王小會，李曉青，薛延剛

(蘭州工業(yè)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，蘭州 730050)

0 引 言

全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)是新一代衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)，可以為全球范圍內(nèi)的接收機(jī)用戶提供全天候的導(dǎo)航信息[1-2]。當(dāng)衛(wèi)星和GPS接收機(jī)之間具有很高的相對運(yùn)動時，GPS信號會產(chǎn)生多普勒效應(yīng)，這將導(dǎo)致采用傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)的普通GPS接收機(jī)無法正常工作[2-3]。

對于高動態(tài)GPS載波的跟蹤，在無法得到多普勒頻移時，主要的處理方法是采用多普勒頻率估計(jì)算法。在20世紀(jì)80年代，美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)的KUMAR等人[4-6]提出了一系列高動態(tài)GPS信號參數(shù)估計(jì)算法，包括最大似然估計(jì)算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、自動頻率控制環(huán)算法及自適應(yīng)最小均分算法等[7]。近年來，一些學(xué)者也做出了重要的研究：王未未[8]分析了一階、二階、三階鎖相環(huán)的性能；Zhou等人[9]利用時域差分方程分析了熱噪聲和動應(yīng)力對鎖相環(huán)不同階次的相位跟蹤誤差；胡志明[10]采用鎖頻環(huán)輔助鎖相環(huán)的思想完成了載波跟蹤；李靜芳等人[11]提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)的頻率變化率估計(jì)方法，利用估計(jì)值輔助載波跟蹤環(huán)路；Wang等人[12]提出了一種基于動態(tài)除法快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)的跟蹤算法，以提高GPS接收機(jī)的靈敏度；王麗華等人[13]針對傳統(tǒng)鎖相環(huán)(Phase Locked Loop，PLL)環(huán)路和卡爾曼濾波環(huán)路，分析了其跟蹤靈敏度和動態(tài)應(yīng)力性能；Shavrin[14]和Hou[15]對傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路中帶鑒別器和濾波器的跟蹤系統(tǒng)與不帶鑒別器的跟蹤系統(tǒng)的精度進(jìn)行了比較分析，分別采用一種卡爾曼濾波估計(jì)全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)信號的參數(shù)和俄羅斯的格洛納斯系統(tǒng)(GLONASS)頻分多址(Frequency-Division Multiple-Access，F(xiàn)DMA)模型的數(shù)據(jù)；Liu等人[16]提出一種矢量深組合跟蹤環(huán)路，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)對GNSS衛(wèi)星信號進(jìn)行跟蹤；Zhang等人[17]設(shè)計(jì)一個雙濾波跟蹤環(huán)路來實(shí)現(xiàn)精確的載波跟蹤；王睿在分析EKF、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)、中心差分卡爾曼濾波(Central Differential Kalman Filter，CDKF)以及容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter，CKF)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種帶自適應(yīng)噪聲估計(jì)器的超緊耦合自適應(yīng)UKF(Ultra-tight Coupled Adaptation Unscented Kalman Filter，UTC-AUKF)算法[18]。文獻(xiàn)[8-10]都是基于傳統(tǒng)鎖相環(huán)或鎖頻環(huán)技術(shù)的載波跟蹤方案，所采用的都不是基于最優(yōu)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的相位或頻率鑒別器和環(huán)路濾波器，限制了環(huán)路的性能。文獻(xiàn)[11-12]都是利用FFT對GPS載波信號進(jìn)行傅里葉分析，可能造成一定的誤差，從而產(chǎn)生頻譜混疊、頻譜泄漏以及柵欄效應(yīng)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13-18]都是基于EKF、UKF算法的載波跟蹤方案，但是EKF、UKF算法都是應(yīng)用了線性卡爾曼濾波的遞推模式來解決非線性濾波估計(jì)問題，存在自身無法克服的理論局限性。

雖然強(qiáng)跟蹤濾波器(Strong Tracking Filtering，STF)在系統(tǒng)模型不確定時仍能保持對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤能力，但是它不可避免要計(jì)算雅克比(Jacobian)矩陣并且近似精度只能達(dá)到一階。而無跡變換(Unscented Transformation，UT)和中心差分變換都具有不需要計(jì)算Jacobian矩陣等特點(diǎn)[19]，所以本文將強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波(ST-UKF)算法應(yīng)用到高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路中，設(shè)計(jì)基于ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的載波跟蹤環(huán)路，并分別通過仿真實(shí)驗(yàn)與另外四種參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能進(jìn)行了對比。

