勒頻移時(shí),主要的處理方法是采用多普勒頻率估計(jì)算法。在20世紀(jì)80年代,美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet Propulsion Laboratory,JPL)的KUMAR等人[4-6]提出了一系列高動(dòng)態(tài)GPS信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法,包括最大似然估計(jì)算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、自動(dòng)頻率控制環(huán)算法及自適應(yīng)最小均分算法等[7]。近年來,一些學(xué)者也做出了重要的研究:王未未[8]分析了一階、二階、三階鎖相環(huán)的性能;Zhou等人[9]利用時(shí)域差分方程分析了熱噪聲和動(dòng)應(yīng)力對(duì)鎖相環(huán)不同階次的相位跟蹤誤差;胡志明[10]采用鎖頻環(huán)輔助鎖相環(huán)的思想完成了載波跟蹤;李靜芳等人[11]提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,F(xiàn)RFT)的頻率變化率估計(jì)方法,利用估計(jì)值輔助載波跟蹤環(huán)路;Wang等人[12]提出了一種基于動(dòng)態(tài)除法快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,F(xiàn)FT)的跟蹤算法,以提高GPS接收機(jī)的靈敏度;王麗華等人[13]針對(duì)傳統(tǒng)鎖相環(huán)(Phase Locked Loop,PLL)環(huán)路和卡爾曼濾波環(huán)路,分析了其跟蹤靈敏度和動(dòng)態(tài)應(yīng)力性能;Shavrin[14]和Hou[15]對(duì)傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路中帶鑒別器和濾波器的跟蹤系統(tǒng)與不帶鑒別器的跟蹤系統(tǒng)的精度進(jìn)行了比較分析,分別采用一種卡爾曼濾波估計(jì)全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System,GNSS)信號(hào)的參數(shù)和俄羅斯的格洛納斯系統(tǒng)(GLONASS)頻分多址(Frequency-Division Multiple-Access,F(xiàn)DMA)模型的數(shù)據(jù);Liu等人[16]提出一種矢量深組合跟蹤環(huán)路,采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)對(duì)GNSS衛(wèi)星信號(hào)進(jìn)行跟蹤;Zhang等人[17]設(shè)計(jì)一個(gè)雙濾波跟蹤環(huán)路來實(shí)現(xiàn)精確的載波跟蹤;王睿在分析EKF、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)、中心差分卡爾曼濾波(Central Differential Kalman Filter,CDKF)以及容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一種帶自適應(yīng)噪聲估計(jì)器的超緊耦合自適應(yīng)UKF(Ultra-tight Coupled Adaptation Unscented Kalman Filter,UTC-AUKF)算法[18]。文獻(xiàn)[8-10]都是基于傳統(tǒng)鎖相環(huán)或鎖頻環(huán)技術(shù)的載波跟蹤方案,所采用的都不是基于最優(yōu)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的相位或頻率鑒別器和環(huán)路濾波器,限制了環(huán)路的性能。文獻(xiàn)[11-12]都是利用FFT對(duì)GPS載波信號(hào)進(jìn)行傅里葉分析,可能造成一定的誤差,從而產(chǎn)生頻譜混疊、頻譜泄漏以及柵欄效應(yīng)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13-18]都是基于EKF、UKF算法的載波跟蹤方案,但是EKF、UKF算法都是應(yīng)用了線性卡爾曼濾波的遞推模式來解決非線性濾波估計(jì)問題,存在自身無法克服的理論局限性。
雖然強(qiáng)跟蹤濾波器(Strong Tracking Filtering,STF)在系統(tǒng)模型不確定時(shí)仍能保持對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤能力,但是它不可避免要計(jì)算雅克比(Jacobian)矩陣并且近似精度只能達(dá)到一階。而無跡變換(Unscented Transformation,UT)和中心差分變換都具有不需要計(jì)算Jacobian矩陣等特點(diǎn)[19],所以本文將強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波(ST-UKF)算法應(yīng)用到高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路中,設(shè)計(jì)基于ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的載波跟蹤環(huán)路,并分別通過仿真實(shí)驗(yàn)與另外四種參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能進(jìn)行了對(duì)比。
