顏閩秀，張 萍

(1.沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110142； 2.工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110142)

0 引言

混沌系統(tǒng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有對(duì)初值高度敏感性、類隨機(jī)性、不確定性和非周期性等特征，廣泛應(yīng)用于保密通信、信息加密等領(lǐng)域.自從1963年，美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)Lorenz混沌系統(tǒng)[1]后，混沌控制逐漸成為熱點(diǎn).之后，Chen系統(tǒng)[2]、Liu系統(tǒng)[3]等不同類型的混沌系統(tǒng)陸續(xù)被提出.近幾年來(lái)，為增強(qiáng)混沌系統(tǒng)在保密通信中的安全性能，學(xué)者們陸續(xù)探索具有更為復(fù)雜吸引子的混沌系統(tǒng).因此切換混沌系統(tǒng)[4]構(gòu)造成為一個(gè)研究熱點(diǎn).

文獻(xiàn)[5]利用一次坐標(biāo)變換提出四翼混沌系統(tǒng)，通過(guò)切換函數(shù)來(lái)進(jìn)行混沌系統(tǒng)切換.文獻(xiàn)[6]利用開(kāi)關(guān)控制作為切換方法.文獻(xiàn)[7]基于Lorenz系統(tǒng)，通過(guò)修改非線性項(xiàng)形成子系統(tǒng).文獻(xiàn)[8]對(duì)Lorenz系統(tǒng)第2個(gè)方程中的y變?yōu)?y得到新系統(tǒng).而本文通過(guò)多次坐標(biāo)變換的方法，得到2個(gè)子系統(tǒng)，在切換方法上，設(shè)計(jì)新的切換系統(tǒng)，提出六翼混沌系統(tǒng)，其混沌系統(tǒng)更具復(fù)雜性.同時(shí)，在應(yīng)用方面，同步控制極為重要.文獻(xiàn)[9]利用自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.文獻(xiàn)[10]探討了自適應(yīng)滑?？刂品椒?，該同步控制優(yōu)點(diǎn)在于誤差收斂速度更快.本文在參數(shù)未知情況下，推導(dǎo)出一種自適應(yīng)控制律，實(shí)現(xiàn)了未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的同步，并使其同步時(shí)間更短.

本文在Lorenz混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)坐標(biāo)變換得到混沌子系統(tǒng)，接下來(lái)利用切換函數(shù)構(gòu)造新的六翼混沌系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)切換.仿真結(jié)果表明，該混沌切換系統(tǒng)具有比原系統(tǒng)更為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，由于混沌系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜，因此能夠廣泛應(yīng)用于同步通信及加密等領(lǐng)域.

1 Lorenz對(duì)稱混沌系統(tǒng)

1.1 對(duì)稱混沌系統(tǒng)

本文考慮Lorenz混沌系統(tǒng)為

(1)

其中，a，b，c為常數(shù)參數(shù)，其參數(shù)值為a=10，b=28，c=8/3.由于該系統(tǒng)存在對(duì)稱性，對(duì)該混沌系統(tǒng)進(jìn)行(x1，x2，x3)→(x1，x2，-x3)變換，本文即可得到關(guān)于x3=d平面對(duì)稱的新系統(tǒng)(2)，其中d為未知參數(shù).

(2)

本文對(duì)混沌系統(tǒng)(1)進(jìn)行(x1，x2，x3)→(x1，-x2，-x3)變換，即可得到關(guān)于x2=e新系統(tǒng)(3)，其中e為未知參數(shù).

(3)

對(duì)于系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)均有

(4)

所以系統(tǒng)是耗散的，并以指數(shù)形式收斂.當(dāng)t→∞時(shí)，所有系統(tǒng)的軌線最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為0的點(diǎn)集合上，并且它的漸近行為會(huì)被固定在一個(gè)吸引子上.

1.2 系統(tǒng)的吸引子

本文令(1，1，1)為系統(tǒng)(1)的初始值，(1，1，-1)為系統(tǒng)(2)的初始值，(1，-1，-1)為系統(tǒng)(3)的初始值，在MATLAB中繪制3系統(tǒng)吸引子圖像，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)、(2)、(3)吸引子及其相圖

由圖1可知，對(duì)稱系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).并由圖1分析可得，系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)吸引子關(guān)于X3=0對(duì)稱，由此可得d為0；系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(3)吸引子關(guān)于X2=0對(duì)稱，由此可得e為0.

