譚敏堯， 程文明

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

1 引 言

眾所周知，薄壁箱形梁結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的承載能力，可以承受較大的位移和轉(zhuǎn)動形變。在載荷作用下，薄壁箱形梁發(fā)生拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合變形,這種變化的幾何形狀可能引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)。因此，需要一種非線性理論來準(zhǔn)確預(yù)測這種結(jié)構(gòu)的行為。就圓柱殼的屈曲問題，Seleim等[1]通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的研究，發(fā)現(xiàn)固支實(shí)驗(yàn)值與忽略前屈曲非線性效應(yīng)的理論解之間存在30%左右的差別，并且更接近Kendrick理論的簡支解。為了對薄殼屈曲和后屈曲行為有足夠的認(rèn)識，必須考慮前屈曲非線性效應(yīng)的影響。因此，了解結(jié)構(gòu)的后屈曲響應(yīng)和極限荷載對設(shè)計者來說是至關(guān)重要的，這樣可減輕梁結(jié)構(gòu)的重量及提高其抗扭能力，使梁設(shè)計更為有效和經(jīng)濟(jì)。

為了更好地理解薄壁結(jié)構(gòu)的行為，學(xué)者們提出了許多不同的屈曲和后屈曲分析公式和數(shù)值程序。Euler[2]第一個用曲率的精確表達(dá)式代替小撓度近似來研究柱的彈性屈曲和后屈曲行為。在對薄壁梁的早期研究中，文獻(xiàn)[3-5]就幾何非線性分析問題對薄壁梁進(jìn)行了屈曲和后屈曲行為分析。Grimaldi等[6]基于Koiter方法的攝動技術(shù)，研究了軸向荷載作用下梁的初始后屈曲行為?；谌鹄锲澖稻S法，Ghafari等[7]對組合梁進(jìn)行截面分析，將三維彈性問題簡化為二維橫截面分析，得到橫截面剛度常數(shù)?；谫み|金方法，Kim等[8]研究了考慮不同荷載條件下的單雙對稱簡支梁的彎扭和橫向后屈曲行為。Arruda等[9]運(yùn)用卡雷拉統(tǒng)一公式分析了梁的物理非線性模型的數(shù)值性能。Bebiano等[10]擴(kuò)展了廣義梁理論公式的適用范圍。張元海等[11]建立了軸向偏心荷載作用下薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)雙力矩的廣義內(nèi)力公式。Kolakovski等[12]利用轉(zhuǎn)移矩陣法和Godunov正交化方法，給出了薄壁組合梁耦合屈曲問題的模態(tài)解方法。Szymczak等[13]利用穩(wěn)態(tài)總能量原理推導(dǎo)了控制非線性微分方程，用微擾法確定的方程近似解可以確定屈曲載荷和初始后屈曲行為。

本文的主要目的是驗(yàn)證所提非線性公式的準(zhǔn)確性，并研究非線性對各向同性薄壁箱形梁的屈曲和后屈曲行為的影響。

2 薄壁箱形梁的運(yùn)動學(xué)

2.1 基本假設(shè)

根據(jù)薄壁箱形梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力特性，本文薄壁箱形梁的結(jié)構(gòu)模型基于以下假設(shè)。

(1) 橫截面輪廓在自身平面內(nèi)為剛性，即不考慮畸變效應(yīng)。

(2) 假設(shè)各向同性梁的翹曲分布為圣維南函數(shù)。

(3) 假設(shè)彎曲旋轉(zhuǎn)(y軸和z軸)適中，橫截面扭轉(zhuǎn)可以任意增大。

2.2 運(yùn)動學(xué)方程

對于一般薄壁箱形梁，構(gòu)件使用笛卡坐標(biāo)系(x,y,z),其中x軸平行于梁的縱軸，其原點(diǎn)在剪切中心(SG)，如圖1所示。根據(jù)Vlasov的各向同性梁理論，每個截面單元厚度的中間為中間面。垂直于x軸的平面與中間平面相交于一條稱為等高線的曲線。中間點(diǎn)M對應(yīng)的坐標(biāo)系為(n,s,x)，其中s沿中面等高線，n垂直于s。