因傳統(tǒng)的GPS載波跟蹤環(huán)路不能滿足高動(dòng)態(tài)環(huán)境的要求[20],故采用非線性濾波算法取代了傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)中的環(huán)路濾波器,搭建了如圖1所示的基于參數(shù)估計(jì)器的高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路。
圖1 基于參數(shù)估計(jì)器的高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路
圖1中Zi為數(shù)字中頻載波信號(hào),該信號(hào)經(jīng)混頻和積分清零后得到如下觀測(cè)信號(hào)[2]:
(1)
式中:θ(t)是高動(dòng)態(tài)相位過程,它被定義為
(2)
式中:θ0為初始相位;ω0、ω1和ω2分別為相位各階導(dǎo)數(shù),分別對(duì)應(yīng)高動(dòng)態(tài)多普勒頻移及其一階、二階導(dǎo)數(shù)。
將輸入載波信號(hào)和本地復(fù)現(xiàn)信號(hào)的相位差Δθ及其各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開[2]:
(3)
Δω0(k)=Δω0(k-1)+TΔω1(k-1)+
(4)
Δω1(k)=Δω1(k-1)+TΔω2(k-1)+η3(k),
(5)
Δω2(k)=Δω2(k-1)+η4(k)。
(6)
將式(3)~(6)寫成矩陣形式:
(7)
若將系統(tǒng)狀態(tài)向量記為
x(k)=[Δθ(k) Δω0(k) Δω1(k) Δω2(k)]T,
(8)
過程噪聲向量記為
η(k)=[η1(k)η2(k)η3(k)η4(k)]T,
(9)
狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣記為
(10)
那么,該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為
x(k)=Φk|k-1x(k-1)+η(k)。
(11)
若設(shè)向量I=[1 0 0 0]T,并將系統(tǒng)觀測(cè)噪聲記為
(12)
則可將式(1)轉(zhuǎn)化成如下形式:
(13)
得到系統(tǒng)的觀測(cè)方程。
通過在狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差陣中引入減消因子的方法,強(qiáng)跟蹤濾波器能夠在線實(shí)時(shí)調(diào)整增益,使得輸出殘差序列保持相互正交,這樣STF在系統(tǒng)模型不確定時(shí)仍能保持對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤能力,但是它依然有理論局限性,不可避免要計(jì)算Jacobian矩陣并且近似精度只能達(dá)到一階[19]。而UT變換和中心差分變換對(duì)后驗(yàn)均值和協(xié)方差的近似精度高于EKF,且不需要計(jì)算Jacobian矩陣[19],故強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波將函數(shù)Jacobian矩陣的計(jì)算用UT變換代替來計(jì)算狀態(tài)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差,這樣既繼承了強(qiáng)跟蹤濾波器的優(yōu)點(diǎn),又無需計(jì)算Jacobian矩陣,提高了算法的精度。
由式(11)和式(13)可以推出高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路設(shè)計(jì)的ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的遞推步驟如下:
Step1 初始化狀態(tài)統(tǒng)計(jì)特性。
(14)
Step2 選擇UT 變換中Sigma點(diǎn)采樣策略。
取L=2n,n表示系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù),故Sigma點(diǎn)的數(shù)量為2n+1個(gè),則比例修正對(duì)稱采樣Sigma點(diǎn)及其權(quán)系數(shù)可以表示為
(15)
(16)
(17)
λ=α2(n+κ)-n。
(18)
式(17)和(18)中:α是比例縮放因子,取值范圍為0≤α≤1;β是權(quán)系數(shù),通常取值是β=2;κ是比例系數(shù),通常取值是κ=0。
Step3 時(shí)間更新。
γi,k+1|k=Φk|k-1(ξi,k),i=0,1,…,L;
(19)
(20)
(21)
(22)
Step4 量測(cè)更新。
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
式中:λk+1為減消因子,tr(·)表示求矩陣的跡。
(30)
式中:0<ρ≤1為遺忘因子,通常取ρ=0.95。
于是有
χi,k+1|k=hk+1(ξi,k+1|k),i=0,1,…,L;
(31)
(32)
(33)
(34)
Step5 濾波更新。
