閻賁，馮太傅

(河北大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071002)

標(biāo)準(zhǔn)模型(SM)已經(jīng)在科學(xué)家們的持續(xù)深入研究中暴露出越來越多的不足之處，希格斯勢的真空穩(wěn)定性正是這些問題之一：SM的希格斯勢由于受到top夸克的負的輻射修正，在場值足夠大的區(qū)域是不穩(wěn)定的[1]，這需要新物理模型的改進.MSSM在SM的基礎(chǔ)上引入了互為超對稱伴的費米子和玻色子[2]，在場論計算中它們的輻射修正符號相反，可以在一定程度上互相抵消.這樣，MSSM應(yīng)當(dāng)能改善SM中存在的真空穩(wěn)定性問題.

1 有效勢的一般討論

在量子場論中，有效勢V(φ)定義為有效作用量Γ(φ)的動量展開式中的零級項，在坐標(biāo)空間這個展開表示為

(1)

其中φ表示經(jīng)典場，給出V(φ)的傅里葉變換式

(2)

展開系數(shù)Γ(n)是具有n條外線的所有單粒子不可約費曼圖的和[3].對于物理模型，有效勢的微擾展開可以表示為[4]

(3)

2 有效勢圈修正與重整化

有效勢圈修正與重整化密不可分.場論中的有效勢為哈密頓量的非導(dǎo)數(shù)部分，外腿的動量設(shè)為零后，有效勢對應(yīng)物理的經(jīng)典勢.因此有效勢(3)應(yīng)與標(biāo)度參數(shù)Q無關(guān)，如下微分等式恒成立:

(4)

這就是重整化群方程.它意味著改變標(biāo)度參數(shù)Q對有效勢帶來的影響全部由耦合參數(shù)λi以及場φ的變化補償.λi和φi隨標(biāo)度Q的變化分別由β函數(shù)與反常維γ函數(shù)描述，其中β函數(shù)可以通過定義t≡lnQ表示為

(5)

(6)

其中mi=mi(φu,φd)是由模型中各粒子質(zhì)量矩陣所確定的依賴于希格斯場的質(zhì)量本征態(tài)；Q對應(yīng)重整化群方程中的標(biāo)度參數(shù)；系數(shù)ni的絕對值對應(yīng)每個粒子的質(zhì)量本征態(tài)的簡并度，正負號取決于粒子自旋，費米子為負，玻色子為正.

3 MSSM希格斯有效勢

在單圈階考慮MSSM中的希格斯有效勢，它是樹圖勢與單圈修正勢的和

(7)

(8)

其中hu、hd代表中性的希格斯場，為方便研究對中性場平移，分離出希格斯標(biāo)量場φu、φd，贗標(biāo)量場σu、σd和真空期望值νu與νd.

(9)

對Veff應(yīng)用中性希格斯場取真空期望值時勢為極值的最小化條件

(10)

對(7)式應(yīng)用Bμ、|μ|2的約束條件后得到單圈修正的希格斯有效勢，為研究這個有效勢在不同能標(biāo)下的行為，還需要考慮重整化群能標(biāo)Q跑動的影響.(7)式中含有耦合因子λi和希格斯標(biāo)量場φi，將其替換為由β函數(shù)與γ函數(shù)所確定的λα(Q)和φi(Q)，最終得到MSSM模型中單圈修正的有效勢Veff(λα(Q),φi(Q);Q).下一節(jié)將分析有效勢在任意能標(biāo)Q下隨場φi的變化是否形成穩(wěn)定的勢阱，以及穩(wěn)定勢對的參數(shù)空間的要求.

還有1個問題會影響分析計算，是所謂有效勢凸性問題.有效作用量Γ(φ)定義為生成泛函W[J]的勒讓德(Legendre)變換，它一定是凸函數(shù)[8](凸函數(shù)在文中指具有二階導(dǎo)數(shù)大于零這種下凸的形狀的函數(shù)，與國內(nèi)一些數(shù)學(xué)教材的定義相反).因此，有效勢Veff也是φ的凸函數(shù).問題很明顯，凸勢不能導(dǎo)致自發(fā)對稱破缺.據(jù)Dannenberg的討論[9]，凸性問題正是計算中遇到的復(fù)數(shù)項的問題：任意的φ場取值會導(dǎo)致mi(φi)出現(xiàn)復(fù)數(shù)值的本征值從而有效勢為復(fù)數(shù)，有效勢的復(fù)數(shù)值正是在其非凸的區(qū)域產(chǎn)生.對于復(fù)數(shù)有效勢的物理意義，在單圈階有很好的解釋：它的實部給出勢能期望值，虛部給出單位勢能強度的衰變率[10].由于討論的問題只涉及勢能期望值，所以在后面的數(shù)值部分對有效勢一致地取實部以簡化分析計算.