接下來(lái)，本文設(shè)計(jì)切換混沌模型函數(shù)，實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而使得系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)可以構(gòu)成多翼的對(duì)稱切換混沌系統(tǒng).

2 六翼對(duì)稱切換混沌系統(tǒng)

本文設(shè)計(jì)的對(duì)稱切換混沌系統(tǒng)模型

(5)

其中f1、f2為切換函數(shù)，用于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)、(2)與(3)的切換，其表達(dá)式如下：

(6)

ω≠0為一常數(shù)，這里取ω=0.02，繪制切換函數(shù)圖，如圖2所示.

圖2 切換函數(shù)圖

由圖2分析可得，一個(gè)周期的時(shí)間為T(mén)，在第1個(gè)T/2內(nèi)f1=1，f2=1，系統(tǒng)(5)先以系統(tǒng)(1)模型運(yùn)行，在第2個(gè)T/2內(nèi)f1=-1，f2=1，系統(tǒng)(5)以模型(3)運(yùn)行，在第3個(gè)T/2內(nèi)f1=1，f2=-1，系統(tǒng)(5)以模型(2)運(yùn)行，之后，反復(fù)在模型(3)與模型(2)中運(yùn)行切換.

本文令(1，1，1)為模型(5)的初始值，繪制吸引子圖像，x1-x3相圖、x2-x3相圖和龐加萊截面圖，如圖3所示.

由圖3吸引子圖像可以看出，系統(tǒng)(5)的吸引子是由系統(tǒng)(1)、系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)模型的吸引子構(gòu)成.同時(shí)，可以看出，系統(tǒng)在不同截面的龐加萊截面圖是由密集點(diǎn)構(gòu)成的非封閉曲線，由此可以判斷，系統(tǒng)(5)是混沌的.由圖3相圖可以看出系統(tǒng)(5)的運(yùn)行狀態(tài)為系統(tǒng)(1)→(3)→(2).

圖3 系統(tǒng)(5)的吸引子圖、相圖及龐加萊截面圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證該系統(tǒng)的混沌特性，本文繪制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)圖和功率譜，分別如圖4和圖5所示.

圖4 李雅普諾夫指數(shù)圖

圖5 功率譜

同時(shí)，由圖4可知，計(jì)算出李雅普諾夫維數(shù)DL為

DL=2+(λL1+λL2)/λL3=2.941 9

(7)

因λL1為正數(shù)，DL為分?jǐn)?shù)，同時(shí)，又有功率譜為連續(xù)譜，沒(méi)有明顯的波峰，由此進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)(5)的混沌特性.

3 基于李雅普諾夫理論和自適應(yīng)控制理論同步控制

3.1 理論分析

本文令式(5)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(8)

同步誤差定義為

(9)

因此，同步誤差系統(tǒng)為

(10)

考慮設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律為

(11)

其中，k1，k2，k3為正增益常數(shù).

由式(11)代入式(10)可得，閉環(huán)誤差動(dòng)態(tài)方程為

(12)

設(shè)置參數(shù)估計(jì)誤差為

(13)

因此，方程(12)可以轉(zhuǎn)換成

(14)

對(duì)式(13)進(jìn)行微分可得

(15)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(16)

對(duì)其求導(dǎo)可得

(17)

(18)

所以，可以得到

(19)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)能夠同步.

3.2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證控制器有效性，本文在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值為(-1，2，0.1)，響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(1，2，-2)，設(shè)置控制參數(shù)kn=20，n=1，2，3，令未知參數(shù)a=5，b=4，c=3.

本文基于上述數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，同步誤差結(jié)果如圖6所示.

圖6 同步誤差

由圖6可以看出，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)能夠很快達(dá)到同步，同步誤差能夠在較短時(shí)間內(nèi)趨近于零，從而實(shí)現(xiàn)同步.

4 結(jié)論

本文提出了1個(gè)新的六翼混沌系統(tǒng)，通過(guò)吸引子圖、相圖、龐加萊截面圖、李雅普諾夫指數(shù)以及功率譜分析說(shuō)明系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，驗(yàn)證系統(tǒng)的混沌特性.同時(shí)，本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)同步控制器，在參數(shù)未知情況下實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步控制.該系統(tǒng)比Lorenz系統(tǒng)更具復(fù)雜性，因此在同步通信和數(shù)字圖像加密領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值.