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        混凝土內(nèi)硫酸根離子傳輸過(guò)程的元胞自動(dòng)機(jī)模型

        2022-04-26 10:16:08馬俊軍藺鵬臻劉應(yīng)龍何志剛顏維毅
        關(guān)鍵詞:硫酸根自動(dòng)機(jī)元胞

        馬俊軍,藺鵬臻*,劉應(yīng)龍,何志剛,顏維毅

        (1. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,蘭州 730070;2. 蘭州交通大學(xué) 建筑與城市規(guī)劃學(xué)院,蘭州 730070)

        對(duì)于硫酸鹽侵蝕環(huán)境下的混凝土結(jié)構(gòu)而言,硫酸根離子侵蝕是導(dǎo)致混凝土結(jié)構(gòu)發(fā)生耐久性失效的主要原因[1-3].因此,準(zhǔn)確模擬硫酸根離子在混凝土中的傳輸路徑和分布規(guī)律,對(duì)硫酸鹽侵蝕環(huán)境下混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析與設(shè)計(jì)具有重要的意義[4].

        目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)硫酸鹽腐蝕環(huán)境下混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散效應(yīng)進(jìn)行了大量研究,并取得了很多研究成果.文獻(xiàn)[5]在Fick第二定律的基礎(chǔ)上,考慮時(shí)間對(duì)硫酸根離子擴(kuò)散效應(yīng)的影響,建立了混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散方程.Marchand等[6]根據(jù)質(zhì)量守恒定律和各侵蝕產(chǎn)物之間的化學(xué)平衡關(guān)系,利用 Nernst-Planck方程建立了用于分析混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散作用的數(shù)學(xué)模型,并利用模型對(duì)各計(jì)算參數(shù)的影響進(jìn)行了討論.趙順波等[7]通過(guò)Fick第二定律,考慮混凝土浸泡齡期對(duì)硫酸根離子擴(kuò)散效應(yīng)的影響,建立了用于預(yù)測(cè)混凝土內(nèi)硫酸根離子濃度的新模型.文獻(xiàn)[8-9]考慮荷載作用對(duì)混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散作用的影響,利用Fick第二定律和化學(xué)動(dòng)力學(xué)理論,建立了荷載與環(huán)境耦合作用下混凝土內(nèi)硫酸根離子非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散反應(yīng)微分方程.文獻(xiàn)[10]考慮骨料曲折性對(duì)硫酸根離子擴(kuò)散效應(yīng)的影響,建立了混凝土中硫酸根離子擴(kuò)散的多因素模型.雖然上述研究者考慮不同的影響因素,各自建立了相應(yīng)的硫酸根離子傳輸模型,但模型往往含有高階微分方程,求解困難,限制了模型在工程中的應(yīng)用范圍.

        近年來(lái),元胞自動(dòng)機(jī)作為一種新的數(shù)值計(jì)算方法,已在混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析方面得到了廣泛應(yīng)用[11-14].但主要集中在對(duì)混凝土中氯離子擴(kuò)散擴(kuò)散過(guò)程的模擬與分析[15-17],對(duì)于硫酸根離子在混凝土內(nèi)侵蝕過(guò)程的研究還相對(duì)較少.為此,本文利用元胞自動(dòng)機(jī)原理,根據(jù)硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散特點(diǎn)和混凝土損傷演變規(guī)律,建立了用于模擬硫酸根離子在混凝土中擴(kuò)散和劣化的元胞自動(dòng)機(jī)模型,并利用混凝土硫酸鹽侵蝕試驗(yàn)對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

        1 元胞自動(dòng)機(jī)概述

        元胞自動(dòng)機(jī)(cellular automata,CA)是一種數(shù)值計(jì)算方法.通過(guò)引入離散的坐標(biāo)、變量以及時(shí)間步長(zhǎng),由于不需要求解復(fù)雜的高階偏微分方程就能實(shí)現(xiàn)線性和非線性流動(dòng)問(wèn)題,因此,用元胞自動(dòng)機(jī)來(lái)求解硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散問(wèn)題最為合適.一個(gè)完整的元胞自動(dòng)機(jī)模型主要由元胞、元胞空間、元胞狀態(tài)、進(jìn)化規(guī)則等構(gòu)成[14].其中,元胞自動(dòng)機(jī)局部進(jìn)化規(guī)則可以描述為

        S(x0,t)=f[S(x0,t),…,S(xi,t),…,S(xn,t)].

