201106 上海外國語大學閔行外國語中學 葉慧勤

高中新課程、新教材的改革堅持“以學生發(fā)展為本”的教育理念，該理念強調(diào)學生在教學中的主體性、參與性

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數(shù)學家波利亞說：“問題是數(shù)學的心臟

.

”問題的研究就是數(shù)學研究的核心內(nèi)容，正如康托爾所說：“‘提出問題’的重要性遠比‘解答問題’的重要性高

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”根據(jù)建構(gòu)主義理論，學習的主動性是掌握知識的一個重要的前提條件，可見，激發(fā)學生的數(shù)學學習動機是非常重要的

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充分利用數(shù)學問題讓學生參與到數(shù)學習題的編制過程中，能夠調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性、主動性，從而激發(fā)學生高質(zhì)量完成學習任務(wù)的動機，可以讓學生從學習準備到學習過程再到學習反饋各個環(huán)節(jié)都能積極能動地進行，使學生在數(shù)學學習過程中真正達到高效學習的狀態(tài)

.

引導學生進行編題也可以培養(yǎng)他們深度學習的習慣

.

深度學習是一個動態(tài)的學習過程，需要不斷總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵特征，由此發(fā)現(xiàn)問題的本源，把握問題的本質(zhì)

.

引導學生發(fā)掘編題的樂趣，與學生一起探究編題策略是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力的有效做法

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學生參與編題就是在數(shù)學學習過程中，根據(jù)所學的概念、公式、法則、方法的理解，在給出某個數(shù)學對象(如數(shù)字、圖表等)的基礎(chǔ)上，進行再加工、再創(chuàng)造，用文字語言進行數(shù)學建模，編擬數(shù)學問題

.

在這樣的學習過程中，教師引導學生善于把握數(shù)學問題本質(zhì)，實現(xiàn)知識的有效建構(gòu)，學會從數(shù)學角度思考問題，這種深度學習讓學生感受數(shù)學魅力，教師與學生一起合作探究，在編題策略視角下，構(gòu)建數(shù)學深度學習課堂

.

筆者在高三教學中嘗試設(shè)計了引導學生編題的兩節(jié)單元系列課，遵循“以學生為主體，教師是數(shù)學課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，教師在教學中采用啟發(fā)式教學法，學生采用探究式學習法，在教師引領(lǐng)下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗探究之旅

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一、 創(chuàng)設(shè)導學情境，促進自主發(fā)展

創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑的問題情境，引導學生在模仿中編題

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筆者在一節(jié)數(shù)列復(fù)習課上進行了探究式編題教學的初探，學生思維的廣度和創(chuàng)造力超出筆者的想象

.

在復(fù)習完等差數(shù)列的通項和性質(zhì)后，筆者引導學生根據(jù)等差數(shù)列的定義和遞推關(guān)系，變差為和，即“若在一個數(shù)列中，如果從第二項開始，每項與它前一項的和都為同一個常數(shù)”，學生將其自定義為“等和數(shù)列”

.

這樣的“等和數(shù)列”具備怎樣的性質(zhì)？提出質(zhì)疑后，學生模仿等差數(shù)列，自編了如下一道題

.

編題1.1

已知在探究等差數(shù)列時，學生通過枚舉的方法發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律，同理，學生枚舉出這個“等和數(shù)列”的規(guī)律2,3,2,3,…,猜想此數(shù)列周期為2

.

接著學生模仿周期函數(shù)的證明來證明這個數(shù)列的周期性，即

n

≥3時，

a

+

a

-1=

a

-1+

a

-2=5,得

a

=

a

-2,即周期為2

.

又

a

+

a

=5,

a

=2，可得

a

=3，從而通項學生模仿等差數(shù)列的概念變差為和，自定義出“等和數(shù)列”，用研究等差數(shù)列的方法研究出“等和數(shù)列”的規(guī)律，還有學生自發(fā)將“求通項

a

”改為“求前

n

項和

S

”

.

在筆者的引導下，學生自編自解，參與課堂教學的主動性和積極性被調(diào)動了起來

.

課堂進行到這里，筆者預(yù)設(shè)會有學生主動類比等比數(shù)列的特征，變比為積，自定義“等積數(shù)列”，果然有學生自編了如下題目

.

編題1.2

已知

該生模仿以上研究方法得到

在這節(jié)課中，有三個小組的創(chuàng)造力超出筆者的想象

.

小組1

學生的總結(jié)如下

.

