李素月，郝紅婷，王安紅

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

0 引 言

智能反射面(Intelligent Reflective Surface,IRS)技術(shù)的提出，很好地適應(yīng)了未來蜂窩網(wǎng)絡(luò)的需求。一般來說，IRS是一個(gè)由大量無源反射單元組成的平面，每個(gè)單元都能夠獨(dú)立地對入射信號進(jìn)行誘導(dǎo)，從而可以控制振幅或相位的變化，使發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間的信道可以實(shí)現(xiàn)靈活的配置。IRS為無線通信系統(tǒng)提供了一種新的手段，從根本上解決了無線信道衰落損害和干擾問題，并有望實(shí)現(xiàn)無線通信容量和可靠性的大幅度提升[1]。

然而，IRS的引入帶來了新的挑戰(zhàn)，其中獲取信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI)是比較困難的工作，這是由于為了實(shí)現(xiàn)低成本和低功耗，IRS采用無源設(shè)計(jì)，不配備射頻鏈，因而導(dǎo)致它沒有能力完成信道估計(jì)。尤其是除了估計(jì)基站(Base Station,BS)和用戶設(shè)備(User Equipment,UE)之間的直接信道之外，還需要估計(jì)兩個(gè)IRS輔助信道，即BS到IRS的信道和IRS到用戶的信道。

信道估計(jì)一直是無線通信系統(tǒng)中重要的研究課題之一，不同的系統(tǒng)和信道建模對信道估計(jì)帶來不同的挑戰(zhàn)。學(xué)者們在關(guān)于IRS的一些研究工作中提出了各自有效的信道估計(jì)方法[2-4]。對于單天線下行鏈路系統(tǒng)，文獻(xiàn)[2]研究了IRS輔助的環(huán)境反向散射系統(tǒng)的信道估計(jì)，通過初始估計(jì)和迭代估計(jì)獲得信道參數(shù)，并進(jìn)一步推導(dǎo)了信道的克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)[3]。另一方面，對于多天線上行鏈路系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]利用壓縮感知技術(shù)將級聯(lián)信道構(gòu)造成塊稀疏信道矩陣恢復(fù)問題，不考慮用戶和BS之間的直接鏈路。此外，文獻(xiàn)[5-6]提出了一種基于最小二乘(Least Squares,LS)估計(jì)準(zhǔn)則的IRS輔助單用戶上行鏈路系統(tǒng)信道估計(jì)協(xié)議。文獻(xiàn)[6]假設(shè)在一段相干時(shí)間內(nèi)信道保持恒定不變且保證IRS在整個(gè)信道估計(jì)階段處于工作狀態(tài)下，分別估計(jì)了直接鏈路和級聯(lián)信道，最后使用IRS相移矩陣和最小方差無偏估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。針對IRS上行多用戶通信，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于導(dǎo)頻的三階段的信道估計(jì)框架：在第一階段和第二階段分別估計(jì)基站與用戶的直接信道和一個(gè)典型用戶的反射信道；在第三階段，利用其他用戶與典型用戶的強(qiáng)相關(guān)性，以較低的導(dǎo)頻開銷估計(jì)其他用戶的反射信道，其中在信道估計(jì)階段，IRS相移矩陣基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)矩陣獲得；最后總結(jié)出信道估計(jì)所需的最小導(dǎo)頻長度為2K+N-1(K為用戶數(shù)，N為IRS反射單元數(shù))。

然而IRS信道估計(jì)的多數(shù)文獻(xiàn)是關(guān)于上行鏈路的，據(jù)調(diào)研，目前幾乎沒有針對IRS輔助多天線系統(tǒng)的下行鏈路低復(fù)雜度信道估計(jì)的研究。為此，本文以文獻(xiàn)[2]為研究基礎(chǔ)，將其IRS單天線系統(tǒng)模型擴(kuò)展到多天線。利用反向散射信號控制IRS的各個(gè)反射面，分兩個(gè)階段進(jìn)行直接鏈路和級聯(lián)反射鏈路的信道估計(jì)。在傳統(tǒng)LS算法推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，研究Gauss-Seidel(GS)迭代算法，避免矩陣求逆，降低了計(jì)算復(fù)雜度，僅需較少迭代次數(shù)。為了進(jìn)一步評估系統(tǒng)性能，進(jìn)行了CRLB的推導(dǎo)。在仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)首先仿真了下行鏈路導(dǎo)頻生成方式和導(dǎo)頻長度對估計(jì)算法的影響，然后通過對比LS算法和GS迭代算法的均方誤差(Mean Square Error,MSE)性能，驗(yàn)證了所提出算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)如圖1所示的IRS輔助的下行鏈路通信系統(tǒng)模型，BS通過下行鏈路與一個(gè)單天線用戶通信，其中BS配有M根天線，IRS包含N個(gè)反射元素。h∈M×1表示BS到用戶的直接鏈路信道增益，pn∈M×1表示BS和IRS的第n(1≤n≤N)個(gè)反射元素的信道增益，qn∈為IRS的第n個(gè)反射元素和用戶之間的信道增益。

