王禹桐 孔德宏 (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)
微課作為“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的新產(chǎn)物,在信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的應(yīng)用中起到了一定的推進(jìn)作用,近年來(lái)受到了教育界的廣泛關(guān)注.
值得注意的是,微課不單純是課堂教學(xué)的片段,也不僅僅是錄制教師講解知識(shí)點(diǎn)的視頻,由于缺乏實(shí)際課堂的互動(dòng)環(huán)節(jié),微課設(shè)計(jì)更需要注重啟發(fā)性和趣味性.
2021年5月,由中國(guó)教育技術(shù)協(xié)會(huì)微格教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)主辦、廣西師范大學(xué)承辦的第十屆“華文”全國(guó)師范生數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能力線(xiàn)上測(cè)試與展示交流活動(dòng)采取“線(xiàn)下微課設(shè)計(jì)+線(xiàn)上直播教學(xué)”的方式進(jìn)行.
筆者有幸參與了此次活動(dòng),在微課設(shè)計(jì)中采用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式,借助物理情境創(chuàng)設(shè)問(wèn)題,利用問(wèn)題串幫助分析問(wèn)題,將物理情境抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,層層遞進(jìn),最后以解決問(wèn)題為終點(diǎn).
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學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了圓錐曲線(xiàn)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí),并且結(jié)合實(shí)例學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì),熟悉“問(wèn)題導(dǎo)入—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—總結(jié)”這一教學(xué)流程,為本節(jié)課學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).
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(2)通過(guò)觀察、分析、探究等學(xué)習(xí)方式,經(jīng)歷將手電筒射出平行光線(xiàn)這一物理情境抽象為數(shù)學(xué)命題的過(guò)程,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力.
(3)從問(wèn)題抽象再到實(shí)際應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.
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問(wèn)題1 為什么會(huì)出現(xiàn)如此神奇的現(xiàn)象?
經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),手電筒前端是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面,即由拋物線(xiàn)繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面.
追問(wèn) 同學(xué)們能否結(jié)合我們之前所學(xué)的拋物線(xiàn)的知識(shí)解釋該現(xiàn)象?
設(shè)計(jì)意圖
結(jié)合生活實(shí)際,通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示提出問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生探索未知的欲望,啟發(fā)學(xué)生思考.
問(wèn)題1 要研究這一物理情境,能否類(lèi)比橢圓、雙曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程將它抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題呢?
討論 忽略物體的大小、質(zhì)地、薄厚,近似認(rèn)為手電筒前端是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物鏡面,小電珠也近似為一個(gè)點(diǎn)光源,光線(xiàn)的傳播路徑用直線(xiàn)代替.
問(wèn)題2 要研究這一空間問(wèn)題,能否將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面問(wèn)題?
討論 作一個(gè)經(jīng)過(guò)小電珠及旋轉(zhuǎn)拋物鏡面頂點(diǎn)的軸截面,與旋轉(zhuǎn)拋物面相交的曲線(xiàn)即為拋物線(xiàn),這樣我們就只需研究在該平面內(nèi)的拋物線(xiàn)的性質(zhì)即可.
問(wèn)題3 初中物理里,光線(xiàn)被光滑的平直鏡面反射的實(shí)驗(yàn)中反射角等于入射角.
光線(xiàn)如何被這里的“曲線(xiàn)”鏡面所反射?問(wèn)題4 如何證明這個(gè)命題?
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)實(shí)物轉(zhuǎn)圖形、空間轉(zhuǎn)平面,再到“翻譯”反射這一過(guò)程,層層遞進(jìn),讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出命題.
抽象過(guò)程中運(yùn)用了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想.
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本次教學(xué)中的解析法和幾何法從不同方向出發(fā),對(duì)命題進(jìn)行了完備的證明.
作出拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)P
處的切線(xiàn)l
,證明:PM
平行于x
軸(圖1).
圖1
問(wèn)題1 已知∠1=∠2,如何證明射線(xiàn)PM
平行于x
軸?問(wèn)題2 我們還能用什么方法來(lái)證明這一命題?
追問(wèn) 不借助坐標(biāo)系,又該如何證明拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)?
設(shè)計(jì)意圖
學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法的過(guò)程較為熟悉,因此用坐標(biāo)的方法,即設(shè)點(diǎn)設(shè)線(xiàn),列方程,算線(xiàn)段長(zhǎng)度或算向量夾角等較為常規(guī)的方法來(lái)證明“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”是更容易接受的.
講解證明思路后(結(jié)合思維導(dǎo)圖),再呈現(xiàn)具體步驟即可.
微課中也呈現(xiàn)了另外幾種坐標(biāo)解法的思路,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后思考.
