楊天才

(重慶市高新區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院)

1 問題的提出

求有界磁場(chǎng)的最小范圍問題,對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高.其難點(diǎn)在于帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng)后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場(chǎng)邊界,其運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)(如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)等)難以確定,如何確定軌跡圓弧的圓心就成了解題關(guān)鍵.筆者發(fā)現(xiàn)借助角平分線定理(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等),通過尺規(guī)作圖可輕松確定圓心的位置,使問題得以簡(jiǎn)化.該方法的應(yīng)用依據(jù)是已知初、末速度所在的直線,則所有軌跡圓的圓心均在初、末速度所在的直線延長(zhǎng)線(或反向延長(zhǎng)線)相交所成夾角的角平分線上.如果還知道下列某一條件,圓心就能進(jìn)一步確定了:1)軌道半徑大小;2)入射點(diǎn);3)出射點(diǎn).如表1所示.

表1

2 實(shí)例分析

2.1 已知軌道半徑

例1如圖1所示,在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板,其上有一小孔P,OP＝0.5m.現(xiàn)有一質(zhì)量m＝4×10－20kg,帶電荷量q＝＋2×10－14C 的粒子,從小孔以速度v0＝3×104m·s－1水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.2 T、方向垂直紙面向外的一圓形磁場(chǎng)區(qū)域,且在飛出磁場(chǎng)區(qū)域后能垂直打在OA面上,粒子重力不計(jì).

圖1

(1)求粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑;

(2)求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

(3)求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;

(4)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)檎切吻掖艌?chǎng)方向垂直紙面向里,粒子運(yùn)動(dòng)過程中始終不碰到豎直擋板,其他條件不變,求此正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;

(5)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榫匦吻掖艌?chǎng)方向垂直紙面向里,粒子運(yùn)動(dòng)過程中始終不碰到豎直擋板,其他條件不變,求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

解析

(2)已知入射方向垂直擋板,出射方向垂直斜面,將入射方向延長(zhǎng),出射方向反向延長(zhǎng),二者相交成一角度,角平分線上到兩速度所在直線距離等于半徑的點(diǎn)即為圓心,畫出粒子運(yùn)動(dòng)的某個(gè)軌跡如圖2所示,由幾何知識(shí)得軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ＝60°,又T＝,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

圖2

(3)顯然,當(dāng)粒子的軌跡圓直徑正好是PQ時(shí),圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑最小,根據(jù)幾何知識(shí)知PQ＝r,由數(shù)學(xué)知識(shí)可得圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑R＝＝0.15m,最小面積S1＝πR2＝2.25×10－2·πm2.

(4)已知入射方向垂直擋板,出射方向與擋板相切,所以圓心O1在過P點(diǎn)與水平方向成45°角的射線上,在射線上取到擋板距離等于半徑的點(diǎn)為O1(圓心),畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示,由數(shù)學(xué)知識(shí)可得三角形的邊長(zhǎng)L＝,得

圖3

(5)與上一問類似,畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4 所示,矩形的長(zhǎng)x＝2r＝0.6 m,寬y＝r＋rcos30°＝,所以面積

圖4

點(diǎn)評(píng)

這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難,必須將入射速度方向與從OA邊射出速度的反向延長(zhǎng)線相交,根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn),在夾角平分線上找圓心,畫運(yùn)動(dòng)軌跡.另外,在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓.

2.2 已知入射點(diǎn)

例2一質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)方向垂直于紙面,粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后,從b處穿過x軸,速度方向與x軸正向夾角為30°,如圖5 所示(粒子重力不計(jì)).

圖5

(1)求圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積;

(2)求粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間;

(3)求b點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榫匦吻掖艌?chǎng)方向垂直紙面向外,其他條件不變,求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;

(5)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)檎切吻掖艌?chǎng)方向垂直紙面向外,其他條件不變,求此正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

解析

(1)由題可知,粒子不可能直接由O點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到b點(diǎn),其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn).可知,其離開磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與O點(diǎn)都在圓周上,到圓心的距離必相等.如圖6所示,過b點(diǎn)逆著速度v0的方向作虛線,與y軸相交,由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定,且圓心位于x軸上,作夾角的平分線與x軸交于O1,O1點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心,則圓的半徑R＝OO1＝O1a.由qv0B＝,得R＝.弦長(zhǎng)Oa為l＝,要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小,半徑應(yīng)為l的一半,如圖6所示,即,面積

圖6

圖7

(4)若為矩形磁場(chǎng),要使矩形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小,則軌跡圓半徑的一半剛好為矩形磁場(chǎng)的寬,弦長(zhǎng)Oa剛好為矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng),那么其面積為

(5)若為正三角形磁場(chǎng),要使磁場(chǎng)區(qū)域面積最小,則軌跡直徑應(yīng)為正三角形磁場(chǎng)的邊長(zhǎng),那么其面積為

點(diǎn)評(píng)

此題關(guān)鍵是找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn),注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等;還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng),最小矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)邊等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng),最小正三角形磁場(chǎng)的邊長(zhǎng)等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng).

2.3 已知出射點(diǎn)

例3如圖8 所示,直角坐標(biāo)系xOy第一象限的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為e的電子從第一象限的某點(diǎn)P(L,),以初速度v0沿x軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過x軸上的點(diǎn)進(jìn)入第四象限,先做勻速直線運(yùn)動(dòng),然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與y軸、x軸重合,電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,并沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng),不計(jì)電子的重力.

圖8

(1)求電子經(jīng)過Q點(diǎn)的速度v;

(2)求該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)的最小面積S;

(3)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)閳A形,其他條件不變,求此圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積;

(4)若磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)檎切?其他條件不變,求此正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

(2)如圖9所示,電子以與x軸負(fù)方向成30°角進(jìn)入第四象限后先沿QM做勻速直線運(yùn)動(dòng),然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng).恰好以沿y軸向上的速度經(jīng)過O點(diǎn).過Q點(diǎn)延長(zhǎng)速度所在的直線,與y軸負(fù)半軸相交,夾角的角平分線與x軸相交于O′點(diǎn),以O(shè)′為圓心作半圓與過Q點(diǎn)的速度延長(zhǎng)線相切于M點(diǎn)(M點(diǎn)即為磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)),弧MNO即為粒子在矩形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡,所以磁場(chǎng)的右邊界和下邊界就確定了.顯然O′點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與到直線QM上M點(diǎn)的垂直距離相等且為軌跡圓的半徑,設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為,由圖9可知＝3R,解得B＝,方向垂直紙面向里.矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)度LOC＝,寬度,矩形磁場(chǎng)的最小面積

圖9

(4)同理,若為正三角形磁場(chǎng),則正三角形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小時(shí)邊長(zhǎng)為弦長(zhǎng)OM,其面積為

小結(jié)解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題,一般有兩條思路:一是平面幾何法,即先根據(jù)平面幾何知識(shí),利用尺規(guī)作圖畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,其他問題自然迎刃而解.對(duì)于如何畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,本文探討了如果已知入射方向和出射方向所在的直線,可先將兩直線延長(zhǎng)(或反向延長(zhǎng))相交,確定圓心在其夾角的平分線上,再根據(jù)其他條件畫圓的方法.二是解析幾何法,如果不能確定粒子的具體運(yùn)動(dòng)軌跡,可以先假設(shè)軌跡圓的存在,然后利用代數(shù)的方法,逐步推證軌跡圓滿足的規(guī)律直至求解.

(完)