(35)
式中:Kk+1是濾波增益矩陣。
仿真軟件選用Matlab 7.13。GPS載波跟蹤環(huán)路的輸入信號(hào)采用美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室提出的高動(dòng)態(tài)信號(hào)模型[6]。該模型定義接收機(jī)動(dòng)態(tài)含有正的和負(fù)的加加速度,持續(xù)時(shí)間為0.5 s,幅度為100g/s(g為重力加速度),被持續(xù)2 s的加速度所分割,仿真時(shí)間是8 s[6]。經(jīng)計(jì)算對(duì)應(yīng)的多普勒頻率及其各階導(dǎo)數(shù)如圖2所示。
(a)多普勒頻率
(a)對(duì)頻率的估計(jì)誤差
(a)對(duì)頻率的估計(jì)誤差
由圖3和圖4可知,隨著環(huán)路載噪比的增大,ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的頻率估計(jì)誤差減小。在環(huán)路的工作過程中,當(dāng)加加速度沒有發(fā)生時(shí),環(huán)路的跟蹤狀態(tài)保持穩(wěn)定,一旦加加速度發(fā)生,它會(huì)使加速度的方向先由負(fù)方向變?yōu)檎较?,再由正方向變?yōu)樨?fù)方向,頻率估計(jì)誤差的方向也由正方向變?yōu)樨?fù)方向。ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)結(jié)果證明了本仿真方案的正確性和有效性。
為了對(duì)算法進(jìn)行系統(tǒng)的分析,將ST-UKF算法同基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)[20]、中心差分卡爾曼濾波(CDKF)、平方根無跡卡爾曼濾波(Square Root Unscented Kalman Filter,SR-UKF)這四種算法的高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路的性能進(jìn)行了對(duì)比,如表1和表2所示。從表1和表2可知,ST-UKF估計(jì)器對(duì)相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)性能呈遞減趨勢(shì);在高動(dòng)態(tài)正常信號(hào)(CNR=30 dB-Hz)條件下,ST-UKF估計(jì)器較高動(dòng)態(tài)低載噪比(CNR=20 dB-Hz)條件下對(duì)相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì),均方根誤差分別減小1.219 2 rad、2.880 5 Hz、8.959 0 Hz/s和17.480 3 Hz/s2;在相同條件下,比如載噪比CNR=30 dB-Hz時(shí),相較UKF估計(jì)器,ST-UKF估計(jì)器對(duì)相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)的均方根誤差分別減小0.157 7 rad、0.593 0 Hz、1.033 0 Hz/s和2.491 7 Hz/s2;無論是弱信號(hào)(CNR=20 dB-Hz)還是正常信號(hào)(CNR=30 dB-Hz),ST-UKF參數(shù)估計(jì)器估計(jì)的均方根誤差最小,估計(jì)精度最高,證明ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能比其他四個(gè)參數(shù)估計(jì)器性能更優(yōu),但其運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng),復(fù)雜度較高。
表1 CNR=20 dB-Hz時(shí)各參數(shù)估計(jì)器的均方根誤差
表2 CNR=30 dB-Hz時(shí)各參數(shù)估計(jì)器的均方根誤差
由于GPS接收機(jī)處于典型高動(dòng)態(tài)情況時(shí)傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)很難跟蹤上信號(hào),為此本文設(shè)計(jì)了基于ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的高動(dòng)態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明了本方案在高動(dòng)態(tài)高載噪比條件下的跟蹤結(jié)果有了很大的改善。同時(shí),與基于EKF、UKF、CDKF、SR-UKF這四種參數(shù)估計(jì)器的 GPS載波跟蹤環(huán)路的性能相比,ST-UKF參數(shù)估計(jì)器估計(jì)的均方根誤差更小,估計(jì)精度更高,從而驗(yàn)證了本方案的有效性。
雖然ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能比其他四種參數(shù)估計(jì)器性能更優(yōu),但其復(fù)雜度較高,計(jì)算量較大,而且以上五種參數(shù)估計(jì)器都是在設(shè)定的高動(dòng)態(tài)環(huán)境、高斯噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究,因此不同的高動(dòng)態(tài)環(huán)境、非高斯系統(tǒng)都將是以后的研究方向。