圖1 薄壁箱形梁截面和位移符號

displacement symbols

根據(jù)假設(shè)提出薄壁箱形梁的結(jié)構(gòu)模型，在廣義坐標(biāo)理論的基礎(chǔ)上提出了運(yùn)動學(xué)方程，即

u(x,s,n)=u0-θyz(s)-θzy(s)-ω(s)? (x)

(1a)

v(x,s,n)=v-z′(s)sinθ-y′(s)(1-cosθ)

(1b)

w(x,s,n)=w+y′(s)sinθ-z′(s)(1-cosθ)

(1c)

根據(jù)廣義坐標(biāo)原理可知，廣義位移u0表示整個截面的縱向伸縮位移；θy和θz分別為截面x關(guān)于oy軸與oz軸的轉(zhuǎn)角；? (x)為薄壁箱形梁截面的廣義翹曲；v和w分別為截面各板繞x軸扭轉(zhuǎn)時各點(diǎn)的切向位移和橫向位移；sinθ和(1-cosθ)為截面x關(guān)于oy軸與oz軸的線位移；ω(x)則為薄壁箱形梁截面沿外輪廓線的廣義翹曲變形，ω=z(s)y(s)。

忽略剪切撓性(θz=v′,θy=w′和?=θ′)，根據(jù)經(jīng)典的Vlasov理論，取cosθ=1和sinθ=θ，不考慮非線性項，對于剪切變形情況下的薄壁箱形梁的線性動力學(xué)，位移場式(1)與Cortínez等[14]給出的位移場一致。任意點(diǎn)M的位移場為

uM=u0-w′z-v′y-ωθ′

(2a)

vM=v-(z-z0)θ

(2b)

wM=w+(y-y0)θ

(2c)

式中(y0,z0)為關(guān)于剪切中心的形心坐標(biāo)。根據(jù)本文假設(shè)，式(1)是位移和扭轉(zhuǎn)耦合的，允許考慮大扭轉(zhuǎn)和縮短效應(yīng)，一般從其他模型直接衍生而來。式(2)只適用于小扭轉(zhuǎn)的情況，基于Vlasov的關(guān)系，扭轉(zhuǎn)角較小，平衡扭轉(zhuǎn)方程為線性，一般忽略了縮短效應(yīng)。這種方法更為普遍，本文采用這種方法。

對于薄壁箱形梁，可以將包含大位移的格林應(yīng)變張量的分量簡化為

(3a)

(3b)

(3c)

將式(2)代入式(3)可得

εx x=u′-y(v″+w″θ)-z(w″-v″θ)-

y0θ′(w′-v′θ)+z0θ′(v′+w′θ)

(4a)

(4b)

(4c)

式中

R2=(y-y0)2+(z-z0)2

(5)

由這些表達(dá)式可知，式(4a)給出的軸向應(yīng)變εx x的非線性依賴于未知量(u,w,v和θ)。在Valasov近似方程組(2)的情況下，只有軸向應(yīng)變的高階項是非線性的。這使得平衡方程和內(nèi)力關(guān)系極大簡化。

3 非線性屈曲模型

3.1 彎扭狀態(tài)下的平衡方程

根據(jù)總勢能的平衡條件得到平衡方程為

δ(W-U)=0

(6)

式中δ為虛變分。U和W分別為應(yīng)變能和外載荷功。應(yīng)變能的表達(dá)式為

(7)

式中σx x，γx s和γx n為Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量。將式(4,5)代入式(7)，應(yīng)變張量分量的變化為

δεx x=δu′-y(δv″+θδw″)-y(w″-v″θ)δθ-

z(δw″-θδv″)-ωδθ″+z(v″+w″θ)δθ+

δv′(v′+y0θθ′+z0θ′)+

δw′(w′+z0θθ′-y0θ′)+

δθ′[R2θ′+y0(-w′+v′θ′)+z0(v′+w′θ)]+

δθ[y0(w′θθ′)+v′θ′+z0(w′θ′-v′θθ′)]

(8a)