1 基于參數(shù)估計(jì)器的高動態(tài)GPS載波跟蹤方案

因傳統(tǒng)的GPS載波跟蹤環(huán)路不能滿足高動態(tài)環(huán)境的要求[20]，故采用非線性濾波算法取代了傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)中的環(huán)路濾波器，搭建了如圖1所示的基于參數(shù)估計(jì)器的高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路。

圖1 基于參數(shù)估計(jì)器的高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路

圖1中Zi為數(shù)字中頻載波信號，該信號經(jīng)混頻和積分清零后得到如下觀測信號[2]：

(1)

式中：θ(t)是高動態(tài)相位過程，它被定義為

(2)

式中：θ0為初始相位；ω0、ω1和ω2分別為相位各階導(dǎo)數(shù)，分別對應(yīng)高動態(tài)多普勒頻移及其一階、二階導(dǎo)數(shù)。

將輸入載波信號和本地復(fù)現(xiàn)信號的相位差Δθ及其各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開[2]：

(3)

Δω0(k)=Δω0(k-1)+TΔω1(k-1)+

(4)

Δω1(k)=Δω1(k-1)+TΔω2(k-1)+η3(k),

(5)

Δω2(k)=Δω2(k-1)+η4(k)。

(6)

將式(3)～(6)寫成矩陣形式：

(7)

若將系統(tǒng)狀態(tài)向量記為

x(k)=[Δθ(k) Δω0(k) Δω1(k) Δω2(k)]T，

(8)

過程噪聲向量記為

η(k)=[η1(k)η2(k)η3(k)η4(k)]T，

(9)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣記為

(10)

那么，該動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

x(k)=Φk|k-1x(k-1)+η(k)。

(11)

若設(shè)向量I=[1 0 0 0]T，并將系統(tǒng)觀測噪聲記為

(12)

則可將式(1)轉(zhuǎn)化成如下形式：

(13)

得到系統(tǒng)的觀測方程。

2 ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

通過在狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣中引入減消因子的方法，強(qiáng)跟蹤濾波器能夠在線實(shí)時調(diào)整增益，使得輸出殘差序列保持相互正交，這樣STF在系統(tǒng)模型不確定時仍能保持對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤能力，但是它依然有理論局限性，不可避免要計(jì)算Jacobian矩陣并且近似精度只能達(dá)到一階[19]。而UT變換和中心差分變換對后驗(yàn)均值和協(xié)方差的近似精度高于EKF，且不需要計(jì)算Jacobian矩陣[19]，故強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波將函數(shù)Jacobian矩陣的計(jì)算用UT變換代替來計(jì)算狀態(tài)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差，這樣既繼承了強(qiáng)跟蹤濾波器的優(yōu)點(diǎn)，又無需計(jì)算Jacobian矩陣，提高了算法的精度。

由式(11)和式(13)可以推出高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路設(shè)計(jì)的ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的遞推步驟如下：

Step1 初始化狀態(tài)統(tǒng)計(jì)特性。

(14)

Step2 選擇UT 變換中Sigma點(diǎn)采樣策略。

取L=2n，n表示系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)，故Sigma點(diǎn)的數(shù)量為2n+1個，則比例修正對稱采樣Sigma點(diǎn)及其權(quán)系數(shù)可以表示為

(15)

(16)

(17)

λ=α2(n+κ)-n。

(18)

式(17)和(18)中：α是比例縮放因子，取值范圍為0≤α≤1；β是權(quán)系數(shù)，通常取值是β=2；κ是比例系數(shù)，通常取值是κ=0。

Step3 時間更新。

γi,k+1|k=Φk|k-1(ξi,k)，i=0,1,…,L；

(19)

(20)

(21)

(22)

Step4 量測更新。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

式中：λk+1為減消因子，tr(·)表示求矩陣的跡。

(30)