材料 數(shù)學(xué)家希爾伯特曾用“漂亮的幾何法”證明了“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”,其證明首先承認(rèn)PM
平行于x
軸,目的在于證明l
確為切線(xiàn).
巧妙之處在于他發(fā)現(xiàn)有一條直線(xiàn)可以近似代替入射點(diǎn)附近的曲線(xiàn),其反射角都等于入射角,此直線(xiàn)即為外角平分線(xiàn),因此用外角平分線(xiàn)來(lái)作為已知條件,突破難點(diǎn)(圖2).
圖2
問(wèn)題1 要證l
為切線(xiàn),等價(jià)于證明什么?預(yù)設(shè)回答:即證明直線(xiàn)l
與拋物線(xiàn)E
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
問(wèn)題2 再取l
上除P
以外的任意點(diǎn)Q
,它能不能在E
上呢?問(wèn)題3 點(diǎn)Q
不能在E
上,也即點(diǎn)Q
到焦點(diǎn)的距離不等于點(diǎn)Q
到準(zhǔn)線(xiàn)的距離.
此時(shí),已知的是角的條件,我們要解決的是距離的問(wèn)題,能否將距離的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題?設(shè)計(jì)意圖
結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),利用坐標(biāo)的方法證明命題具有普遍性.
通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的證明思路,開(kāi)拓學(xué)生思維,使學(xué)生在了解數(shù)學(xué)文化的同時(shí),提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,樹(shù)立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.
幾何法證明“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”是一個(gè)難點(diǎn),在微課演示中結(jié)合“問(wèn)題串”“思維導(dǎo)圖”等方式,將難點(diǎn)逐一突破,證明過(guò)程自然呈現(xiàn),學(xué)生容易接受,并能提高其數(shù)學(xué)思維.
例題
已知拋物線(xiàn)E
:y
=2px
內(nèi)有一點(diǎn)A
(a
,b
),一光線(xiàn)從點(diǎn)A
平行于x
軸射出,經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)鏡面反射兩次,設(shè)兩次的反射點(diǎn)分別為B
,C
,當(dāng)BC
最短時(shí),求b
的值.
問(wèn)題1b
是什么?預(yù)設(shè)回答:它是A
的縱坐標(biāo),也是B
的縱坐標(biāo).
問(wèn)題2 移動(dòng)點(diǎn)A
,直線(xiàn)BC
在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有什么不變性?預(yù)設(shè)回答:BC
恒過(guò)定點(diǎn).
問(wèn)題3 該定點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)?
問(wèn)題4 為什么是焦點(diǎn)?
問(wèn)題5 什么時(shí)候焦點(diǎn)弦最短?
展示阿基米德燒敵船、“天眼”雷達(dá)、太陽(yáng)灶等例子,說(shuō)明拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)在我們的生活中有著廣泛的應(yīng)用.
設(shè)計(jì)意圖
借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)分析例題,利于學(xué)生理解、分析問(wèn)題,通過(guò)例題的講解能更深刻地理解“拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)”以及如何運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
再結(jié)合小故事和生活實(shí)例使學(xué)生更加強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)源于生活、用于生活,要用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.
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圖3
說(shuō)明
本節(jié)課將生活實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,研究了拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及其證明,并運(yùn)用這一性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
今后再遇到類(lèi)似問(wèn)題,也可以類(lèi)比此次分析過(guò)程來(lái)完成.
整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了“以直代曲”“數(shù)形結(jié)合”等思想,進(jìn)而提升了學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建?!薄斑壿嬐评怼钡葘W(xué)科核心素養(yǎng),也讓學(xué)生更加熟悉數(shù)學(xué)探究的一般步驟.
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對(duì)于情境設(shè)計(jì),本節(jié)微課通過(guò)探究手電筒發(fā)出平行光這一實(shí)驗(yàn)作為情境引入,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并且清楚明確地指向了所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì),基本達(dá)到情境設(shè)計(jì)的要求.
但仍然存在不足,在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等教學(xué)過(guò)程中,沒(méi)有再用到這一情境,由此可見(jiàn)該情境設(shè)計(jì)并未貫穿教學(xué)始終,值得再思考和改進(jìn).
問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)以學(xué)生為中心,以問(wèn)題為核心,圍繞問(wèn)題的設(shè)置逐步探索,最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo).
問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)需要教師有強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí),問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要滿(mǎn)足在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)、指向明確、銜接性強(qiáng)三個(gè)原則.
微課由于其自身短小精悍的特點(diǎn),能在短時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)大量問(wèn)題,如果在微課教學(xué)中仍然采用“滿(mǎn)堂灌”“一言堂”等教學(xué)模式,其效果將會(huì)大打折扣.
因此,若能科學(xué)有效地使用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式,定能達(dá)到事半功倍的效果.