4 MSSM希格斯勢的真空穩(wěn)定性分析

模型參數(shù)的初始取值的能標(biāo)被設(shè)定在超對稱能標(biāo)1 TeV，這些初始取值滿足各種物理實驗數(shù)據(jù)的限制.當(dāng)重整化群能標(biāo)Q向高能演化時，所有λα(Q)的取值，通過被初始值確定的β函數(shù)給出，希格斯標(biāo)量場φu(Q)和φd(Q)由γ函數(shù)重新標(biāo)度.這些β函數(shù)構(gòu)成龐大的微分方程組，借助于計算機軟件Mathematica以及程序包SARAH[11]，可以在雙圈階將其數(shù)值解出.對模型參數(shù)取值有約束的實驗限制主要為希格斯粒子質(zhì)量(125.10±0.14)GeV的限制[12].為滿足實驗限制，可調(diào)參數(shù)的初始值如下：

(11)

可以看到β在0.83附近時，勢在大場值處失去勢阱形狀變得不穩(wěn)定，精確的坐標(biāo)讀數(shù)顯示穩(wěn)定勢對β的限制為β>0.865或tanβ>1.17.

圖1 Veff(φ,β)的函數(shù)關(guān)系Fig.1 Diagram of Veff(φ,β)

a.Q從1 TeV增加到4 TeV；b.Q從106 GeV增加到1010 GeV.圖2 Q增加時Veff(φ) 行為示意Fig.2 Schematic diagram of the behavior of Veff(φ) with Q increasing

Veff(φ)隨Q的演化大致分為2個階段：Q從1 TeV增加到4 TeV的過程以及Q大于4 TeV的增加過程.圖2a描繪了Q從1 TeV增加到4 TeV的階段中Veff(φ)的變化，3個子圖具有相同φ的場范圍和勢能間隔.可以看到，產(chǎn)生自發(fā)破缺的中央隆起區(qū)域的大小隨Q的增加慢慢減少，約在Q=4 TeV時完全消失.這個隆起受2個因素影響：1)樹圖勢中正負號相反的二次項的系數(shù)與四次項系數(shù)；2)圈修正勢的輻射破缺效應(yīng).圖2a隆起區(qū)域減小的原因分析為：在Q從1 TeV到4 TeV的較低能標(biāo)范圍內(nèi)，樹圖勢的貢獻起主導(dǎo)作用，而樹圖勢中負的二次項的系數(shù)，隨著Q的增加而增加，在約為4 TeV的時候消失為0.

(12)

其中A和B分別正比φ的四次項和二次項系數(shù)，函數(shù)Productlog是定義在區(qū)間[-1/e,+∞]上的xex的反函數(shù).對通常的樹圖勢A是正實數(shù)，則上式+號項成為Q的增函數(shù).因此，隨著能標(biāo)Q增加中央隆起的區(qū)域持續(xù)增加.

5 結(jié)論

超對稱模型是被科學(xué)家們廣泛看好的新物理模型.真空穩(wěn)定性則是超對稱模型中的重要課題.通過將場論對有效勢和重整化群的一般分析應(yīng)用在MSSM中，以及借助計算機數(shù)值計算雙圈階重整化群方程的解，研究了單圈修正的希格斯標(biāo)量勢在不同能標(biāo)下的真空穩(wěn)定性表現(xiàn).結(jié)果顯示在1 TeV的超對稱能標(biāo)下，圈修正的希格斯勢對tanβ的取值給出了不同于樹圖階的限制.隨著能標(biāo)的增長，希格斯勢的行為出現(xiàn)了有趣的變化.分析了這種有趣變化的原因，也證實了得益于超對稱伴粒子的貢獻，希格斯勢并沒有像標(biāo)準(zhǔn)模型那樣在大場值區(qū)域變得不穩(wěn)定.