張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學 255300)

時翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學 255300)

筆者近來研究2021年南通市中考試題第25題時，發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對稱”為背景，漸次生長，思路開闊，是一道值得回味的題目，特撰文與大家交流．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，正方形

ABCD

中，點

E

在邊

AD

上(不與端點

A

，

D

重合)，點

A

關(guān)于直線

BE

的對稱點為點

F

，連結(jié)

CF

，設(shè)∠

ABE

=

α

．

圖1

(1)求∠

BCF

的大小(用含

α

的式子表示)；(2)過點

C

作

CG

⊥

AF

，垂足為

G

，連結(jié)

DG

．判斷

DG

與

CF

的位置關(guān)系，并說明理由；(3)將△

ABE

繞點

B

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△

CBH

，點

E

的對應點為點

H

，連結(jié)

BF

，

HF

．當△

BFH

為等腰三角形時，求sin

α

的值．

2 思路突破

2.1 基于對稱變換，構(gòu)造對稱圖形

如圖2，本題第(1)問從已知出發(fā)，由于點

A

、點

F

關(guān)于直線

BE

對稱，基于軸對稱變換，我們不妨連結(jié)

BF

，從而構(gòu)造出對稱圖形，可得

AB

=

BF

=

BC

，∠

ABE

=∠

FBE

=

α

，此時∠

FBC

=90°-2

α

．在等腰三角形

BCF

中，易得

2.2 導角突破難點，多維角度探尋

如圖2，對于第(2)問，學生可以直觀判斷出

DG

與

CF

的位置關(guān)系，但如果要說明理由，對大多數(shù)學生來說有一定的難度，此時題目已經(jīng)進入寬進難出的環(huán)節(jié)．那么突破的方向在哪里呢？在此問中，有一個“知識坎”很多學生未能逾越，導致問題探究無法進行到下一步

.

在這里我們有必要細細品味一下：在圖2中，很多學生憑直觀猜測出了△

CGF

是等腰直角三角形，但一直無法說明∠

AFC

=135°(這里考查了學生利用帶有字母的角的導角能力)．如圖3，基于前面的分析我們可以得到∠

AFB

=90°-

α

，∠

BFC

=∠

BCF

=45°+

α

，所以可得∠

AFC

=∠

AFB

+∠

BFC

=90°-

α

+45°+

α

=135°．從而可以看到，盡管點

F

的位置是變化的，但∠

AFC

始終是一個定角．那該問題的本質(zhì)在哪里？因為

BA

=

BF

=

BC

，所以點

F

在以點

B

為圓心、

BA

為半徑的圓上運動，根據(jù)定弦對定角，可知∠

AFC

始終為135°．解決了這一問題，就為后面的探究做好了鋪墊．

圖3

思路1 如圖4，從構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似三角形的角度，連結(jié)對角線

AC.

在△

CGD

與△

CFA

中，因為∠

ACD

=∠

FCG

=45°，所以∠

ACF

=∠

DCG.

又有可得△

CGD

∽△

CFA

，即∠

CGD

=∠

CFA

=135°，故∠

DGA

=45°，∠

CFG

=∠

DGA

=45°，從而

DG

∥

CF

．

圖4 圖5

思路2 如圖5，從“8”字相似三角形的角度，連結(jié)對角線

AC.

因為∠

AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以△

AMD

∽△

CMG

，可得即又因為∠

AMC

=∠

DMG

，所以△

DMG

∽△

AMC

，即∠

DGA

=∠

ACM

=45°，故∠

CFG

=∠

DGA

=45°，從而

DG

∥

CF

．思路3 如圖6，從點共圓的角度，連結(jié)對角線

AC.

因為∠

ADC

=∠

AGC

=90°，所以點

A

，

D

，

G

，

C

在以

AC

中點

O

為圓心、

OA

為半徑的圓上．在同圓中，可得∠

DGA

=∠

ACD

=45°，即∠

CFG

=∠

DGA

=45°，故

DG

∥

CF

．

圖6 圖7

思路4 如圖7，從構(gòu)造全等三角形角度來思考，在

AG

上截取

AH

=

CG.

