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        問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)在微課設(shè)計(jì)中的應(yīng)用探究
        ——以“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”為例

        2022-04-21 14:20:26王禹桐孔德宏云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院650500
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
        關(guān)鍵詞:拋物線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)

        王禹桐 孔德宏 (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

        微課作為“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的新產(chǎn)物,在信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的應(yīng)用中起到了一定的推進(jìn)作用,近年來(lái)受到了教育界的廣泛關(guān)注

        .

        值得注意的是,微課不單純是課堂教學(xué)的片段,也不僅僅是錄制教師講解知識(shí)點(diǎn)的視頻,由于缺乏實(shí)際課堂的互動(dòng)環(huán)節(jié),微課設(shè)計(jì)更需要注重啟發(fā)性和趣味性

        .

        2021年5月,由中國(guó)教育技術(shù)協(xié)會(huì)微格教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)主辦、廣西師范大學(xué)承辦的第十屆“華文”全國(guó)師范生數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能力線(xiàn)上測(cè)試與展示交流活動(dòng)采取“線(xiàn)下微課設(shè)計(jì)+線(xiàn)上直播教學(xué)”的方式進(jìn)行

        .

        筆者有幸參與了此次活動(dòng),在微課設(shè)計(jì)中采用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式,借助物理情境創(chuàng)設(shè)問(wèn)題,利用問(wèn)題串幫助分析問(wèn)題,將物理情境抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,層層遞進(jìn),最后以解決問(wèn)題為終點(diǎn)

        .

        1 教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)分析

        1.1 內(nèi)容分析

        本次微課內(nèi)容為“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”,選自人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)(選擇性必修)第一冊(cè)第三章《圓錐曲線(xiàn)的方程》的閱讀與思考部分,屬于數(shù)學(xué)拓展課程

        .

        學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了圓錐曲線(xiàn)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí),并且結(jié)合實(shí)例學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì),熟悉“問(wèn)題導(dǎo)入—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—總結(jié)”這一教學(xué)流程,為本節(jié)課學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)

        .

        1.2 教學(xué)目標(biāo)

        (1)掌握并證明拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)

        .

        (2)通過(guò)觀察、分析、探究等學(xué)習(xí)方式,經(jīng)歷將手電筒射出平行光線(xiàn)這一物理情境抽象為數(shù)學(xué)命題的過(guò)程,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

        .

        (3)從問(wèn)題抽象再到實(shí)際應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系

        .

        2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

        2.1 問(wèn)題導(dǎo)入

        一個(gè)小電珠的光線(xiàn)是向四周發(fā)散的,將小電珠放入到手電筒后,發(fā)散的光線(xiàn)變成了一段明亮的平行光束

        .

        問(wèn)題1 為什么會(huì)出現(xiàn)如此神奇的現(xiàn)象?

        經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),手電筒前端是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面,即由拋物線(xiàn)繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面

        .

        追問(wèn) 同學(xué)們能否結(jié)合我們之前所學(xué)的拋物線(xiàn)的知識(shí)解釋該現(xiàn)象?

        設(shè)計(jì)意圖

        結(jié)合生活實(shí)際,通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示提出問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生探索未知的欲望,啟發(fā)學(xué)生思考

        .

        2.2 分析問(wèn)題

        問(wèn)題1 要研究這一物理情境,能否類(lèi)比橢圓、雙曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程將它抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題呢?

        討論 忽略物體的大小、質(zhì)地、薄厚,近似認(rèn)為手電筒前端是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物鏡面,小電珠也近似為一個(gè)點(diǎn)光源,光線(xiàn)的傳播路徑用直線(xiàn)代替

        .

        問(wèn)題2 要研究這一空間問(wèn)題,能否將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面問(wèn)題?

        討論 作一個(gè)經(jīng)過(guò)小電珠及旋轉(zhuǎn)拋物鏡面頂點(diǎn)的軸截面,與旋轉(zhuǎn)拋物面相交的曲線(xiàn)即為拋物線(xiàn),這樣我們就只需研究在該平面內(nèi)的拋物線(xiàn)的性質(zhì)即可

        .

        問(wèn)題3 初中物理里,光線(xiàn)被光滑的平直鏡面反射的實(shí)驗(yàn)中反射角等于入射角

        .

        光線(xiàn)如何被這里的“曲線(xiàn)”鏡面所反射?

        問(wèn)題4 如何證明這個(gè)命題?

        設(shè)計(jì)意圖

        通過(guò)實(shí)物轉(zhuǎn)圖形、空間轉(zhuǎn)平面,再到“翻譯”反射這一過(guò)程,層層遞進(jìn),讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出命題

        .

        抽象過(guò)程中運(yùn)用了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想

        .

        2.3 解決問(wèn)題

        證明“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),因此我們既要有通性通法的教學(xué),也要有能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

        .

        本次教學(xué)中的解析法和幾何法從不同方向出發(fā),對(duì)命題進(jìn)行了完備的證明

        .

        作出拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)

        P

        處的切線(xiàn)

        l

        ,證明:

        PM

        平行于

        x

        軸(圖1)

        .

        圖1

        問(wèn)題1 已知∠1=∠2,如何證明射線(xiàn)

        PM

        平行于

        x

        軸?

        問(wèn)題2 我們還能用什么方法來(lái)證明這一命題?

        追問(wèn) 不借助坐標(biāo)系,又該如何證明拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)?

        設(shè)計(jì)意圖

        學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法的過(guò)程較為熟悉,因此用坐標(biāo)的方法,即設(shè)點(diǎn)設(shè)線(xiàn),列方程,算線(xiàn)段長(zhǎng)度或算向量夾角等較為常規(guī)的方法來(lái)證明“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”是更容易接受的

        .

