胡東明 周堯

(湖北省武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)(陽邏校區(qū)))

所謂關(guān)聯(lián)速度模型,就是兩個物體通過繩、桿或直接接觸發(fā)生聯(lián)系,求兩物體速度之間的關(guān)系.解決問題的基本方法是微元法,即兩物體在相同的極小時間內(nèi)發(fā)生極小位移,由于繩、桿不可伸長,或直接接觸的物體不可形變,兩物體沿繩、桿或垂直于接觸面方向的分位移相同,即分速度相同.在微元法的基礎(chǔ)上,還可以衍變出效果分解法、瞬時功率法、相對運動法等方法,這些研究方法適用于經(jīng)典物理學(xué)中一般繩、桿和剛體模型.通過對此類問題的研究,可以加深對運動的合成與分解方法的理解.下面舉例分析.

1 繩連接物體模型

用輕繩連接的兩物體,將兩物體的速度沿繩方向和垂直于繩方向正交分解,由于輕繩不可伸長,兩物體沿繩方向速度相同.

例1如圖1 所示,某人站在岸上通過繞過定滑輪的繩子向岸邊拉船,他拉繩子的速率v不變,當(dāng)拉船的繩子與水平面成θ角時,船前進(jìn)的速度u為多大?

圖1

解析

解法1效果分解法

將船的速度u沿繩和垂直于繩兩個方向正交分解,沿繩方向的分速度與人拉繩的速度相同,即ucosθ＝v,解得u＝.

點評

為什么要將船的速度正交分解?船有沿繩斜向上運動和垂直于繩繞定滑輪的接觸點轉(zhuǎn)動的效果.以繩與定滑輪的接觸點為參照物,船在沿繩方向的分速度與繩的速度相同,另一分速度使船繞接觸點順時針旋轉(zhuǎn),即垂直于繩方向.

解法2微元法

如圖2,取極短的時間Δt,在這一小段時間內(nèi),人和船的速度都不變,船從A運動到B,位移為Δx＝uΔt,繩拉過的位移為Δl＝vΔt.這個運動可設(shè)想為由兩個分運動合成:小船先被繩拉過Δl到C點,再隨繩繞滑輪O點做圓周運動到B點.在OA上取OC＝OB,則AC＝Δl,由于時間Δt極短,∠BOC趨近于零.

圖2

點評

微元法很有說服力,能讓學(xué)生從運動的角度很好地理解船速與繩速的關(guān)系.

解法3瞬時功率法

從能量的角度理解,繩既不會提供能量,也不會消耗能量,即繩兩端彈力的瞬時功率大小相等.設(shè)人對繩的拉力和繩對船的拉力大小均為T,人對繩的拉力的瞬時功率大小為P1＝Tv,繩對船的拉力的瞬時功率大小為P2＝Tucosθ,由P1＝P2可解得u＝.

點評

根據(jù)能量守恒,繩或桿連接體間相互作用力的瞬時功率相等.如果中間是用彈簧或橡皮筋連接,由于有彈性勢能變化,兩端連接體間的相互作用力的瞬時功率就不相等了.

例2如圖3 所示,懸線一端固定在天花板上的O點,另一端穿過一張光盤的中央小孔后拴著一個小球,小球靜止時,豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊緣.現(xiàn)將光盤按在桌面上,并沿桌面邊緣以速度v勻速移動,移動過程中,光盤中央小孔始終緊挨桌面邊緣,當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為θ時,小球移動的速度大小為().

圖3

解析

解法1效果分解法

光盤有沿懸線方向斜向下運動和垂直于懸線繞O點轉(zhuǎn)動的效果.將光盤水平向右移動的速度v分解為沿懸線方向的速度和垂直于懸線方向的速度,而小球上升的速度大小與光盤沿懸線方向斜向下的分速度大小相等,為vsinθ,故小球的運動速度大小為,故選項A 正確.

解法2微元法

如圖4 所示,取極短的時間Δt,在這一小段時間內(nèi),光盤和小球的速度都不變,光盤從B點運動到C點,位移為Δx＝vΔt,在OC上取OD＝OB,則小球上升的位移為Δl＝uΔt,u為小球豎直方向的分速度,且CD＝Δl,由于時間Δt極短,∠BOD趨近于零,∠BCD趨近于90°－θ.

圖4

在△BCD中,∠BDC≈90°,CD＝BCcos(90°－θ),即u＝vsinθ.

