安徽省壽縣第一中學(xué) 柴化安 （郵編：232200）

1 問題呈現(xiàn)

2022年高三復(fù)習(xí)漸入佳境，各地市一模陸續(xù)進行，命題人與時俱進，試題以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，體現(xiàn)新課程的教學(xué)理念.2022 年淮南市、合肥市高三一模不約而同地出現(xiàn)了用“同構(gòu)”方法解決的問題，檢測和培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”等核心素養(yǎng).

例1（淮南市2022 年高三第一次模擬考試?yán)?科 第12 題）設(shè)a=15 ln 13，b=14 ln 14，c=13 ln 15，則（）

A.a＞c＞bB.c＞b＞a

C.b＞a＞cD.a＞b＞c

例2（淮南市2022 年高三第一次模擬考試?yán)砜频?1 題）已知函數(shù)f(x)=

（1）研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）已知λ＞0，若存在x∈(1,+∞)時，不等式λx2-λx≥(eλx-1)lnx成立，求λ的取值范圍.

例3（合肥市2022 年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科第12 題）若不等式ex-aln(ax-1)+1≥0，對恒成立（e 為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的最大值為（）

A.e+1 B.e C.e2+1 D.e2

2 問題探究

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，包括從數(shù)量關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.“同構(gòu)”是數(shù)學(xué)對象之間的一類映射，它揭示了這些對象存在的關(guān)系.在中學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，如果不等式中出現(xiàn)兩個具有相同結(jié)構(gòu)特征的代數(shù)式，通俗地稱它們?yōu)橥瑯?gòu)式.通過構(gòu)造函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，化繁為簡，使問題得以順利解決.

例1 解析比較a=15 ln 13 與c=13 ln 15 的大小簡單些，可以轉(zhuǎn)化為比較與的大小，這兩個式子結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造函數(shù)f(x)=利用導(dǎo)數(shù)知f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，因此，即15 ln 13 ＞13 ln 15.

通過觀察a、b、c的形式，直覺b介 于a、c之間.直接比較a與b、b與c大小，依然轉(zhuǎn)化成相同的結(jié)構(gòu)，引入函數(shù)解決問題.比較a=15 ln 13 與b=14 ln 14 的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較與的大小，構(gòu)造函數(shù)g(x)=，再研究它的單調(diào)性，可得a＞b.比較b=14 ln 14 與c=13 ln 15 的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較與的大小，構(gòu)造函數(shù)h(x)=再研究它的單調(diào)性，可得b＞c.

例2 解析第（1）題，利用導(dǎo)數(shù)可知f(x)在區(qū)間(0,1)，(1,+∞)上均單調(diào)遞減.

第（2）題，因為λ＞0，x＞1，

例3 解法1ex-aln(ax-1)+1≥0 ?xex+x≥axln(ax-1)?xex+x≥(ax-1)ln(ax-1)+ln(ax-1) ①

設(shè)f(x)=xex+x，利用導(dǎo)數(shù)，知f(x) 在上單調(diào)遞增.

于是由f(x)≥f(ln(ax-1))，得x≥ln(ax-1)，分離參數(shù)得a≤

其中代數(shù)式恒等變換ax-1=eln(ax-1)是關(guān)鍵.如果用x=ln ex，就得到另外一種解法.

3 問題反思

“同構(gòu)”的解題意識和技巧是化繁為簡、化解難題的有力武器.一方面，“同構(gòu)”能優(yōu)化解題思路，簡化數(shù)學(xué)運算，以簡馭繁，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).另一方面，“同構(gòu)”是數(shù)學(xué)對稱美的體現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)學(xué)抽象的重要載體.有些式子結(jié)構(gòu)混搭，需要變形重構(gòu)，具有相當(dāng)?shù)撵`活性，需要扎實的數(shù)學(xué)基本功.我們要理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，關(guān)注代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，做好轉(zhuǎn)化化歸，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

最后推薦2020 年高考新課標(biāo)山東卷第21 題，再次說明“同構(gòu)”思想方法的重要性：已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，（1）略；（2）若f(x)≥1，求a的取值范圍.其多樣的解法請參見文[2].