(8b)

(8c)

在彈性行為下，應(yīng)變能的變化可以表示為在變形狀態(tài)下薄壁單元截面上的內(nèi)力函數(shù)，即

N=?Aσx xdA,My=?Aσx xzdA,Mz=?Aσx xydA

MR=-?Aσx xR2dA,Bω=-?Aσx xωdA

(9)

式中N為軸向力,My和Mz分別為關(guān)于z軸和y軸的彎矩,Ms v為圣維南扭矩,Bω為雙力矩,MR為高階應(yīng)力合成力矩。

將式(9)代入應(yīng)變能公式得

δw′(w′+z0θθ′-y0θ′)] dx+

z0(w′θ′+v′θθ′)]dx+

(10)

本文首先考慮了梁繞主軸彎曲時的橫向屈曲，然后，在截面輪廓的點(diǎn)M上，施加的荷載為垂直分布荷載qz，如圖2所示。

圖2 施加分布載荷qz的薄壁箱形梁及橫截面的偏心距

eccentricity of cross -section

外部所做功W由以下關(guān)系定義。

(11)

wM=w+eysinθ-ez(1-cosθ)

(12)

式中ey=yM-y0，ez=zM-z0為偏心距。將式(12)代入式(11)，偏微分方程可得

(13)

根據(jù)式(10，13)的關(guān)系，對總勢能(6)的虛位移及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)進(jìn)行分部積分，得到的表達(dá)式只取決于虛位移δu，δv，δw和δθ。由平衡條件得平衡方程為

N′=0

(14a)

(14b)

(14c)

Nz0(v′+w′θ)′+N(y0θ′(v′+w′θ)+

z0θ′(w″-v″θ)]-(MRθ′)′-

Ny0(-w′+v′θ)′=qz(ey-ezθ)

(14d)

這些方程的建立不需要任何的簡化假設(shè)，都是非線性和強(qiáng)耦合的。

3.2 薄壁箱形梁的后屈曲方程

對于薄壁箱形梁的后屈曲問題，引入經(jīng)典彎曲理論，在平衡方程中，非線性項保守到3階(v3,w3,θ3,v2θ，…)。此外，在橫向屈曲分析中，未考慮貢獻(xiàn)的軸向荷載N。經(jīng)過計算，兩種彎曲和扭轉(zhuǎn)平衡方程為

(wIVθ+2w?θ+w″θ″-vIVθ2-

4v?θθ′-2v″θθ″-2v″θ′2)=0

(15a)

(EIz-EIy)(vIVθ+2v?θ′+v″θ″+wIVθ2+

4w?θθ′+2w″θθ″+2w″θ′2)=qz

(15b)

(EIz-EIy)(v″w″-v″2θ+w″2θ)+EIωθIV-

(15c)

式中()IV為對x的4階導(dǎo)數(shù)(如wIV=?4w/?x4),A為橫截面積,Iy,Iz,Iω和K為截面幾何特征慣性矩。I0為關(guān)于剪切中心的極轉(zhuǎn)動慣量，IR是關(guān)于剪切中心的第四慣性矩，It為高階扭轉(zhuǎn)的幾何參數(shù)常數(shù),其表達(dá)式為

Iy=?Ay2dA，Iz=?Az2dA，Iω=?Aω2dA

IR=?A[(y-y0)2+(z-z0)2]dA

(16)

由彎扭平衡方程(15)得到扭轉(zhuǎn)角θ的一個立方項。外載荷qz對扭轉(zhuǎn)平衡方程的貢獻(xiàn)是偏心量的函數(shù)。豎向載荷qz通過剪切中心施加時，偏心位移ey為零。在梁上應(yīng)用一個扭矩，其是ez的函數(shù)，通常稱為載荷高度參數(shù)。非線性微分方程組(15)可以研究任意邊界條件下薄壁箱形梁的彎扭非線性行為?？梢钥闯?，所有平衡方程式都是耦合的，且耦合條件正比于主要慣性矩(Iz-Iy),最后將這一項簡化為幾何比Iz/Iy。在線性穩(wěn)定性分析中，其影響自然忽略。在3.3節(jié)中，將考慮梁在簡支邊界條件下的非線性行為。