編題1.3

類似為常數(shù)(

a

、

c

為常數(shù))的數(shù)列都是周期為2的數(shù)列

.

小組1成員從特殊解題方法推廣到一般規(guī)律，學生邊思考邊歸納，探究問題的本質(zhì)

.

小組2

生1：若滿足遞推關(guān)系

a

-1+

a

=

a

+1(

n

≥2,

n

∈

N

), 即

a

+

a

-1不是常數(shù)，如何解決？生2：這是一個二階遞推關(guān)系，需要已知前兩項的值才能將這個數(shù)列確定下來，以如下題目為例

.

編題1.4

已知著名的斐波那契數(shù)列求

a

.

可用特征根法或數(shù)學歸納法求這個數(shù)列的通項

a

, 用數(shù)學歸納法證明就是先求出此數(shù)列的前幾項值為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…, 歸納出通項公式再證明得生2的推導過程讓筆者感嘆學生思維的深度，但更讓筆者嘆服的是生2知識面的寬廣

.

斐波那契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”，這是因為斐波那契以兔子繁殖數(shù)為例子引入此數(shù)列

.

數(shù)列中，當

n

趨向無窮大時，前一項與后一項的比值越來越逼近黃金比例0

.

618，所以也稱黃金分割數(shù)列

.

此數(shù)列在自然界有很廣泛的體現(xiàn)，有許多花的花瓣數(shù)就遵循斐波那契數(shù)列規(guī)律，譬如雛菊、百合花、蝴蝶花等

.

為什么這些花朵的花瓣數(shù)會與此數(shù)列如此巧合呢？或許這既是自然界長期進化的結(jié)果，也是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它可以令種子排列疏密得當，不至于圓心處擠太多種子，而在圓周處卻又稀稀拉拉

.

此時已有很多學生對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生興趣，筆者馬上布置了一項探究性作業(yè)，請學生探究斐波那契數(shù)列在金融、藝術(shù)、美學、生物、科技等領(lǐng)域的運用，以小組為單位整理成調(diào)查報告

.

學習小組2的成員不僅將所學內(nèi)容進行遷移，同時學以致用，在生活中體會數(shù)學思維之美

.

小組3

小組3在生1提出的遞推關(guān)系上進行改編

.

編題

馬上有學生用“等和數(shù)列”的研究方法枚舉并證明

a

是周期為6的數(shù)列，其中前6項為1,1,0,-1,-1,0

.

這節(jié)課進行到此，學生的學習熱情和積極性已達到飽和

.

學生在模仿中編題，不僅填補了對數(shù)學知識的理解漏洞，也在改編過程中體悟到研究問題的一般方法，獲得成長與成功的體驗，增強數(shù)學學習的信心與興趣

.

這種自主教育是以“生趣”為導向的自主發(fā)展，筆者引領(lǐng)學生開始感受數(shù)學深度學習的樂趣

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二、創(chuàng)設(shè)樂學情境，促進深度學習

創(chuàng)設(shè)真實情境，以優(yōu)質(zhì)主問題驅(qū)動，讓學生樂學善思、悟?qū)W省思

.

筆者在復(fù)習數(shù)列章節(jié)時嘗試了探究式編題教學后，又進行了第二次嘗試，設(shè)計的數(shù)學學習活動從“解題”走向“解決問題”

.

高中數(shù)學教學中有許多可以運用類比法進行變式的知識點，如由等差數(shù)列類比到等比數(shù)列、由橢圓類比到雙曲線、由特殊類比到一般、由平面圖形類比到立體圖形等

.

教師可以引領(lǐng)學生通過類比現(xiàn)有問題進行整理歸納，從而推廣出合理的新問題

.

相對于解題而言，學生參與編題實際操作難度更大一些，更需要舉一反三、模擬創(chuàng)新的能力

.

教師可引導學生運用類比法、等價變換法、只換條件、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、條件結(jié)論互換、弱化條件、強化條件等方法進行編題

.

筆者在第一課時結(jié)束時羅列了涉及函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量、立體幾何等章節(jié)的適合改編的五道例題，讓學生利用小組合作的學習方式，對選中的例題進行改編，學生亦可自己選擇合適的題目進行改編

.

在第二課時，學生從“解題”走向“解決問題”，解決問題的過程就是主動探究事物本質(zhì)、體會數(shù)學建模的過程

.

筆者從小組提出的改編方案中選出一個作為第二課時教學內(nèi)容，真正實現(xiàn)教學內(nèi)容從學生中來回到學生中進行探究解決的教學路徑

.