因為∠

AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以∠

DAH

=∠

DCG

．又有

AD

=

CD

，所以△

DAH

≌△

DCG

，可得∠

ADH

=∠

CDG

，

HD

=

GD

．因為∠

ADH

+∠

HDM

=90°，所以∠

HDG

=90°，此時△

HDG

是等腰直角三角形，故∠

DGH

=45°，即∠

CFG

=∠

DGH

=45°，從而

DG

∥

CF

．

2.3 始于分類討論，終于轉(zhuǎn)化分析

第(3)問以旋轉(zhuǎn)為背景，重點考查了分類討論的思想．本題的難度還是在分類后的驗證上，對學生的說理能力要求較高．如圖8，對于△

BFH

為等腰三角形，我們考慮：①當

BF

=

BH

時，由于△

BAE

≌△

BCH

，所以

BH

=

BE

，又因為

BA

=

BF

，這時出現(xiàn)了

BE

=

BA

，在Rt△

BAE

中是不可能的，顯然這種情況不存在．②當

BF

=

HF

時，∠

FBH

=∠

FHB

=90°-

α

，可得∠

BFH

=2

α

，由于∠

ABF

=2

α

，所以此時

AB

∥

FH

，即點

F

與點

C

要重合，則需要點

E

運動到點

D

，與題意不相符，因此這種情況也不存在．相比第①種情況的驗證，第②種情況的驗證要求學生進行適當?shù)耐评碚f明，綜合性較強．結(jié)合上述分析，只有一種可能是

BH

=

FH

，此時解決問題的方向又在哪里？

圖8

如圖8，基于△

BHF

是等腰三角形，我們最基本的想法就是作等腰三角形底邊

BF

上的高

HM

，可得因為∠

MBH

=∠

AEB

=90°-

α

，∠

BMH

=∠

EAB

=90°，

BE

=

BH

，所以△

BAE

≌△

HMB

，從而

MB

=

AE

，即在Rt△

BAE

中，設(shè)

AE

=

m

，則

AB

=2

m

，由勾股定理可得所以以上分析是基于對△

BFH

的思考，也是最基本、最容易想到的，但難度在于容易想到卻難深入下去，特別是面對變化的等腰三角形

BFH

，很多學生會感到束手無策．那么我們能否把△

BFH

轉(zhuǎn)化到和它全等的一個三角形中去研究呢？如圖8，基于已有條件

BE

=

BH

，

BF

=

BC

，∠

EBC

=∠

FBH

=90°-

α

，我們可以連結(jié)

EC

，易得△

BFH

≌△

BCE

，這樣我們就可以對△

BCE

進行討論：很明顯

BE

=

BC

和

CE

=

BC

這兩種情況都不成立，只有

EB

=

EC

，而此時點

E

為

AD

的中點，易得這種思路也是本題的精彩之處，利用全等改變研究對象，是轉(zhuǎn)化思想的一種集中體現(xiàn)．

3 深入思考

對于上述問題的解答，思維的起點又在哪里？第(2)問的思路1是構(gòu)造相似三角形，如圖4，由于等腰Rt△

FGC

繞點

C

按一定比例放縮旋轉(zhuǎn)得到等腰Rt△

ADC

，在這一過程中，這一關(guān)系式保持不變，必然存在另一對相似的三角形．我們再把圖形拓展到一般情況，如果△

ADE

∽△

ABC

，連結(jié)

BD

，

CE

，則會得到△

ADB

∽△

AEC

(圖9)，這也是旋轉(zhuǎn)相似的成對存在性．

圖9

第(2)問的思路2是基于“8”字相似的成對存在性，如圖5，若△

ADM

∽△

CGM

，則必有△

DMG

∽△

AMC

，本身構(gòu)成這樣相似的點

D

，

G

，

A

，

C

與思路3的四點共圓是一致的．第(3)問的第二種思路如同神來之筆，連結(jié)

EC

，構(gòu)造的其實是一對具有對稱性的全等三角形，△

BFH

≌△

BCE

，并且關(guān)于直線

BN

成軸對稱(圖10)．基于圖形的對稱，聯(lián)想到全等，這其實就是一種發(fā)現(xiàn)對稱美的過程．

圖10 圖11

基于本題圖形的變化，我們考慮再進行一下變式的生長：原題點

E

在線段

AD

上運動，我們讓點

E

在射線

AD

上運動，其他條件保持不變，此時仍然可以得到

DG

∥

CF

(圖11)．

簡析

盡管圖形改變了，但是我們探究的思路仍然可以延續(xù)，這也是數(shù)學變化中的不變．此時∠

ABE

=

α

，基于點

A

、點

F

關(guān)于

BE

對稱，連結(jié)

BF

，可得

AB

=

BF

，

BC

=

BF

，△

ABF

與△

BCF

是等腰三角形，此時∠

CFG

=∠

BFC

-∠

BFA

=135°-

α

-(90°-

α

)=45°，因此△

CFG

是等腰直角三角形．連結(jié)

AC

，因為△

CFG

∽△

CAD

，由旋轉(zhuǎn)相似的成對性，可得出△

DCG

∽△

ACF

，所以∠

DGC

=∠

AFC

=∠

FCG

=45°，即

DG

∥

CF

．

圖12

當然本題還有其他方法，這里不再贅述．現(xiàn)在我們改變對稱點，繼續(xù)思考一下．如圖12，作點

C

關(guān)于

BE

的對稱點

F

，連結(jié)