小球在水平方向與光盤同步,速度為v,故小球的實際速度為水平方向速度v與豎直方向速度u的合成,即為,故選項A正確.

點評

微元法雖然復(fù)雜些,但是能將原理分析得清清楚楚,注意本題只分析出了小球豎直方向的分速度u.由于小球合速度方向不容易分析,因此,本題用瞬時功率法求解難度較大.

例3(多選)(2013年上海卷)如圖5為在平靜海面上,兩艘拖船A、B拖著駁船C運動的示意圖.A、B的速度分別沿著纜繩CA、CB方向,A、B、C不在一條直線上.由于纜繩不可伸長,因此C的速度在CA、CB方向的投影分別與A、B的速度相等,由此可知C的().

圖5

A.速度大小可以介于A、B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A、B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi)

解析

將C的速度沿CA方向和垂直于CA方向正交分解,根據(jù)C的速度在CA、CB方向的投影分別與A、B的速度相等可知,C的速度沿CA方向的分速度等于A的速度,所以C的速度大小一定大于A的速度大小;同樣的,將C的速度沿CB方向和垂直于CB方向正交分解,可知C的速度大小一定大于B的速度大小.故選項A 錯誤,選項B正確.若C的速度方向在CA和CB的夾角范圍外,如圖6-甲所示,將C的速度沿CA方向及垂直于CA方向正交分解,也可以如圖6-乙所示,將C的速度沿CB方向及垂直于CB方向正交分解,這兩種分解都是滿足題意的,故C的速度方向可能在CA和CB的夾角范圍內(nèi),也可能在CA和CB的夾角范圍外,故選項C正確,選項D 錯誤.

圖6

點評

有同學(xué)想當(dāng)然地認(rèn)為將C的速度沿兩繩方向分解,這是不對的.根據(jù)微元法分析可知,這里只能正交分解,即C速度應(yīng)該分別沿著兩繩的方向和垂直于兩繩的方向分解,這是因為從效果上看,C既有沿CA運動和垂直于CA運動的效果,又有沿CB運動和垂直于CB運動的效果,這就是效果分解法.

2 桿連接物體模型

用輕桿連接的兩物體,將兩物體的速度沿桿方向和垂直于桿方向正交分解,由于輕桿不可伸長,兩物體沿桿方向速度相同,垂直于桿方向角速度相同.

例4如圖7所示,一輕桿連接兩個小球A和B(可視為質(zhì)點),在一豎直直角形墻角開始運動,當(dāng)桿與豎直墻壁的夾角為θ時,球B的速度大小為vB,求此時球A的速度大小vA.

圖7

解析

解法1效果分解法

小球A、B分別具有沿桿運動和垂直于桿轉(zhuǎn)動的效果.將vA、vB均沿桿和垂直桿方向分解,由圖8知兩球沿桿方向速度大小相等,即vAcosθ＝vBsinθ,得vA＝vBtanθ.

圖8

解法2相對運動法

以球B為參考系,即假定B球靜止,則A球繞B球做圓周運動.將A球的速度vA沿vB的方向和垂直于桿方向分解如圖9所示,其沿vB方向的分速度與vB相同,由矢量圖可知,vA＝vBtanθ.

圖9

點評

許多同學(xué)認(rèn)為運動的合成與分解一定要正交分解,從這一例子可以看出,不一定要正交分解.同樣的,斜拋運動也可以分解成沿初速度方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動.

例5一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質(zhì)點),將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑,如圖10所示,當(dāng)輕桿到達(dá)位置2時,球A與球形容器球心等高,其速度大小為v1,已知此時輕桿與水平方向成θ＝30°角,球B的速度大小為v2,則().

圖10

解析

解法1效果分解法

小球A、B分別具有沿桿運動和垂直于桿轉(zhuǎn)動的效果.將v1、v2分別沿桿和垂直于桿方向分解,由圖知兩球沿桿方向速度大小相等,即v1sinθ＝v2sinθ,得v1＝v2,故選項C正確.

圖11

解法2相對運動法

以球B為參考系,即假定B球靜止,則A球繞B球做圓周運動.將A球的速度v1沿v2方向和垂直于桿方向分解如圖12所示,其沿v2方向的分速度與v2相同,由矢量圖可知v1＝v2.

圖12

解法3瞬時功率法

如圖13所示,桿對兩球的作用力大小分別為F1和F2,由牛頓第三定律知F1＝F2.兩個力的瞬時功率的大小分別為P1＝|F1v1cos(90°＋θ)|,P2＝F2v2cos(90°－θ),由P1＝P2得v1＝v2.