圖1 下行IRS輔助系統(tǒng)

根據(jù)系統(tǒng)模型，在時(shí)刻i，用戶接收到的信號可表示為

(1)

式中：x(i)∈1×M為BS發(fā)射的導(dǎo)頻信號；φn,i表示IRS的相位和衰落的影響；w(i)表示均值為零且方差為σ2的獨(dú)立同分布的加性高斯白噪聲；c(n)表示向用戶傳遞二進(jìn)制信息位的反向散射信號，取值為0或1，也可用來控制IRS的工作狀態(tài)。

把式(1)中的第二項(xiàng)表示為級聯(lián)反射信道，即

(2)

需要指出的是，IRS的反射元素的個(gè)數(shù)及相移設(shè)計(jì)，與級聯(lián)信道g的估計(jì)精度無關(guān)。

由于用戶端的功率和處理能力受限，需要采用低復(fù)雜度的信號處理技術(shù)。接下來從基礎(chǔ)的LS算法出發(fā)，探索低復(fù)雜度的信道向量h和g的估計(jì)方法。

2 算法推導(dǎo)

2.1 LS估計(jì)算法

假設(shè)信道在一段相干時(shí)間內(nèi)保持恒定不變，考慮的信道估計(jì)分兩個(gè)階段完成。在第一階段，先估計(jì)直接鏈路信道h，假設(shè)第一階段的導(dǎo)頻長度為K0。此時(shí)令I(lǐng)RS保持關(guān)閉狀態(tài)，即c(n)=0?；谑?1)，用戶接收到的信號表示為

u0=X0h+w0。

(3)

式中：u0=[u(1),u(2),…,u(K0)]T是K0×1維的接收向量，X0=[x(1);x(2);…;x(K0)]是K0×M維的發(fā)射導(dǎo)頻矩陣，w0=[w(1),w(2),…,w(K0)]T表示服從零均值且方差為σ2的獨(dú)立同分布的加性高斯白噪聲向量。在此統(tǒng)一說明：公式中上標(biāo)T和H分別表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

在第二階段，主要任務(wù)是估計(jì)級聯(lián)信道g。假設(shè)采用K1個(gè)導(dǎo)頻符號，此時(shí)令I(lǐng)RS處于工作狀態(tài)，即c(n)=1。基于式(1)，用戶接收到的導(dǎo)頻信號向量為

u1=X1h+X1g+w1。

(4)

式中：u1=[u(1),u(2),…,u(K1)]T是K1×1維的接收向量，X1=[x(1);x(2);…;x(K1)]T是K1×M維的發(fā)射導(dǎo)頻矩陣，w1=[w(1);w(2);…;w(K1)]T表示加性高斯白噪聲向量。這里，兩階段采用的總導(dǎo)頻長度記為Kp=K0+K1。

將式(3)和式(4)合并起來，可得

(5)

(6)

因此，可以得到

(7)

式中:t=[h,g]T為要估計(jì)的信道向量。

由式(7)，利用LS算法，信道向量的估計(jì)結(jié)果為

(8)

式中：

(9)

將式(9)代入式(8)，可得

(10)

通過式(10)得出直接鏈路和反射鏈路的LS信道估計(jì)結(jié)果分別表示為

(11)

(12)

需要說明的是，式(8)中求逆矩陣F的維數(shù)是2M×2M，式(11)和式(12)中求逆矩陣的維數(shù)均為M×M?？梢娛?11)和式(12)相對于式(8)維數(shù)減少一倍，大大降低了矩陣求逆的計(jì)算復(fù)雜度。

(13)

(14)