3.3 薄壁箱形梁的代數(shù)平衡方程

對于具有自由翹曲的簡支梁，彎曲和扭轉(zhuǎn)時的位移模態(tài)近似為正弦函數(shù)。

(17)

式中v0,w0和θ0為相對位移振幅。為了實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)，采用伽遼金近似法對控制方程進(jìn)行了簡化。通過積分計算，得到三個代數(shù)耦合平衡方程為

(18)

(19)

(20)

在這些代數(shù)方程中，M0為薄壁箱形梁梁長中點(diǎn)的最大彎矩，Py和Pz為簡支梁的歐拉屈曲載荷。其關(guān)系可以表達(dá)為

(21)

調(diào)節(jié)平衡方程式(18～20)具有較強(qiáng)的非線性和耦合性，不能得到任意的解。采用數(shù)值計算方法牛頓-拉普森法進(jìn)行求解。

(22)

當(dāng)荷載qz或等效彎矩M0無偏心率時，梁的變形隨荷載的增大而增大。梁的前屈曲狀態(tài)，也稱為基本狀態(tài)。當(dāng)達(dá)到臨界屈曲荷載時，梁的行為是彎扭的?；緺顟B(tài)下的位移分量(v0,w0,θ0)定義為(0,w0,0)。屈曲載荷由切線剛度矩陣[Kt]計算。由該方程可得到失穩(wěn)荷載或等效相關(guān)彎矩M0。可以看出，[Kt]在式(22)的第一、二、三行不耦合，忽略w0的高階項，由式(19)得到w0作為M0函數(shù)的近似表達(dá)式為

w0=32M0/(π3Py)

(23)

根據(jù)式(21)將上述關(guān)系簡化，代入式(23)，得到M0的臨界值。

(24)

式中系數(shù)C1和C2可表示為

(25)

根據(jù)線性穩(wěn)定性分析中建立的模型，通過文獻(xiàn)[15,16]得到類似表達(dá)式，常系數(shù)C1和C2分別為C1=1.14，C2=0.46。在前屈曲撓度的影響下，這些系數(shù)不是恒定的，而是取決于幾何比Iz/Iy，指出了梁在均勻彎曲情況下的前屈曲撓度對梁橫向屈曲的重要性。

對于不同載荷條件(分布載荷qz和集中載荷P)，采用類似方法，可得到等效彎矩的統(tǒng)一簡單公式為

(26)

4 算例分析

本文考慮雙對稱橫截面的薄壁箱形梁，重點(diǎn)關(guān)注載荷高度參數(shù)ez的重要性以及幾何參數(shù)縮短對屈曲和后屈曲行為的影響。

4.1 分布載荷作用下的薄壁箱形梁的非線性屈曲

為了驗(yàn)證本文理論的正確性，求解薄壁箱形梁在彎曲、翹曲和扭轉(zhuǎn)三種模態(tài)下的非線性屈曲臨界分布載荷，并將之與有限元分析結(jié)果(ANSYS)進(jìn)行對比。在本算例中，簡支薄壁箱形梁的分布載荷作用于三種載荷位移高度ez，分別為0.1 m，0 m和-0.1 m。其材料參數(shù)和幾何參數(shù)為L=6 m，h=0.2 m，b=0.15 m，E=2.1 GPa，υ=0.3。頂板和底板厚度為t1=t3=4 mm，腹板厚度為t2=t4=6 mm。對薄壁箱形梁進(jìn)行有限元建模，在Ansys軟件中采用4node 181殼單元，在網(wǎng)格劃分后生成1932個節(jié)點(diǎn)和1890個單元，并對其進(jìn)行簡支邊界條件約束，如圖3所示。

