劉 國(guó),姚齊水,余江鴻

(1.湖南汽車工程職業(yè)學(xué)院,湖南 株洲 412001;2湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖南 株洲 412007)

0 引 言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵零部件,其應(yīng)用非常廣泛,被稱為“工業(yè)的關(guān)節(jié)”[1,2]。滾動(dòng)軸承的質(zhì)量和可靠性影響整個(gè)機(jī)械裝備健康狀況。因此,研究高效、準(zhǔn)確的滾動(dòng)軸承剩余壽命的預(yù)測(cè)方法,具有十分重要的意義。

目前,對(duì)滾動(dòng)軸承的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè),主要采用的是全壽命實(shí)驗(yàn)的方法。進(jìn)行全壽命實(shí)驗(yàn)可以得出很多滾動(dòng)軸承工作過程中的數(shù)據(jù)。而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)主要包括機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)[3]。

近年來,計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,給滾動(dòng)軸承的壽命預(yù)測(cè)帶來了極大的方便。呂明珠等人[4]提出了一種結(jié)合包絡(luò)諧噪比和無跡粒子的風(fēng)力機(jī)軸承的剩余壽命預(yù)測(cè)算法,該方法的預(yù)測(cè)精度較高;但是,該方法需要在一定量的歷史數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上才能進(jìn)行預(yù)測(cè)。

還有一些研究者則根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程中的數(shù)據(jù)開展了滾動(dòng)軸承的剩余壽命研究。蔣潔等人[5]研究了非線性最小二乘法和貝葉斯方法,構(gòu)建了滾動(dòng)軸承剩余壽命預(yù)測(cè)模型,該模型可以用于對(duì)滾動(dòng)軸承的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè);但是,運(yùn)用該方法進(jìn)行計(jì)算時(shí),所需要的數(shù)據(jù)屬于故障數(shù)據(jù),而獲得故障數(shù)據(jù)的難度較大。譚智玲等人[6]提出了一種基于振動(dòng)信號(hào)分析的滾動(dòng)軸承剩余壽命預(yù)測(cè)方法,并通過該方法對(duì)采集到的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了時(shí)頻域的分解,利用改進(jìn)后的粒子群優(yōu)化算法和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行了壽命預(yù)測(cè);但是該方法的運(yùn)用需要處理大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并且其實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用也較高。

對(duì)于一些特殊領(lǐng)域的滾動(dòng)軸承一般具有高可靠性、長(zhǎng)壽命、無失效的特點(diǎn),基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法已經(jīng)不再適用。

目前,國(guó)外研究無失效數(shù)據(jù)問題已經(jīng)有20多年。國(guó)內(nèi)最早研究無失效數(shù)據(jù)問題的是茆詩松和羅朝斌[7],他們提出了配分布曲線可以獲得無失效數(shù)據(jù)的可靠度估計(jì)值,這種方法只能在精確度要求不高的場(chǎng)合使用。2007年,韓明[8]在Bayes方法的基礎(chǔ)上,研究了無失效數(shù)據(jù)的E-Bayes估計(jì)法。

但是這種貝葉斯估計(jì)只能得出產(chǎn)品的可靠性的點(diǎn)估計(jì)值,并且只能計(jì)算出無失效數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的可靠性,無法預(yù)測(cè)產(chǎn)品在未來某個(gè)時(shí)刻的壽命可靠性。

對(duì)于滾動(dòng)軸承的剩余壽命,還可以通過建立其數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)Wiener模型,過濾信號(hào)中的隨機(jī)噪聲,然后進(jìn)行預(yù)測(cè),可提高預(yù)測(cè)的精度[9-11]。但是,其預(yù)測(cè)的精度會(huì)根據(jù)噪聲的過濾程度不同而不同,在實(shí)際的預(yù)測(cè)中還是有一定的局限性。

WANG Gang等人[12]提出了一種指數(shù)模型和梯度下降法相結(jié)合的方法,用于提高滾動(dòng)軸承剩余壽命預(yù)測(cè)的精度。采用數(shù)學(xué)模型可以處理一定量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),但是如果在計(jì)算過程中采用了不同的數(shù)學(xué)方法,則得出的模型參數(shù)還是會(huì)存在一定的區(qū)別,因此,該方法也會(huì)有一定的局限性。

對(duì)于灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)而言,建立模型所需要的數(shù)據(jù)較少,并且可以得出評(píng)估滾動(dòng)軸承剩余壽命的計(jì)算公式。張雨琦等人[13]研究了特征參數(shù)之間的映射關(guān)系,并根據(jù)這些關(guān)系建立了多退化變量灰色預(yù)測(cè)模型,用于對(duì)軸承的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè);這種方法有缺陷,即它一般需要大量的計(jì)算。黎慧等人[14]研究了滾動(dòng)軸承的全壽命周期的評(píng)估指數(shù),并根據(jù)該指數(shù)建立了滾動(dòng)軸承的灰色預(yù)測(cè)模型,再通過進(jìn)行迭代運(yùn)算,得出了其剩余壽命;這種預(yù)測(cè)方法一般需要迭代很多次,且并不能夠保證得到理想的結(jié)果。