        (1)

        式中:S為元胞的元胞狀態(tài);f為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù),主要由中心元胞及周圍領(lǐng)域元胞的狀態(tài)共同決定.因此,在指定元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)化規(guī)則之前,必須定義一定的鄰域類型.在二維元胞領(lǐng)域類型中,常采用如圖1所示的Von Neuman型元胞鄰域類型[15].

        圖1 Von Neumen型元胞鄰域類型Fig.1 The type of Von Neumen type cellular neighborhood

        2 硫酸根離子傳輸過(guò)程的元胞自動(dòng)機(jī)模型

        2.1 擴(kuò)散方程

        根據(jù)質(zhì)量守恒定律,硫酸根離子在混凝土中的傳輸過(guò)程可以用Fick第二定律來(lái)描述,其表達(dá)式為

        (2)

        式中:C=C(x,t)為在t時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處的硫酸根離子濃度,kg/m3;d=d(x,t)為在t時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處的硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù),m2/s;t為侵蝕時(shí)間,s.

        假定硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)d(x,t)為常數(shù)D的情況下,方程(2)可簡(jiǎn)化為

        (3)

        簡(jiǎn)化后硫酸根離子傳輸方程解析解只適用于求解少數(shù)具有簡(jiǎn)單、經(jīng)典邊界的硫酸根離子擴(kuò)散問(wèn)題.而無(wú)法對(duì)于復(fù)雜邊界條件的硫酸根離子擴(kuò)散問(wèn)題進(jìn)行求解.因此,本文嘗試采用一種特殊的數(shù)值計(jì)算方法(元胞自動(dòng)機(jī))來(lái)求解硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散問(wèn)題.

        2.2 硫酸根離子擴(kuò)散方程的元胞自動(dòng)機(jī)解答

        根據(jù)質(zhì)量守恒定律,t+Δt時(shí)刻元胞(x,y)中硫酸根離子含量M(x,t+Δt)與t時(shí)刻元胞(x,y)中硫酸根離子含量M(x,t)之間的關(guān)系可用公式(4)來(lái)表示.

        (4)

        式中:Δt為時(shí)間步長(zhǎng),s;Ji,out為從t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻,沿i方向從元胞(x,y)流出的硫酸根離子擴(kuò)散通量;Ji,in為從t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻,沿i方向從元胞(x,y)流入的硫酸根離子擴(kuò)散通量,方向如圖2所示.

        圖2 元胞(x,y)各表面硫酸根離子擴(kuò)散通量示意圖Fig.2 Schematic diagram of sulfate ion diffusion flux on each surface of cell (x,y)

        根據(jù)Fick第一定律,在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于擴(kuò)散方向的硫酸根離子擴(kuò)散通量與該截面處的硫酸根離子濃度成正比,即:

        (5)

        式中:D為硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù),m2/s;C(x,t)為在t時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處的硫酸根離子濃度,kg/m3;Li為兩相鄰元胞之間的中心距離,m.

        利用元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行硫酸根離子模擬時(shí)所涉及的元胞組合如圖3所示.

        結(jié)合式(5),式(4)可簡(jiǎn)化為

        (6)

        根據(jù)擴(kuò)散定律,在元胞面積不變的情況下,元胞內(nèi)硫酸根離子含量與濃度成正比,即:

        M(x,t)=C(x,t)Ai,

        (7)

        式中:Ai為元胞面積,m.

        結(jié)合式(6)和(7),可得:

        (8)

        在采用正方形元胞的情況下,根據(jù)式(8)可得硫酸根離子在混凝土擴(kuò)散時(shí)的元胞自動(dòng)機(jī)動(dòng)力學(xué)方程為

        (9)

        式中:φa為t時(shí)刻,中心元胞C(x,t)對(duì)t+Δt時(shí)刻中心元胞C(x,t)硫酸根離子擴(kuò)散的進(jìn)化系數(shù);φb為t時(shí)刻,鄰域元胞C(xi,t)對(duì)t+Δt時(shí)刻中心元胞C(x,t)硫酸根離子擴(kuò)散的進(jìn)化系數(shù),其與硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系如式(10)所示.

        (10)

        從式(10)可知:在硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)已知的情況下,進(jìn)化系數(shù)不僅與時(shí)間步長(zhǎng)Δt有關(guān),還隨元胞尺寸δ的變化而變化.因此,為保證計(jì)算精度和效率,必須合理選擇時(shí)間步長(zhǎng)與網(wǎng)格尺寸的大小.