圖3 薄壁箱形梁建模

當(dāng)分布載荷分別作用于頂板、腹板中點(diǎn)和底板時，橫向位移v、垂直位移w和扭轉(zhuǎn)角θ的屈曲平衡路徑如圖4～圖6所示。

可以看出，數(shù)值屈曲載荷對于后屈曲響應(yīng)中觀察到的分岔點(diǎn)，非線性理論預(yù)測的結(jié)果與有限元法的結(jié)果很一致。施加于頂板、腹板中部和底板時的臨界分布載荷分別為7.69×104Nm,7.56×104Nm和7.37×104Nm。后屈曲路徑在臨界點(diǎn)后開始趨于平緩，隨著分布載荷的增加,形變量也隨之有明顯增大。當(dāng)載荷施加在下底板時，臨界載荷對應(yīng)的垂直位移w為0.160 m，當(dāng)載荷施加在上頂板時,垂直位移w增加到0.204 m。由此可知，在前屈曲垂直位移增大的情況下，幾何非線性效應(yīng)也增大。載荷高度對各形變的后屈曲路徑的影響較大。同時可知當(dāng)分布載荷施加于頂板時，后屈曲臨界彎矩較大。

圖4 作用于上頂板的分布載荷-形變路徑

圖5 作用于腹板中部的分布載荷-形變路徑

圖6 作用于下底板的分布載荷-形變路徑

4.2 集中載荷作用下的薄壁箱形梁的非線性屈曲

本算例中，集中載荷作用下的薄壁箱形梁的梁長為L=5 m，箱形梁板厚度為5 mm，其他幾何和材料性能與上一算例相同，分別計算集中載荷作用于簡支薄壁箱梁梁長中點(diǎn)處的上頂板、腹板中點(diǎn)和下底板的載荷-形變路徑曲線，如圖7～圖9所示。

圖7 作用于上頂板的集中載荷-形變路徑

圖8 作用于腹板中部的集中載荷-形變路徑

圖9 作用于下底板的集中載荷-形變路徑

該算例同時考慮了線性和幾何非線性的屈曲行為。其中：

Linear: 表示不考慮非線性效應(yīng)及前屈曲變形，由線性或經(jīng)典理論確定的屈曲值。

Nonlinear: 表示采用本理論非線性模型得到的值，考慮了前屈曲撓度。

表1 薄壁簡支箱形梁三種不同載荷高度下的臨界載荷

由表1可知，無論是線性還是非線性屈曲分析時，薄壁簡支箱形梁的臨界載荷隨載荷高度降低而減小。且線性屈曲的臨界載荷值總要小于非線屈曲的臨界載荷值，本文可認(rèn)為線性屈曲的解由于未考慮非線性耦合項，所以其臨界值更為保守。

從圖7～圖9可以看出，非線性初始屈曲路徑的理論值與殼有限元模型計算的結(jié)果吻合，其分岔值與表1所示的屈曲載荷一致。其后屈曲平衡路徑趨于穩(wěn)定。在屈曲狀態(tài)下，載荷-撓度(w)曲線相較其他形變表現(xiàn)出更強(qiáng)的剛度性能。通過對比可以看出，載荷施加在薄壁箱形梁上頂板時，簡支梁的承載力更大。由載荷-扭轉(zhuǎn)(θ)后屈曲路徑可以看出，隨著載荷的增加，扭轉(zhuǎn)形變的影響占主要因素。當(dāng)載荷作用于上頂板時，扭轉(zhuǎn)角的分岔值為1.35 rad；腹板中點(diǎn)時的分岔值為1.05 rad，下底板的分岔值為0.82 rad，載荷高度對載荷-形變路徑的影響較大。

5 結(jié) 論

本文對薄壁簡支箱形梁進(jìn)行了彎扭條件的非線性屈曲與后屈曲行為分析，提出的簡支薄壁箱形梁公式能夠正確地預(yù)測箱形梁的三維非線性屈曲響應(yīng)。

(1) 非線性的理論解析法相較于有限元模型方法獲得的臨界載荷解一致性良好。

(2) 在忽略縮短效應(yīng)的情況下，后屈曲路徑在臨界分叉點(diǎn)附近都趨于穩(wěn)定。

(3) 在后屈曲狀態(tài)下，載荷-垂直位移曲線相較于其他形變表現(xiàn)出更強(qiáng)的剛度性能。