黃萌濛，伍高飛

(西安電子科技大學 網絡與信息安全學院，陜西 西安 710071)

設有限域Fq有q=pn個元素，其中，p是素數，n是正整數。若f(x)為FqFq上的一一映射，則稱多項式f(x)∈Fq[x]為域Fq上的置換多項式(Permutation Polynomials，PPs)。有限域上的置換多項式在編碼理論以及代數組合論中有著非常重要的應用。在編碼理論中，置換多項式可以用來構造最優(yōu)線性碼[1-2]。在代數組合論中，置換多項式可以用來構造具有良好性質的差集系統[3]。完全置換多項式(Complete Permutation Polynomials，CPPs)是一類特殊的置換多項式，除了上述在編碼理論和代數組合論中有應用外，完全置換多項式還可用來構造正交拉丁方陣[4-6]，并和最大長度序列(maximum length sequence，m-序列)及其采樣之間的互相關值猜想具有密切聯系[7]。近年來，研究者又發(fā)現利用完全置換多項式可以構造一類在兩種不同的廣義離散傅里葉變換下具有均勻頻譜的布爾函數——Bent-Negabent函數[8]。因此，完全置換多項式的研究無論是在理論上還是應用上都十分有必要。

1 預備知識

(1)f是雙射的；

引理2設f(x)是Fq上的完全置換多項式[9]，則

(1)f(x+a)+b是Fq上的完全置換多項式，其中a，b∈Fq；

(3)f-1(x)是Fq上的完全置換多項式。

引理2說明，若d是Fpn上的完全置換單項式指數，則d-1(modpn-1)也是Fpn上的完全置換單項式指數。

由AGW準則可以證明：

引理3設p為素數，r，n和d為正整數且滿足d|(pn-1)。令h(x)∈Fpn[x]，則f(x)=xrh(x(pn-1)/d)是有限域Fpn上的置換當且僅當下列條件同時成立[18]：

(2)xrh(x)(pn-1)/d是μd上的置換，其中μd是Fpn中階為d的元素的集合，即

μd={x|xd=1，x∈Fpn} 。

2 完全置換單項式的構造

首先，總結有限域上完全置換單項式指數的已有研究結果；其次，發(fā)現并證明一類新的完全置換單項式指數。

利用Magma對完全置換單項式指數展開搜索，總結了完全置換單項式的已有構造，見表1和表2。表1中給出了F2n上完全置換單項式指數的研究結果，表2列出了奇特征有限域Fpn上完全置換單項式指數的研究結果，其中粗體表示的是未被證明的完全置換多項式指數。

表1 F2n上的完全置換單項式指數(2≤n≤12)

表2 Fpn上的完全置換單項式指數

續(xù)表2

筆者對近十多年來有限域Fpn完全置換單項式的相關理論研究進行了總結。表3列出了有限域Fpn上完全置換單項式的研究結果。

表3 Fpn上已知的完全置換單項式v-1xd

續(xù)表3

續(xù)表3

通過觀察分析表1和表2中尚未被證明的完全置換多項式指數，發(fā)現并證明了一類新的完全置換單項式指數。

因此，對任意x∈μ4，η(a2-x2)=1等價于η(a2-1)=1且η(a2+1)=1。證畢。

故滿足條件的a的個數為

程序結果表明：當p=3，3≤m≤12；p=5，2≤m≤10；p=7，2≤m≤8；p=11，2≤m≤8時，|τ|>0。

后續(xù)將考慮集合{x|x∈C0，x+1∈C0，x-1∈C0，x∈Fpm}中元素的個數。

證明 ① 若p≡±3(mod 8)且m是奇數，則p2m≡9(mod 16)。事實上，要證p2m≡9(mod 16)，若令p=8k±3，k為正整數，則只需證p2m≡(8k±3)2m≡9(mod 16)即可。而

注意到m是奇數，可令m=2l+1，l為正整數，則32m≡9m≡92l+1≡9(mod 16)。

② 若p≡±1(mod 8)或m是偶數，則p2m≡1(mod 16)。證明過程與①中類似，不再贅述。

證畢。

綜合定理1和命題1，有如下定理：

證明d1是Fp2m上的完全置換單項式指數，只需證下面(1)和(2)同時成立即可：

(1) gcd(d1，p2m-1)=1；

注2利用定理2，可以證明表2中p=7，n=4時，d(d-1)=601(1 801)；p=11，n=4時，d(d-1)=3 661(10 981)為完全置換單項式指數。程序結果表明，當p=3，n=6；p=3，n=10；p=7，n=6；p=11，n=6時，定理1的結論依然成立。故猜測當pm≡-1(mod 4)時，定理1仍成立。

3 結束語

由于完全置換多項式在密碼學中的重要應用，構造新的完全置換多項式非常重要。但現有的構造以及計算機搜索驗證表明，目前仍有很多完全置換多項式尤其是完全置換單項式指數尚未被刻畫。