        圖3 元胞組合示意圖Fig.3 Schematic diagram of cell combination

        2.3 硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)的確定

        根據(jù)CA模型的定義,在利用元胞自動(dòng)機(jī)求解混凝土內(nèi)硫酸根離子濃度之前,需先確定進(jìn)化系數(shù)φa和φb.Biondini等[14]認(rèn)為進(jìn)化系數(shù)φa和φb分別取0.5和0.125,可使模型具有較高的精度.然而,對(duì)于實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu),由于混凝土內(nèi)水泥水化作用的進(jìn)行以及結(jié)構(gòu)孔隙和微裂縫的發(fā)展,導(dǎo)致混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)不是一個(gè)常量,而是一個(gè)隨時(shí)間和孔隙率變化的變量,其隨侵蝕時(shí)間和結(jié)構(gòu)孔隙率的變化關(guān)系可以用公式(11)來(lái)表示[7-8]:

        (11)

        式中:Deff(t)為在t時(shí)刻,混凝土內(nèi)硫酸根離子的有效擴(kuò)散系數(shù),m2/s;k為被吸收的硫酸根離子對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的影響系數(shù);t0為硫酸根離子開始擴(kuò)散時(shí)間,s;m為時(shí)間依賴性參數(shù);D0為溶液中硫酸根離子的擴(kuò)散系數(shù),m2/s;P(t)為在t時(shí)刻,混凝土的孔隙率,可表示為

        (12)

        式中:fc為混凝土內(nèi)水泥的體積分?jǐn)?shù),%;w/c為材料水灰比;hc為水泥水化程度,根據(jù)文獻(xiàn)[9]的研究結(jié)果,水泥水化程度隨時(shí)間的變化關(guān)系可用式(13)所示的非線性函數(shù)來(lái)表示.

        hc=1-0.5[(1+1.67t)-0.6+(1+0.29)-0.48].

        (13)

        式中:t為水泥水化時(shí)間,d.

        2.4 混凝土損傷函數(shù)的確定

        隨著侵蝕時(shí)間的推移,硫酸根離子逐漸從混凝土表面向內(nèi)擴(kuò)散,并與混凝土組成成分發(fā)生化學(xué)反應(yīng),生成膨脹性產(chǎn)物,導(dǎo)致混凝土基體內(nèi)裂縫的萌生,引起混凝土的損傷,從而加速硫酸根離子在混凝土內(nèi)的擴(kuò)散,同時(shí)也會(huì)造成混凝土結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的退化,使結(jié)構(gòu)無(wú)法滿足結(jié)構(gòu)原設(shè)計(jì)要求.

        根據(jù)Biondini等[14]的研究,混凝土損傷(硫酸根離子侵蝕損傷)對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響可通過(guò)混凝土基體有效面積的退化來(lái)表征.若令混凝土未損傷和達(dá)到完全損傷時(shí)的損傷度分別為0和1,則損傷后混凝土基體有效面積與損傷度之間的關(guān)系可用式(14)來(lái)表示.

        Ace(x,t)=(1-β(x,t))Ac0(x,t0).

        (14)

        式中:Ace(x,t)為在t時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處的元胞內(nèi)混凝土基體的有效面積,m2;Ac0(x,t0)為初始t0時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處的元胞內(nèi)混凝土基體的初始面積,m2;β(x,t)為在t時(shí)刻,位于點(diǎn)x=(x,y)處混凝土損傷程度,其與混凝土內(nèi)硫酸根離子濃度之間的關(guān)系為[18]

        (15)

        式中:tu為混凝土完全損傷時(shí)所需的最少時(shí)間,s;qc為混凝土損傷速率.

        利用式(9)所示的局部進(jìn)化規(guī)則,結(jié)合式(10)所示的進(jìn)化系數(shù)φa和φb、式(11)所示的有效硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)以及式(15)所示的損傷度計(jì)算公式,建立了模擬混凝土內(nèi)硫酸根離子傳輸過(guò)程和損傷演變的元胞自動(dòng)機(jī)模型,簡(jiǎn)稱CA模型.

        3 模型求解步驟

        根據(jù)上述理論公式的推導(dǎo),利用MATLAB軟件編寫了模型的計(jì)算程序,相應(yīng)的流程圖如圖4所示.