筆者通過不同章節(jié)的課堂讓學生體驗編題的樂趣，體會探究問題本質(zhì)的成功感，學生通過變式讓同一事物呈現(xiàn)多樣性，進而找出事物的本質(zhì)特征

.

原題由筆者提供，課前筆者與學習小組的五位學生一起討論，迸發(fā)思維的火花，學生通過改變敘述角度、改變解題視角、改變設(shè)問方向、創(chuàng)設(shè)變靜為動的問題情境等策略對例題進行改編

.

原題

已知函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

ax

+

b

, 存在實數(shù)

x

, 且有|

x

|≥3, 使得

f

(

x

)=0, 則

a

+

b

的最小值是________

.

生3的解法不同于常規(guī)的直接法，他的解題視角是分析轉(zhuǎn)換法，將關(guān)于

x

的一元二次方程轉(zhuǎn)換成關(guān)于變量(

a

,

b

)的直線

l.

生3通過此轉(zhuǎn)換，換一個角度解決問題，另辟蹊徑，將繁復(fù)冗長的解題思路變得簡潔明了，具體思路如下

.

將一元二次方程

f

(

x

)=

x

+

ax

+

b

=0轉(zhuǎn)換成經(jīng)過點

A

(

a

,

b

)的直線

l

:

x

·

a

+1·

b

+

x

=0，此時原問題轉(zhuǎn)換成原點到這條直線

l

上的距離的平方的最小值問題

.

即令在

t

∈[10,+∞)嚴格單調(diào)遞增,

t

=10時,故

a

+

b

的最小值是在筆者的引導下，生4小試牛刀，改變敘述角度編題，盡管闡述方式不同，但本質(zhì)不變，所以此類改編對解題過程沒有影響

.

編題2.1

已知函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

ax

+

b

，函數(shù)

f

(

x

)在(-∞,-3]∪[3,+∞)上存在零點，則

a

+

b

的最小值是________

.

生4改編的此題只要從函數(shù)零點的概念入手，就可以得到原題的條件，答案不變，這是用等價變換法編題

.

生5的改編幅度更大一些，改變了設(shè)問方向，他改編的題目如下

.

編題2.2

已知條件不變，則

a

+4

b

的最小值是________

.

設(shè)

z

=

a

+(2

b

), 點

A

(

a

,2

b

), 此時將方程

f

(

x

)=

x

+

ax

+

b

=0, 轉(zhuǎn)換成變量為(

a

,2

b

)的直線解題思路類似生3求最值的方法

.

生5改編的編題2

.

2的解題思路與原題中生3解題思路涉及的方法都是分析轉(zhuǎn)化法，即將方程看成關(guān)于過點(

a

,

b

)的直線

l

或過點(

a

,2

b

)的直線

l

的方程，所求問題轉(zhuǎn)化為原點到直線

l

或

l

距離的平方的最值問題，從而達到消元的目的

.

編題2

.

2改變問題的設(shè)問方向，只是將原題中變量為(

a

,

b

)的直線

l

轉(zhuǎn)化成變量為(

a

,2

b

)的直線

l

.

教師總結(jié)1：

正因生3、生5發(fā)現(xiàn)了此類題解法的本質(zhì)，才能通過解題思路和規(guī)律來建構(gòu)編題2

.

2的條件，這展現(xiàn)出他們思維的廣闊性和深刻性

.

生6和生7的改編方向是創(chuàng)設(shè)變靜為動的問題情境

.

生6改編得到的題目如下

.

編題2.3

已知條件不變，則

a

+(

b

-3)的最小值是________

.

生7改編得到的題目如下

.

編題2.4

已知函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

ax

+(

b

-3), 存在實數(shù)

x

, 且有|

x

|≥3, 使得

f

(

x

)=0, 則

a

+(

b

-3)的最小值是________

.

生6是將結(jié)論“求

a

+

b

”改編成“求

a

+(

b

-3)”,若設(shè)點

A

(

a

,

b

),生6在生3解題思路基礎(chǔ)上將原點

O

(0,0)向上平移至

P

(0,3),則問題轉(zhuǎn)換為

P

(0,3)到直線

l

:

x

·

a

+1·

b

+

x

=0的距離的平方,接下來的解法類似于生3

.