采用灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)時(shí)的參考數(shù)據(jù)必須是等間隔的,這給非等間隔的無失效數(shù)據(jù)模型的使用帶來了一定的局限性,需要事先將非等間隔的無失效數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為等間隔的數(shù)據(jù)。

劉玉梅等人[15]將鍋爐過熱器的內(nèi)壁氧化膜厚度非等間距序列轉(zhuǎn)化為等間距序列,建立了鍋爐過熱器剩余壽命非等間隔灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1);這種方法的局限性在于鍋爐氧化器氧化膜的厚度,也就是使用該方法時(shí)要有一定的工程數(shù)據(jù)。毛麗等人[16]采用非等間隔灰色模型,對(duì)車用三效催化轉(zhuǎn)化器的剩余壽命進(jìn)行了預(yù)測(cè);由于該方法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很難獲得,其實(shí)用性比較差。

綜上所述,筆者以滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)為計(jì)算數(shù)據(jù),運(yùn)用E-Bayes公式計(jì)算滾動(dòng)軸承在每一個(gè)截尾時(shí)間的可靠性估計(jì)值;將無失效數(shù)據(jù)模型中非等間隔的可靠度估計(jì)值換算為等間隔的可靠度的估計(jì)值;根據(jù)等間隔的滾動(dòng)軸承的可靠度的估計(jì)值,進(jìn)行灰色模型GM(1,1)預(yù)測(cè),得到任意時(shí)刻滾動(dòng)軸承剩余壽命的可靠性計(jì)算公式。

1 無失效數(shù)據(jù)模型

滾動(dòng)軸承可靠性實(shí)驗(yàn)通常采用定時(shí)截尾的方式進(jìn)行,大多數(shù)的可靠性實(shí)驗(yàn)主要是獲取無失效數(shù)據(jù)。

在可靠性實(shí)驗(yàn)中,筆者對(duì)實(shí)驗(yàn)滾動(dòng)軸承進(jìn)行k組定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn),截尾時(shí)間的先后順序依次為t1,t2,…,tk,其中t1

實(shí)驗(yàn)結(jié)束后,若不存在軸承失效,則該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為無失效數(shù)據(jù)。

滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表1所示。

表1 無失效數(shù)據(jù)模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

表1中,未失效總數(shù)si是在定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)中,實(shí)驗(yàn)時(shí)間到達(dá)ti時(shí),未出現(xiàn)失效的滾動(dòng)軸承的數(shù)量。

其中,未失效總數(shù)si表達(dá)式為:

si=nk+nk-1+…+ni,i=1,2,…,k

(1)

要研究滾動(dòng)軸承的可靠性,實(shí)驗(yàn)軸承的數(shù)量必須達(dá)到一定的數(shù)目。而每組投入的滾動(dòng)軸承數(shù)量、實(shí)驗(yàn)滾動(dòng)軸承的分組數(shù)目和每組定時(shí)截尾時(shí)刻,其對(duì)軸承可靠性的評(píng)估結(jié)果都會(huì)有一定的影響。

對(duì)于上述這幾個(gè)量,研究人員主要是結(jié)合滾動(dòng)軸承的實(shí)際運(yùn)用的場(chǎng)合,以及對(duì)該軸承的可靠性的要求,進(jìn)行合理的規(guī)劃。

2 E-Bayes模型

失效概率pi的先驗(yàn)密度函數(shù)為:

(2)

式中:a,b—超參數(shù);B(a,b)—Beta函數(shù)。

B(a,b)的表達(dá)式為:

(3)

根據(jù)失效概率pi的性質(zhì),其值較小的概率大,所以pi應(yīng)為減函數(shù)。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì),π(pi|a,b)是pi的減函數(shù)的條件是:01。

根據(jù)貝葉斯理論和貝塔函數(shù)分布的性質(zhì),筆者綜合考慮貝葉斯估計(jì)的穩(wěn)健性,對(duì)超參數(shù)a,b的分布采用均勻分布方式,即:

π1(a)=1

(4)

(5)

超參數(shù)c是常數(shù),其取值范圍為1

對(duì)于不同的工作環(huán)境和工作狀況,應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體的軸承類型進(jìn)行分析和判斷,一般取值在[2,7]最合適[17]。

當(dāng)a,b按照公式(4,5)取均勻分布時(shí),失效概率pi的先驗(yàn)密度函數(shù)為:

π(pi|b)=b(1-pi)b-1

(6)

其中:0

根據(jù)上面的假設(shè),在平方損失下,E-Bayes可估計(jì)為:

(7)

3 非等間隔灰色預(yù)測(cè)建模方法

灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)在預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì)方面應(yīng)用廣泛。

由于其預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)必須為等間距,在滾動(dòng)軸承的定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)中,截尾時(shí)刻為非等間距的,需要將非等間隔時(shí)刻的可靠度估計(jì)值轉(zhuǎn)化成等間距時(shí)刻的可靠度估計(jì)值,才能應(yīng)用灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)。

其建模方法如下:

設(shè)定非等間隔原始序列為:

(8)

(1)求定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)中,各時(shí)段與平均時(shí)段的單位時(shí)段差系數(shù)μ(ti):

(9)

(10)

(11)

于是,得到等間距序列為:

(12)

(13)

以新生成的等間距序列為基礎(chǔ)的一階灰色微分方程GM(1,1),即:

(14)

式中:m—待辨識(shí)參數(shù);p—待辨識(shí)參數(shù)。

則向量X的最小二乘解為:

X=(BTB)-1BTYn

(15)

向量Yn的表達(dá)式為:

(16)

矩陣B的表達(dá)式和矩陣B中的數(shù)值計(jì)算表達(dá)式為:

(17)

(18)

一階灰色微分方程GM(1,1)模型的離散響應(yīng)方程為:

(19)

為了將其與原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行比較,筆者將非等間隔序列中的時(shí)間ti(i=(n-1)ti/(tn-t1))代入模型,即:

(20)

(21)

一階微分灰色方程GM(1,1)模型的擬合殘差中往往還有一部分動(dòng)態(tài)有效信息,可以通過建立殘差GM(1,1)模型對(duì)原模型進(jìn)行修正。

筆者采用后驗(yàn)差對(duì)一階灰色微分方程GM(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

記0階殘差為:

(22)

均方差比值C為:

(23)

小誤差概率P為:

(24)

對(duì)于GM(1,1)的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià),其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如表2所示。

表2 精度檢驗(yàn)等級(jí)

一般認(rèn)為小誤差概率越大越好,均方差比值越小越好。殘差的方差較小時(shí),殘差的離散程度較小。

因此,在標(biāo)準(zhǔn)差比較小的時(shí)候,原始數(shù)據(jù)序列比較離散,但是模型計(jì)算得出的計(jì)算值和實(shí)際的值的差值比較集中。

對(duì)于小誤差概率來說,取值越小,說明計(jì)算預(yù)測(cè)精度越高。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了獲得軸承的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),筆者對(duì)其進(jìn)行可靠性分析。

實(shí)驗(yàn)中采用的機(jī)械裝備是滾動(dòng)軸承綜合實(shí)驗(yàn)臺(tái),如圖1所示。

圖1 滾動(dòng)軸承綜合實(shí)驗(yàn)臺(tái)

該實(shí)驗(yàn)臺(tái)可以對(duì)實(shí)驗(yàn)軸承施加垂直載荷,模擬實(shí)際工作的條件。

實(shí)驗(yàn)中采用的是高速列車上常用的雙列圓錐滾子軸承,該軸承的參數(shù)采用文獻(xiàn)[18]中的數(shù)值,如表3所示。

表3 高速列車雙列圓錐滾子軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

在實(shí)驗(yàn)過程中,結(jié)合高速列車的實(shí)際工作條件,筆者設(shè)定軸承轉(zhuǎn)速為2 065 r/min,徑向載荷為86 kN,實(shí)驗(yàn)過程中,軸承潤(rùn)滑條件良好[19]。

截尾時(shí)間和截尾次數(shù)采用文獻(xiàn)[20]的方法,得出定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)軸承的無失效數(shù)據(jù),如表4所示。

表4 定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)

在進(jìn)行考核實(shí)驗(yàn)中,筆者按照滾動(dòng)軸承的規(guī)程要求,從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20套樣品,對(duì)20套滾動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性實(shí)驗(yàn)。

可靠性實(shí)驗(yàn)采用定時(shí)截尾壽命實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行,每一個(gè)截尾時(shí)間,無一套滾動(dòng)軸承失效。

為了更好地研究該滾動(dòng)軸承的可靠性,筆者人為地增加了定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)的時(shí)間,最終仍未出現(xiàn)失效的滾動(dòng)軸承。

對(duì)于E-Bayes估計(jì),筆者采用超參數(shù)c=5為例,利用公式(7)和表4的無失效數(shù)據(jù),進(jìn)行失效概率估計(jì)值的計(jì)算,得出了滾動(dòng)軸承在定時(shí)截尾處的可靠度估計(jì)值,如表5所示。