        圖4 流程圖Fig.4 Flow chart

        4 模型驗(yàn)證

        4.1 硫酸根離子濃度

        為對(duì)上述提出的元胞自動(dòng)機(jī)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證,利用CA模型對(duì)文獻(xiàn)[7]中的硫酸根離子侵蝕過(guò)程進(jìn)行了模擬,并將CA模型的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值和Fick第二定律(FSL)的計(jì)算值進(jìn)行了比較.混凝土試件尺寸和硫酸根離子擴(kuò)散方向如圖5所示.混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C50,材料配比為∶水泥∶砂∶石∶水=1∶1.29∶2.63∶0.44.模擬時(shí)只保留頂面作為擴(kuò)散面,其余5個(gè)面用環(huán)氧樹脂密封.因此,硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散過(guò)程可用平面元胞自動(dòng)機(jī)來(lái)模擬.

        圖5 混凝土試件尺寸和硫酸根離子擴(kuò)散方向示意圖 (單位:mm)Fig.5 Schematic diagram of concrete specimen size and sulfate ion diffusion direction (unit:mm)

        利用CA方法對(duì)兩種不同侵蝕環(huán)境下混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散過(guò)程模擬時(shí),元胞自動(dòng)機(jī)網(wǎng)格取δ=0.2 mm;時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.5 d;硫酸根離子濃度影響系數(shù)取k=0.95;初始硫酸根離子濃度取C0=0.78%;其余參數(shù)如表1所列.不同侵蝕時(shí)間下CA模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果和FSL計(jì)算結(jié)果的比較,結(jié)果如圖6所示.

        表1 模型計(jì)算參數(shù)取值表

        圖6 模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及FSL計(jì)算結(jié)果的比較Fig.6 Comparison of model prediction results with test results and FSL calculation results

        從圖6中的試驗(yàn)結(jié)果和CA模型模擬結(jié)果可知,硫酸根離子濃度隨侵蝕深度的增加而減小,硫酸根離子濃度隨深度的變化大致可以分為兩個(gè)階段,分別為距離混凝土表面5 mm范圍內(nèi)的快速減小階段(Ⅰ階段)和大于5 mm范圍內(nèi)的穩(wěn)定階段(Ⅱ階段).在Ⅰ階段,硫酸根離子濃度減小速率最快,從混凝土表面侵蝕進(jìn)入混凝土內(nèi)的硫酸根離子濃度基本都分布在該階段.在Ⅱ階段,硫酸根離子濃度基本保持不變,等于混凝土初始硫酸根離子濃度.可見,硫酸根離子腐蝕環(huán)境下,距混凝土表面5 mm范圍內(nèi)硫酸根離子侵蝕最為嚴(yán)重.因此,對(duì)于耐久性要求較高的工程,除采用防侵蝕性能好的混凝土外,還可通過(guò)適當(dāng)增加保護(hù)層厚度(d>5 mm)的方式來(lái)減小硫酸根離子對(duì)結(jié)構(gòu)的侵蝕破壞.

        此外,由圖6還可知,按CA方法預(yù)測(cè)的混凝土截面內(nèi)硫酸根離子濃度比按FSL方法計(jì)算的濃度在數(shù)值和變化規(guī)律上更接近試驗(yàn)結(jié)果,說(shuō)明元胞自動(dòng)機(jī)可以用來(lái)模擬硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散過(guò)程,且精度較高.造成上述偏差的主要原因是在利用FSL方法計(jì)算混凝土內(nèi)硫酸根離子濃度時(shí)高估了硫酸根離子在混凝土內(nèi)的擴(kuò)散效應(yīng),直接采用了孔隙溶液中硫酸根離子擴(kuò)散系數(shù)D0,而沒(méi)有考慮侵蝕時(shí)間和結(jié)構(gòu)孔隙率對(duì)其變化的影響.

        利用模型給出了混凝土在溶液A和B中浸泡180 d、270 d和360 d后截面(Ⅰ-Ⅰ截面)內(nèi)硫酸根離子濃度的分布情況,結(jié)果如圖7~8所示.

        由圖7和圖8可知,隨著侵蝕時(shí)間的增加,硫酸根離子逐漸從混凝土表面向內(nèi)擴(kuò)散,且表面硫酸根離子濃度越大,硫酸根離子擴(kuò)散到混凝土內(nèi)部的速率越快;時(shí)間越長(zhǎng),混凝土截面內(nèi)硫酸根離子濃度越大.