2.2 GS估計(jì)算法

已知對于下行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，信道矩陣R的列是漸近正交的[8]。因此通過將任意2M×1的非零向量表示為e，可以得到eHFe=(Re)HRe>0，這說明矩陣F是正定的。此外，通過FH=(RHR)H=F，可以進(jìn)一步得出矩陣F是厄米特(Hermitian)正定的。

(15)

式中：上標(biāo)i∈表示迭代次數(shù)。

正如前面所提到F是厄米特正定的，因此也可以將F分解為

F=D+L+LH。

(16)

式中：D=diag(diag(F))為對角矩陣，而且L和LH是F的對角線以外的上三角和下三角矩陣。式(8)的形式等價(jià)為Ft=z，用GS迭代算法來表示如下：

(17)

需要注意的是，由于矩陣F是厄米特正定的，因此所采用的GS迭代算法對于任何初始解都是收斂的(收斂條件：迭代矩陣((D+L)-1LH)的譜半徑小于1，其中譜半徑指的是其矩陣特征值的絕對值的最大值[10])。接下來將通過對比計(jì)算復(fù)雜度，說明GS迭代算法相比LS算法的優(yōu)越性。

2.3 復(fù)雜度分析

由于復(fù)雜度主要由復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)決定，考慮用復(fù)乘數(shù)對計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析?；谑?16)中D和L的定義，式(17)的解可按元素表示為

(18)

表1通過公式比較了LS算法和GS迭代算法的復(fù)雜度，可以看出，對于公式(8)，LS算法的復(fù)雜度為O(8M3)，而GS迭代算法的復(fù)雜度為O(4M2)，低了一倍。而為了保證近似性能，通常需要更多的乘法計(jì)算。相比較而言，GS迭代算法所需的乘法計(jì)算次數(shù)更少，能夠進(jìn)一步降低整體方案的復(fù)雜度。

表1 復(fù)雜度對比

3 CRLB推導(dǎo)

CRLB經(jīng)常被用來計(jì)算理論達(dá)到的最佳估計(jì)精度以評估參數(shù)的性能。接下來用CRLB推導(dǎo)算法的理論性能。

基于式(7)可知，向量是要被估計(jì)的參數(shù)，其中t[1∶M]=h，t[M+1∶2M]=g。

已知對于每個(gè)參數(shù)t「i?,i=1,…,M,…,2M，它的CRLB可以作為Fisher信息逆矩陣的第「i,i?個(gè)元素，由此可得出

var(t[i])≥CRLB(t[i])=[I-1(t)]ii。

(19)

式中：var(t[i])表示t[i]的方差；I(t)是維數(shù)為2M×2M的Fisher信息矩陣，其中I(t)的第[i,j]項(xiàng)可定義為

(20)

式中：i,j=1,…,M,…,2M。

根據(jù)式(7)和式(20)，以天線數(shù)M=2為例，可得維數(shù)為4×4的Fisher信息矩陣I(t)為

(21)

式中：ln表示對數(shù)運(yùn)算，p(u;t)表示隨機(jī)向量u對t的概率密度函數(shù)。

假設(shè)w～N(0,σ2I4×4)，其中I4×4是維數(shù)為4×4的單位矩陣，因此p(u;t)可表示為

(22)

為了簡化p(u;t)，基于式(6)、式(7)和式(22)，對p(u;t)取對數(shù)后得到

(23)

接下來將式(23)代入式(21)，進(jìn)一步計(jì)算可得I(t)為

(24)

對式(24)中的矩陣I(t)求逆可得

(25)

基于式(19)，由式(25)可得信道h和g的CRLB為

(26)

(27)

4 仿真分析

4.1 導(dǎo)頻設(shè)計(jì)對估計(jì)性能的影響

圖2為LS算法下三種不同的導(dǎo)頻序列對MSE的影響，這三種導(dǎo)頻分別是，導(dǎo)頻1：隨機(jī)生成+1和-1的序列，即(2×rand([0 1],Kp,1)-1)；導(dǎo)頻2：隨機(jī)生成指數(shù)序列，即exp(-1i×2×π×rand(Kp,1))；導(dǎo)頻3：生成正交導(dǎo)頻序列由DFT矩陣獲得。圖2(a)和(b)僅K0取值不同，Kp相同，均為40。聯(lián)合觀察圖2(a)和圖(b)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)K0=10或K0=20時(shí)，三種導(dǎo)頻序列的MSE估計(jì)性能接近，但是由從圖2(a)可以明顯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用導(dǎo)頻1時(shí)，信道h和g的MSE估計(jì)性能是最好的。因此，在接下來的仿真實(shí)驗(yàn)中均采用導(dǎo)頻1來評價(jià)不同算法的MSE性能。