與原題相比，生7的改編在條件中將方程

f

(

x

)=0, 轉(zhuǎn)換成直線在結(jié)論中原問題轉(zhuǎn)換成點

P

(0,3)到直線

l

的距離的平方，這里同條件中的平移方向一樣，原點盡管條件與結(jié)論都創(chuàng)設(shè)了變靜為動的情境，但已知與所求的幾何圖形都在原題基礎(chǔ)上同時向上平移了3個單位，所以答案與生3一樣

.

生7是從幾何圖形平移的角度化歸，亦可以從代數(shù)方法化歸，可設(shè)

b

-3=

B

，則此題即為“已知函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

ax

+

B

，存在實數(shù)

x

，且有|

x

|≥3，使得

f

(

x

)=0，則

a

+

B

的最小值是________

.

”轉(zhuǎn)化為原題，得答案為

教師總結(jié)2：

生6、生7用“形”改編好題目后，不僅能用“形”來解決，亦可用“數(shù)”來解決，變靜態(tài)為動態(tài)，以基本圖像為“基準點”，通過基本圖形的運動將問題轉(zhuǎn)換成更一般的問題，開闊解決問題的視野，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)

.

在原題基礎(chǔ)上，生6、生7化靜為動進行自編自答的過程，已經(jīng)從繁復(fù)的具體事物中抽象出事物的本質(zhì)

.

同學們運用編題策略進行改編的學習狀態(tài)遠遠超出預(yù)設(shè)教學目標，這才是真正的學以致用、活學活用

.

筆者設(shè)計的上述兩節(jié)課，第一節(jié)課是設(shè)計好教學流程，通過類比等手段使學生在熟悉的等差、等比數(shù)列上進行模仿編題

.

第二節(jié)課是學生小組成員從筆者上節(jié)課結(jié)束時所給的例題中選出一題進行改編，通過交流的方式展示不同學生的想法

.

等價變換法、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、變靜為動這四種改編形式的運用體現(xiàn)學生由淺入深、由靜態(tài)到動態(tài)的探究過程

.

學生深度學習的效果遠遠超出筆者的想象，學生親歷探究過程，自編自答，通過弱化條件實現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，從而歸納出問題的一般解決規(guī)律

.

學生積極主動地進行有效思考，探究問題的本質(zhì)，真正實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變

.

這兩節(jié)課是以“生趣”為導向的自主發(fā)展系列課程，實踐證明，筆者設(shè)計合理有效、層層推進的教學情境，運用小組合作的方式既調(diào)動學生的好奇心和探究積極性，又促進學生形成良好的數(shù)學思維能力，表達自身的見解和看法

.

筆者將整個學習內(nèi)容、學習進程都置于情境之中，引發(fā)學生思考和探究的欲望，率先激活學生的學習主動性，逐步培育學生的抽象思維和邏輯思維，達到深度學習的效果

.

以往教師習慣呈現(xiàn)給學生的數(shù)學問題往往是封閉式的結(jié)構(gòu)良好問題，條件不多也不少，答案唯一且確定，這樣會讓學生囿于定向思維，囿于解決常規(guī)的、程式化的數(shù)學問題，不善于解決復(fù)雜的、開放性的真實問題

.

這兩節(jié)編題課讓學生完整經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—通過改編發(fā)現(xiàn)新思維—解決更廣泛的一類問題—發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和問題本質(zhì)”，這樣的深度探究學習過程適當引入具有開放性的結(jié)構(gòu)不良問題，引導學生全面、客觀、辯證地分析解決問題，不斷發(fā)展學生的實踐性反思、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力

.

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不變也

.

”這句話強調(diào)的就是深度探究、深刻理解的重要性

.

越是上位的思維越貼近問題的本質(zhì)，遷移性越寬廣

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更重要的是學生的潛力是巨大的，例如第二節(jié)課中學生小組成員的創(chuàng)造力遠遠超乎想象

.

通過引導學生編擬數(shù)學問題，這種動態(tài)生成的課堂把問題引向深入的研究過程，這是從一個簡單的問題出發(fā)逐步演繹、深化的過程，是學生主動探究創(chuàng)新的過程

.

學生通過小組合作編題講題，不僅在曼妙的演變中體會學習數(shù)學的快樂，促進知識理解，同時深度探究數(shù)學問題本質(zhì)，發(fā)掘其隱含的數(shù)學思想

.

教師通過探究式編題教學構(gòu)建數(shù)學深度學習課堂，在學生自編、自解、自講的過程中，其數(shù)學核心素養(yǎng)也得到培養(yǎng)和提高，這樣的課堂才是學生自我生長、指向深度學習的課堂

.