        圖7 溶液A中混凝土截面內(nèi)硫酸根離子濃度分布結(jié)果Fig.7 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution A

        圖8 溶液B中混凝土截面內(nèi)硫酸根離子濃度分布結(jié)果Fig.8 Distribution results of sulfate ion concentration in concrete section in solution B

        4.2 混凝土損傷度

        當(dāng)硫酸根離子擴(kuò)散進(jìn)入混凝土內(nèi)部后,會(huì)與混凝土組成成分發(fā)生化學(xué)反應(yīng),生成鈣礬石等膨脹性產(chǎn)物,導(dǎo)致混凝土基體的開裂和剝落,引起混凝土損傷.為便于描述硫酸鹽侵蝕環(huán)境下混凝土損傷發(fā)展規(guī)律,利用CA模型對(duì)上述硫酸鹽浸泡環(huán)境下混凝土損傷歷程進(jìn)行了模擬,并給出了混凝土損傷度隨深度的變化規(guī)律,結(jié)果如圖9所示.

        圖9 混凝土損傷度隨侵蝕深度的變化Fig.9 Variation of concrete damage degree with erosion depth

        由圖9可知,隨著侵蝕時(shí)間的增加,混凝土損傷層厚度逐漸增加.在同一侵蝕時(shí)間下,混凝土損傷度沿侵蝕深度的變化可分為三個(gè)階段,分別為完全損傷階段(Ⅰ階段)、損傷階段(Ⅱ階段)和未損傷階段(Ⅲ階段).在Ⅰ階段,混凝土損傷度等于1,表示混凝土已完全發(fā)生損傷.在Ⅱ階段,混凝土損傷度介于0到1之間,表示該部位混凝土發(fā)生了部分損傷,且隨著侵蝕深度的增加,混凝土損傷度逐漸減小.在Ⅲ階段,混凝土損傷度等于0,表示混凝土未發(fā)生損傷.

        根據(jù)CA模型獲得的硫酸鹽侵蝕環(huán)境下混凝土損傷演變過(guò)程如圖10所示.介于篇幅,圖10僅顯示了溶液B中混凝土損傷程度隨侵蝕時(shí)間的變化,但對(duì)于溶液A中混凝土的損傷演變規(guī)律也同樣適用.

        由圖10可知,隨著侵蝕時(shí)間的增加,混凝土損傷層厚度逐漸增大.由于全截面采用了相同的損傷速率,所以混凝土損傷度沿寬度方向(x方向)保持不變,僅在深度方向(y方向)發(fā)生變化,這與圖8所示的混凝土內(nèi)硫酸根離子擴(kuò)散規(guī)律一致.

        圖10 混凝土損傷度發(fā)展過(guò)程Fig.10 Development process of concrete damage degree

        在上述截面各部位損傷程度已知的情況下,結(jié)合公式(14),還可獲得損傷后混凝土基體有效面積Ace,進(jìn)而對(duì)損傷后混凝土結(jié)構(gòu)承載能力分析提供計(jì)算基礎(chǔ).

        5 結(jié)論

        1) 考慮硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散特點(diǎn)和混凝土損傷演變規(guī)律,結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)原理,建立了考慮混凝土侵蝕損傷的元胞自動(dòng)機(jī)模型,為模擬硫酸根離子在混凝土中的侵蝕規(guī)律提供了一種有效的計(jì)算方法.

        2) 與Fick第二定律計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比表明,元胞自動(dòng)機(jī)可以用來(lái)模擬硫酸根離子在混凝土中的擴(kuò)散規(guī)律,且精度較高.

        3) 混凝土截面內(nèi)硫酸根離子濃度隨侵蝕深度的增加而減小,隨侵蝕時(shí)間的增加而增大.表面硫酸根離子濃度越大,硫酸根離子在混凝土內(nèi)的擴(kuò)散速率越快.硫酸根離子沿截面深度的變化大致可分為兩個(gè)階段,即快速減小階段和穩(wěn)定階段.

        4) 混凝土損傷度沿侵蝕深度的變化可分為完全損傷階段、損傷階段和未損傷等三個(gè)階段.在完全損傷階段,混凝土損傷層厚度隨硫酸根離子侵蝕時(shí)間的增加而增大.在損傷階段,混凝土損傷度隨侵蝕深度的增加而逐漸減小.

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