(a)K0=10

圖3仿真了K0固定、總導(dǎo)頻長度Kp變化下LS算法的MSE性能，設(shè)置信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為15 dB。從圖中可以看出，K0固定的情況下，信道h的MSE不受總導(dǎo)頻長度變化的影響，呈現(xiàn)一條直線。不過，由于Kp的增加使得K1增加，反射信道g的MSE逐漸減小。當(dāng)Kp=60時(shí)，信道g在K0=30時(shí)的MSE低于K0=45時(shí)的MSE，這是因?yàn)镵0=45時(shí)對應(yīng)的導(dǎo)頻長度K1太短(為Kp的1/4)，導(dǎo)致g的估計(jì)誤差變大。然而，當(dāng)Kp≥90時(shí)，信道g在K0=45時(shí)的MSE高于K0=30時(shí)的MSE，原因是導(dǎo)頻長度K1大于Kp的1/2。此時(shí)，繼續(xù)增加Kp對信道g的誤差性能提升很小?？傮w而言，無論導(dǎo)頻多長，信道g的估計(jì)總比信道h的估計(jì)性能差一些，這是由于前者的估計(jì)受后者的估計(jì)誤差影響。

圖3 LS算法下Kp對MSE的影響

圖4在總導(dǎo)頻長度Kp固定的條件下，通過改變K0來觀察MSE的變化。此場景的參數(shù)為Kp=80。由圖可見，當(dāng)K0≤40時(shí)，直接鏈路h的MSE和反射信道g的MSE都在逐漸減??；然而，隨著K0的增加，信道g的性能變差，這是由于K1長度不夠造成的(K0>40使得K1小于總導(dǎo)頻長度的一半)。顯然，SNR較高時(shí)，h和g的估計(jì)精度都明顯提高。

圖4 LS算法下K0對MSE的影響

4.2 算法性能對比

本小節(jié)仿真對比LS算法和迭代的GS算法的MSE性能，設(shè)K0=K1=20。圖5顯示了LS算法下信道h和g隨SNR變化的MSE性能，并根據(jù)式(26)和式(27)獲得相對應(yīng)的CRLB。由圖可知，隨著SNR的增加，h和g的MSE均呈下降趨勢；當(dāng)SNR較高時(shí)，估計(jì)誤差和CRLB之間的差距減小。

圖5 LS算法下MSE和CRLB的估計(jì)

圖6顯示了LS算法和GS迭代算法的MSE估計(jì)性能的對比結(jié)果。從圖中可以明顯看出，LS算法和GS算法的MSE曲線幾乎完全重合，GS迭代算法只需要迭代4次就可以實(shí)現(xiàn)與LS算法相同的估計(jì)誤差性能，因此GS算法實(shí)現(xiàn)了更好的性能與復(fù)雜度的折中。

圖6 LS估計(jì)和GS估計(jì)的MSE對比

圖7為不同天線數(shù)M下GS算法的MSE性能仿真結(jié)果。從圖中可以明顯看出，當(dāng)天線數(shù)增加時(shí)，M=4時(shí)的MSE要比M=2時(shí)的大。這是由于當(dāng)天線數(shù)增加時(shí)，需要估計(jì)的信道參數(shù)以及同信道干擾增加導(dǎo)致估計(jì)誤差變大。

圖7 GS算法下不同天線數(shù)的MSE對比

5 結(jié) 論

本文研究了下行鏈路IRS輔助多天線系統(tǒng)的信道估計(jì)問題，利用迭代GS算法取代直接的矩陣求逆對直接信道和IRS反射信道進(jìn)行估計(jì)。為了計(jì)算理論上的最佳估計(jì)精度，進(jìn)行了CRLB的推導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，為了獲得良好的估計(jì)性能并降低復(fù)雜度，應(yīng)選擇合適的導(dǎo)頻序列。信道估計(jì)的兩個(gè)階段對應(yīng)的不同導(dǎo)頻序列長度對MSE性能有一定的影響，在總長度固定的情況下，應(yīng)考慮合理分配。GS迭代算法享有低復(fù)雜度優(yōu)勢的同時(shí)，可達(dá)到與LS算法相同的誤差性能。