圖13

例6如圖14所示,一輕質(zhì)細(xì)桿OA長為L,一端可繞固定在水平面上的軸轉(zhuǎn)動,另一端固定一小球A.一高為h的木塊B夾在水平面與細(xì)桿之間,此時桿OA與水平面成θ角,木塊向右的速度為v,求此時A球的速度.

圖14

解析

桿與木塊的接觸點是C點,C點的速度與木塊B的速度相同,如圖15所示,將木塊B的速度沿桿和垂直于桿方向分解,得v1＝vsinθ,v2＝vcosθ,在任意時刻,細(xì)桿OA上各點繞O轉(zhuǎn)動的角速度相同,可得,解得

圖15

點評

桿連接物體在沿桿方向速度相同,垂直于桿方向角速度相同.這就是效果分解法.

例7如圖16 所示,細(xì)桿ABC靠在固定的半圓上,兩者處于同一豎直平面內(nèi),桿的中點B恰好落在半圓上.已知A端沿半圓直徑方向移動的速度大小為vA,試求C端的運動速度大小vC.

圖16

解析

桿A端速度方向已知,此時桿中點B的法向速度為零,合速度方向沿桿方向,如圖17 所示,分別作A、B速度垂線AD和BD交于D點,D點是A、C兩點轉(zhuǎn)動的瞬時圓心,即此時桿AC可認(rèn)為在繞過D點且垂直于紙面的軸做定軸轉(zhuǎn)動,桿上各點的速度方向均垂直于其到D點的連線.由速度公式有vC＝ω×rCD,vA＝ω×rDA,因為△CDB≌△ADB,所以rCD＝rAD,可得vC＝vA.

圖17

點評

若某瞬時剛體上A、B兩點的速度方向已知,且方向互不平行,可分別作兩點速度矢量的垂線,使之交于一點,該點就是剛體轉(zhuǎn)動的瞬時圓心,稱為速度瞬心.

3 物物直接接觸剛體模型

直接接觸的兩物體,由于兩物體不發(fā)生形變,它們在垂直接觸面方向的分速度和分加速度相等,若兩物體在接觸面無相對滑動,則它們沿接觸面的切向分速度相同,反之,則不相同.

例8如圖18所示,一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0向右做直線運動,帶動直桿沿豎直方向上升.桿與柱體的接觸點為P,當(dāng)P點和柱心O點的連線與豎直方向的夾角為θ時,求直桿的速度v.

圖18

解析

解法1效果分解法

桿上P點速度v沿OP方向的分量為vcosθ,柱體上P點的速度為v0,它沿OP方向的速度為v0sinθ,因桿與柱體始終接觸,有vcosθ＝v0sinθ,得直桿的速度v＝v0tanθ.

點評

若兩物體運動過程中是直接接觸,則兩物體在垂直接觸面方向的分速度和分加速度相等,否則兩物體將分離或形變.至于沿接觸面的切向是否有相同的分速度,則取決于兩物體在該方向上有無相對滑動,若沿接觸面切向沒有相對滑動,則接觸雙方將具有完全相同的分速度.

解法2相對運動法

以柱體為參考系,桿的速度沿切線向上,將桿的速度分解如圖19所示.其水平分速度與柱體速度相同,另一分速度v1沿切線向上.由矢量圖得,直桿的速度v＝v0tanθ.

圖19

解法3瞬時功率法

圖20

設(shè)桿向上的速度為v,彈力FN對桿做功的瞬時功率大小為P1＝FNvcosθ,柱體克服彈力做功的瞬時功率大小為P2＝|0cos(90°＋θ)|,由P1＝P2得v＝v0tanθ.

4 小結(jié)

求解關(guān)聯(lián)速度的方法一般有效果分解法、微元法、瞬時功率法,其中分解法主要基于繩或桿不可伸長,故沿繩或桿方向的分速度相同;微元法原理充分,但是相對復(fù)雜;瞬時功率法的根據(jù)是能量守恒定律,兩連接體間的相互作用力的瞬時功率大小相等.當(dāng)涉及桿轉(zhuǎn)動問題時,要找到轉(zhuǎn)動的瞬時圓心,桿上各點相對于圓心的角速度相同.直接接觸的兩物體沿接觸面法向的分速度必定相同,沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時亦相同.

(完)