表5 截尾時(shí)刻的滾動(dòng)軸承可靠性估計(jì)值

在實(shí)驗(yàn)過程中,滾動(dòng)軸承都能正常工作。實(shí)驗(yàn)條件也是采用了正常的工作環(huán)境。因此,筆者得到的估計(jì)值屬于滾動(dòng)軸承的點(diǎn)估計(jì)的平均壽命。

從表5可以得出,滾動(dòng)軸承非等間隔灰色預(yù)測(cè)的平均時(shí)間間隔100.4 h,由式(9)可得非等間隔灰色預(yù)測(cè)的單位時(shí)間差系數(shù),即:

μ(ti)={0.165 3,-0.207 2,0.466 1,0.233 1,0}

(25)

故各時(shí)段總的差值為:

(26)

等間隔點(diǎn)的灰度為:

x={0.978 8,0.977 2,0.970 5,
0.969 6,0.954 1,0.933 2}

(27)

根據(jù)以上數(shù)據(jù),筆者建立GM(1,1)模型為:

(28)

(29)

筆者對(duì)滾動(dòng)軸承可靠度非等間隔灰色預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了殘差和后驗(yàn)差檢驗(yàn),求得均方差比值小于0.35,小誤差概率大于0.95。這表明滾動(dòng)軸承的非等間隔灰色預(yù)測(cè)精度較高。

這種方法建模所需要的數(shù)據(jù)比較少,借助無失效數(shù)據(jù)模型和E-Bayes估計(jì),在未做完軸承全壽命實(shí)驗(yàn)的情況下,可較為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承剩余壽命,具有縮短實(shí)驗(yàn)時(shí)間和節(jié)省實(shí)驗(yàn)成本的特點(diǎn)。

筆者以E-Bayes計(jì)算得到的可靠度值為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行等間隔預(yù)測(cè),以前3個(gè)截尾時(shí)刻的貝葉斯估計(jì)值為建模數(shù)據(jù),對(duì)未來3步進(jìn)行預(yù)測(cè),最終得到的可靠度的數(shù)據(jù)序列:{0.978 8,0.976 9,0.971 6,0.966 0,0.961 0,0.956 0}。

筆者將等間距的灰色預(yù)測(cè)的最后3步的預(yù)測(cè)值,與非等間距灰色預(yù)測(cè)的最后3步的預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比分析,結(jié)果如表6所示。

表6 滾動(dòng)軸承壽命非等間隔灰色預(yù)測(cè)

根據(jù)表6可知:利用非等間隔灰色預(yù)測(cè)進(jìn)行任意時(shí)刻的軸承可靠度預(yù)測(cè),通過對(duì)比分析E-Bayes估計(jì),預(yù)測(cè)得到結(jié)果相對(duì)誤差在3%以內(nèi)。該結(jié)果驗(yàn)證了非等間隔灰色預(yù)測(cè)模型在滾動(dòng)滾動(dòng)軸承剩余壽命預(yù)測(cè)方面的有效性。

通過非等間隔的灰色預(yù)測(cè)模型,可以計(jì)算得出滾動(dòng)軸承工作時(shí)刻的剩余壽命,結(jié)果不受時(shí)間的間隔條件的限制。

此外,采用非等間隔灰色預(yù)測(cè)方法,不再需要尋找等間隔數(shù)據(jù),對(duì)任意時(shí)刻的軸承的可靠性數(shù)據(jù)都可以預(yù)測(cè)。

5 結(jié)束語

針對(duì)滾動(dòng)軸承的剩余壽命預(yù)測(cè)問題,筆者以滾動(dòng)軸承的無失效數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),利用E-Bayes理論和無失效數(shù)據(jù)模型,結(jié)合灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1),提出了一種滾動(dòng)軸承的剩余壽命非等間隔灰色預(yù)測(cè)方法,并通過滾動(dòng)軸承的定時(shí)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)該方法的可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證。

研究結(jié)論如下:

(1)采用滾動(dòng)軸承無失效數(shù)據(jù)進(jìn)行壽命預(yù)測(cè),可以節(jié)省大量的實(shí)驗(yàn)時(shí)間和實(shí)驗(yàn)成本;相比于貝葉斯估計(jì),采用該方法預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承剩余壽命時(shí),不受截尾時(shí)刻和樣本數(shù)量的影響;

(2)采用非等間隔灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)滾動(dòng)軸承的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),其預(yù)測(cè)結(jié)果為該軸承正常工作時(shí)的平均壽命,誤差在3%以內(nèi),較為精確。

根據(jù)非等間隔灰色預(yù)測(cè)公式,可方便地計(jì)算出滾動(dòng)軸承工作的每一個(gè)時(shí)刻的可靠度估計(jì)值。但是以上分析主要是基于滾動(dòng)軸承正常情況下進(jìn)行的。

因此,在后續(xù)的研究工作中,筆者將考慮軸承的潤(rùn)滑情況,并研究潤(rùn)滑對(duì)軸承剩余壽命的影響規(guī)律。