式中：0<ρ≤1為遺忘因子，通常取ρ=0.95。

于是有

χi,k+1|k=hk+1(ξi,k+1|k)，i=0,1,…,L；

(31)

(32)

(33)

(34)

Step5 濾波更新。

(35)

式中：Kk+1是濾波增益矩陣。

3 仿真分析

仿真軟件選用Matlab 7.13。GPS載波跟蹤環(huán)路的輸入信號采用美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室提出的高動態(tài)信號模型[6]。該模型定義接收機(jī)動態(tài)含有正的和負(fù)的加加速度，持續(xù)時間為0.5 s，幅度為100g/s(g為重力加速度)，被持續(xù)2 s的加速度所分割，仿真時間是8 s[6]。經(jīng)計(jì)算對應(yīng)的多普勒頻率及其各階導(dǎo)數(shù)如圖2所示。

(a)多普勒頻率

(a)對頻率的估計(jì)誤差

(a)對頻率的估計(jì)誤差

由圖3和圖4可知，隨著環(huán)路載噪比的增大，ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的頻率估計(jì)誤差減小。在環(huán)路的工作過程中，當(dāng)加加速度沒有發(fā)生時，環(huán)路的跟蹤狀態(tài)保持穩(wěn)定，一旦加加速度發(fā)生，它會使加速度的方向先由負(fù)方向變?yōu)檎较颍儆烧较蜃優(yōu)樨?fù)方向，頻率估計(jì)誤差的方向也由正方向變?yōu)樨?fù)方向。ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)結(jié)果證明了本仿真方案的正確性和有效性。

為了對算法進(jìn)行系統(tǒng)的分析，將ST-UKF算法同基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)[20]、中心差分卡爾曼濾波(CDKF)、平方根無跡卡爾曼濾波(Square Root Unscented Kalman Filter，SR-UKF)這四種算法的高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路的性能進(jìn)行了對比，如表1和表2所示。從表1和表2可知，ST-UKF估計(jì)器對相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)性能呈遞減趨勢；在高動態(tài)正常信號(CNR=30 dB-Hz)條件下，ST-UKF估計(jì)器較高動態(tài)低載噪比(CNR=20 dB-Hz)條件下對相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，均方根誤差分別減小1.219 2 rad、2.880 5 Hz、8.959 0 Hz/s和17.480 3 Hz/s2；在相同條件下，比如載噪比CNR=30 dB-Hz時，相較UKF估計(jì)器，ST-UKF估計(jì)器對相位、多普勒頻率及其一階、二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)的均方根誤差分別減小0.157 7 rad、0.593 0 Hz、1.033 0 Hz/s和2.491 7 Hz/s2；無論是弱信號(CNR=20 dB-Hz)還是正常信號(CNR=30 dB-Hz)，ST-UKF參數(shù)估計(jì)器估計(jì)的均方根誤差最小，估計(jì)精度最高，證明ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能比其他四個參數(shù)估計(jì)器性能更優(yōu)，但其運(yùn)行時間較長，復(fù)雜度較高。

表1 CNR=20 dB-Hz時各參數(shù)估計(jì)器的均方根誤差

表2 CNR=30 dB-Hz時各參數(shù)估計(jì)器的均方根誤差

4 結(jié)束語

由于GPS接收機(jī)處于典型高動態(tài)情況時傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)很難跟蹤上信號，為此本文設(shè)計(jì)了基于ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明了本方案在高動態(tài)高載噪比條件下的跟蹤結(jié)果有了很大的改善。同時，與基于EKF、UKF、CDKF、SR-UKF這四種參數(shù)估計(jì)器的 GPS載波跟蹤環(huán)路的性能相比，ST-UKF參數(shù)估計(jì)器估計(jì)的均方根誤差更小，估計(jì)精度更高，從而驗(yàn)證了本方案的有效性。

雖然ST-UKF參數(shù)估計(jì)器的估計(jì)性能比其他四種參數(shù)估計(jì)器性能更優(yōu)，但其復(fù)雜度較高，計(jì)算量較大，而且以上五種參數(shù)估計(jì)器都是在設(shè)定的高動態(tài)環(huán)境、高斯噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究，因此不同的高動態(tài)環(huán)境、非高斯系統(tǒng)都將是以后的研究方向。