BF

，作

AG

⊥

FC

，垂足為

G

，連結(jié)

DG

，求證：

DG

∥

AF

．這里通過推導角度仍然可得△

AGF

為等腰直角三角形，連結(jié)

AC

，此時△

AGF

與△

ADC

是相似的等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)相似的成對性，還可以得出△

DAG

∽△

CAF

，進而問題可以突破．我們讓該問題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長．如圖13，正方形

ABCD

中，點

E

在邊

AD

上(不與端點

A

，

D

重合)，點

C

關(guān)于直線

BE

的對稱點為點

F

，連結(jié)

CF

，

BF

，同時連結(jié)

FA

，

BE

并分別延長交于點

G

，連結(jié)

DG

，設(shè)∠

ABE

=

α

．(1)求∠

BGF

的大??；(2)猜想

DG

與

AF

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

簡析

對于第(1)問，通過在等腰三角形△

BCF

與△

ABF

中進行角度的轉(zhuǎn)換，不難得出∠

BGF

的大小始終為45°，下面重點談一下第(2)問．如圖13，基于點

C

與點

F

關(guān)于

BE

成軸對稱，我們從構(gòu)造對稱圖形的角度連結(jié)

CG

，可得

FG

=

CG

，∠

BGF

=∠

BGC

=45°，△

FGC

為等腰直角三角形．此時再連結(jié)對角線

AC

，出現(xiàn)了相似的等腰Rt△

FGC

與Rt△

ADC

，易得所以△

ACF

∽△

DCG

，即

圖13 圖14

當然，該題也可以從全等角度入手．如圖14，基于△

ABF

為等腰三角形，作

BM

⊥

AF

，垂足為

M

，再過點

D

作

DH

⊥

AG

，垂足為

H

，此時易得△

BMA

≌△

AHD

，可得

AM

=

DH

，

BM

=

AH

．又

MG

=

BM

，故可得

AM

=

GH

=

DH

，從而△

GHD

為等腰直角三角形，即

4 教學反思

4.1 重視基本圖形滲透，強化識圖能力

基本圖形是復雜圖形組成的基本元素，主要包括教材上的基本事實和定理及其推論，以及在平時教學中獲得的一些典型圖形．學生之所以解題時沒有思路，關(guān)鍵就是沒有從復雜的圖形里把基本圖形抽取出來．正如2021南通市中考第25題，其中蘊含的基本圖形非常多，例如旋轉(zhuǎn)相似的成對存在性，以及“8”字型相似的成對性、四點共圓等，如果學生沒有較強的識圖能力，是很難突破問題的．因此，教師在平時的教學中要為學生及時總結(jié)和提煉一些基本圖形，對其應用條件和基本結(jié)論要熟悉．這里要特別注意一點，千萬不能讓學生死記，而要引導學生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件，找到問題的核心，回歸到書本上最基本的定義和定理，這樣才能真正實現(xiàn)基本圖形與數(shù)學概念的有效結(jié)合．只有這樣潛移默化地不斷滲透，學生才能逐步形成基本圖形分析觀念，在面對幾何問題時，主動尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形，運用其來解決問題．

4.2 突出幾何變換引領(lǐng)，積累構(gòu)圖經(jīng)驗

初中的圖形變換分為兩種，一種是全等變換，主要包含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，另一種是相似變換，指的是相似與位似，新課標也特別提倡讓圖形運動起來，讓學生在運動中發(fā)現(xiàn)不變．然而實際情況是，學生仍然習慣于靜態(tài)地去思考問題，這導致他們不能深入問題的本質(zhì)．比如南通這道中考題，以正方形作為背景，正方形本身就是軸對稱和中心對稱圖形，從點

A

與點

F

關(guān)于直線

BE

對稱入手，引導學生構(gòu)造對稱圖形，然后通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問題的主線，繼續(xù)生長，第(3)問基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類思考，最終呈現(xiàn)了一對對稱性的全等三角形．可以說本題始于軸對稱，發(fā)展于旋轉(zhuǎn)，最終止于軸對稱，整個解答的過程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng)．因此，在平時的教學中，教師要多引導學生從幾何變換的視角來分析幾何圖形，通過這種運動的觀點構(gòu)造出準確的圖形，這樣學生就會站在更高的高度來認識幾何圖形．長此以往，可以讓學生養(yǎng)成從幾何變換的視角來審視幾何問題的習慣，促進學生數(shù)學素養(yǎng)和解題能力的提升．