于彩娟 卞偉

(山東省榮成市第二中學(xué))

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題是高考命題的永恒主題,無論選擇題還是計(jì)算題都會涉及用數(shù)學(xué)知識求解物理問題,以考查學(xué)生的分析、歸納和推理能力.學(xué)生要在高考的物理考試中取勝,就要熟練掌握高中物理中常用的數(shù)學(xué)知識,掌握數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識同時也能培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).筆者通過多年高三的物理教學(xué)積累,發(fā)現(xiàn)最常用的數(shù)學(xué)知識主要有以下幾方面.

1 應(yīng)用三角函數(shù)知識解決物理問題

1.1 應(yīng)用二倍角公式解決物理問題

【知識關(guān)聯(lián)】sin2θ＝2sinθcosθ.

例1為了使雨滴能盡快地淌離房頂,要設(shè)計(jì)好房頂?shù)母叨?設(shè)雨滴沿房頂下淌時做無初速度無摩擦的運(yùn)動,那么下圖所示的四種情況中符合要求的是().

當(dāng)θ＝45°時,sin2θ＝1為最大值,此時t最短,所以正確選項(xiàng)為C.

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】θ較大時,sinθ較大,而cosθ較小,二者乘積何時最大,不好確定,但應(yīng)用二倍角公式可以將兩個變化關(guān)系相反的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個三角函數(shù),問題自然就解決了.

1.2 應(yīng)用正弦定理解決物理問題

【知識關(guān)聯(lián)】正弦定理公式

例2如圖1所示,兩個質(zhì)量分別為的小圓環(huán)A、B用不可伸長的細(xì)線連著,套在一個豎直固定的大圓環(huán)上,大圓環(huán)的圓心為O.系統(tǒng)平衡時,細(xì)線所對的圓心角為90°,摩擦力及細(xì)線的質(zhì)量忽略不計(jì),重力加速度大小用g表示,求細(xì)線的拉力大小.

圖1

圖2

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】三力平衡問題,若用正交分解找力的關(guān)系,將力沿水平方向和豎直方向分解,拉力與豎直方向的夾角為75°,不是特殊角,求解起來非常麻煩,而將力合成后,在力的三角形中知道角和對面邊長的關(guān)系,可用正弦定理求解,避免了求解非特殊角三角函數(shù)值這個問題.

1.3 應(yīng)用兩角和差正余弦公式解決物理問題

【知識關(guān)聯(lián)】兩角和差正余弦公式

例3如圖3所示,一質(zhì)量m＝0.4kg的小物塊,在與斜面成某一夾角的拉力F的作用下,沿斜面向上做加速度大小為3m·s－2的勻加速運(yùn)動,已知斜面傾角θ＝30°,物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝,重力加速度g取10m·s－2,則拉力F與斜面夾角多大時,拉力F最小? 拉力F的最小值是多少?

圖3

圖4

2 應(yīng)用二次函數(shù)知識解決物理問題

例4如圖5所示,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直.一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,水平位移最大時對應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)().

圖5

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】部分學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為v1最大時,平拋的水平位移就最大,沒注意到v1越大對應(yīng)的半徑r越小,平拋運(yùn)動的時間就越短,無法確定水平位移x何時有最大值,在這種情況下,借助數(shù)學(xué)工具來幫忙則可有效解題.本題用到了數(shù)學(xué)的二次函數(shù)知識,即當(dāng)x＝－時,y有最大值.

3 應(yīng)用數(shù)學(xué)均值不等式知識解決物理問題

【知識關(guān)聯(lián)】如果a,b為正數(shù),有a＋b≥2ab,當(dāng)a＝b時,上式取“＝”號,則有:1)若兩個正數(shù)的積一定,兩數(shù)相等時,其和最小;2)若兩個正數(shù)的和一定時,兩數(shù)相等,其積最大.

例5在如圖6所示的電路中,閉合開關(guān)S,在滑動變阻器的滑片P由a向b移動的過程中,電壓表示數(shù)怎樣變化?

圖6

解析

數(shù)學(xué)知識在高中物理中有著舉足輕重的作用,能突破應(yīng)用常規(guī)物理方法難以解決的問題,同時,也將數(shù)學(xué)中的抽象思維和邏輯思維應(yīng)用到了物理中,極大提高了學(xué)生的科學(xué)思維,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,端正了學(xué)生的科學(xué)態(tài)度.

(完)