        講解證明思路后(結(jié)合思維導(dǎo)圖),再呈現(xiàn)具體步驟即可

        .

        微課中也呈現(xiàn)了另外幾種坐標(biāo)解法的思路,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后思考

        .

        材料 數(shù)學(xué)家希爾伯特曾用“漂亮的幾何法”證明了“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”,其證明首先承認(rèn)

        PM

        平行于

        x

        軸,目的在于證明

        l

        確為切線(xiàn)

        .

        巧妙之處在于他發(fā)現(xiàn)有一條直線(xiàn)可以近似代替入射點(diǎn)附近的曲線(xiàn),其反射角都等于入射角,此直線(xiàn)即為外角平分線(xiàn),因此用外角平分線(xiàn)來(lái)作為已知條件,突破難點(diǎn)(圖2)

        .

        圖2

        問(wèn)題1 要證

        l

        為切線(xiàn),等價(jià)于證明什么?預(yù)設(shè)回答:即證明直線(xiàn)

        l

        與拋物線(xiàn)

        E

        有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

        .

        問(wèn)題2 再取

        l

        上除

        P

        以外的任意點(diǎn)

        Q

        ,它能不能在

        E

        上呢?問(wèn)題3 點(diǎn)

        Q

        不能在

        E

        上,也即點(diǎn)

        Q

        到焦點(diǎn)的距離不等于點(diǎn)

        Q

        到準(zhǔn)線(xiàn)的距離

        .

        此時(shí),已知的是角的條件,我們要解決的是距離的問(wèn)題,能否將距離的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題?

        設(shè)計(jì)意圖

        結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),利用坐標(biāo)的方法證明命題具有普遍性

        .

        通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的證明思路,開(kāi)拓學(xué)生思維,使學(xué)生在了解數(shù)學(xué)文化的同時(shí),提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,樹(shù)立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神

        .

        幾何法證明“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”是一個(gè)難點(diǎn),在微課演示中結(jié)合“問(wèn)題串”“思維導(dǎo)圖”等方式,將難點(diǎn)逐一突破,證明過(guò)程自然呈現(xiàn),學(xué)生容易接受,并能提高其數(shù)學(xué)思維

        .

        2.4 性質(zhì)應(yīng)用

        例題

        已知拋物線(xiàn)

        E

        y

        =2

        px

        內(nèi)有一點(diǎn)

        A

        (

        a

        ,

        b

        ),一光線(xiàn)從點(diǎn)

        A

        平行于

        x

        軸射出,經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)鏡面反射兩次,設(shè)兩次的反射點(diǎn)分別為

        B

        ,

        C

        ,當(dāng)

        BC

        最短時(shí),求

        b

        的值

        .

        問(wèn)題1

        b

        是什么?預(yù)設(shè)回答:它是

        A

        的縱坐標(biāo),也是

        B

        的縱坐標(biāo)

        .

        問(wèn)題2 移動(dòng)點(diǎn)

        A

        ,直線(xiàn)

        BC

        在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有什么不變性?預(yù)設(shè)回答:

        BC

        恒過(guò)定點(diǎn)

        .

        問(wèn)題3 該定點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)?

        問(wèn)題4 為什么是焦點(diǎn)?

        問(wèn)題5 什么時(shí)候焦點(diǎn)弦最短?

        展示阿基米德燒敵船、“天眼”雷達(dá)、太陽(yáng)灶等例子,說(shuō)明拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)在我們的生活中有著廣泛的應(yīng)用

        .

        設(shè)計(jì)意圖

        借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)分析例題,利于學(xué)生理解、分析問(wèn)題,通過(guò)例題的講解能更深刻地理解“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”以及如何運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

        .

        再結(jié)合小故事和生活實(shí)例使學(xué)生更加強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)源于生活、用于生活,要用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界

        .

        2.5 總結(jié)

        對(duì)本節(jié)課的總結(jié)如圖3

        .

        圖3

        說(shuō)明

        本節(jié)課將生活實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,研究了拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及其證明,并運(yùn)用這一性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

        .

        今后再遇到類(lèi)似問(wèn)題,也可以類(lèi)比此次分析過(guò)程來(lái)完成

        .

        整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了“以直代曲”“數(shù)形結(jié)合”等思想,進(jìn)而提升了學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建?!薄斑壿嬐评怼钡葘W(xué)科核心素養(yǎng),也讓學(xué)生更加熟悉數(shù)學(xué)探究的一般步驟

        .

        3 教學(xué)反思

        情境和問(wèn)題構(gòu)成了教學(xué)過(guò)程的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

        .

        對(duì)于情境設(shè)計(jì),本節(jié)微課通過(guò)探究手電筒發(fā)出平行光這一實(shí)驗(yàn)作為情境引入,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并且清楚明確地指向了所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì),基本達(dá)到情境設(shè)計(jì)的要求

        .

        但仍然存在不足,在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等教學(xué)過(guò)程中,沒(méi)有再用到這一情境,由此可見(jiàn)該情境設(shè)計(jì)并未貫穿教學(xué)始終,值得再思考和改進(jìn)

        .

        問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)以學(xué)生為中心,以問(wèn)題為核心,圍繞問(wèn)題的設(shè)置逐步探索,最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)

        .

        問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)需要教師有強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí),問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要滿(mǎn)足在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)、指向明確、銜接性強(qiáng)三個(gè)原則

        .

        微課由于其自身短小精悍的特點(diǎn),能在短時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)大量問(wèn)題,如果在微課教學(xué)中仍然采用“滿(mǎn)堂灌”“一言堂”等教學(xué)模式,其效果將會(huì)大打折扣

        .

        因此,若能科學(xué)有效地使用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式,定能達(dá)到事半功倍的效果

        .

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