凌小康， 張敬宗， 錢 鼎， 宋義敏

(北方工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，北京 100144)

1 引 言

巖石是礦山工程和交通工程等廣泛存在的一種地質(zhì)材料，巖石材料的力學(xué)參數(shù)作為巖土工程理論分析和數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，其準(zhǔn)確性對(duì)巖土工程設(shè)計(jì)、施工和維護(hù)等具有重要的影響[1,2]。因此，研究巖石材料力學(xué)參數(shù)反演具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。

目前材料力學(xué)參數(shù)反演的方法主要分為兩類[3]。第一類是通過加載條件和荷載信息來對(duì)材料的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行反演分析。通過測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)試件上某個(gè)區(qū)域的應(yīng)變值，結(jié)合荷載信息來計(jì)算其相應(yīng)的力學(xué)參數(shù)。吉建民等[4]應(yīng)用數(shù)字散斑相關(guān)方法和電測(cè)法對(duì)比測(cè)試了三種不同航空復(fù)合材料的彈性常數(shù)，證明了數(shù)字散斑相關(guān)方法能夠很好地反映航空復(fù)合材料的彈性常數(shù)；耿紅霞等[5]利用三維光學(xué)應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)采集不同荷載下的氧化鋯陶瓷圖像，通過應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合得到的斜率即為彈性模量，為陶瓷材料的彈性變形行為研究提供了一種可靠的方法。易亞楠等[6]通過數(shù)字散斑相關(guān)方法測(cè)得核石墨的楊氏模量和泊松比與電阻應(yīng)變片法的測(cè)量結(jié)果具有很好的一致性，驗(yàn)證了數(shù)字散斑相關(guān)方法的可行性與準(zhǔn)確性。第二類是基于數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合進(jìn)行反演分析。Cooreman等[7]使用數(shù)字散斑相關(guān)方法測(cè)量帶孔金屬的應(yīng)變場(chǎng)，用有限元軟件模擬相同條件，得到該金屬的力學(xué)參數(shù)。賀體人等[8]將數(shù)字圖像相關(guān)方法和有限元模型修正技術(shù)相結(jié)合，通過短梁剪切試驗(yàn)獲得碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂沿厚度方向壓縮的本構(gòu)關(guān)系參數(shù)。李璐璐等[9]采用修正的Drucker-Prager Cap模型對(duì)金屬粉末壓制成形過程進(jìn)行模擬，基于 ABAQUS -MATLAB 聯(lián)合仿真平臺(tái)，獲取混合金屬粉末本構(gòu)模型參數(shù)。但是針對(duì)反演目標(biāo)函數(shù)選擇的研究較少，因此，本文基于數(shù)字散斑相關(guān)方法和有限單元法對(duì)巖石力學(xué)參數(shù)反演進(jìn)行研究。

本文以花崗巖三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，假設(shè)材料初始本構(gòu)，采用有限元模型計(jì)算獲得位移場(chǎng)仿真值，以數(shù)字散斑相關(guān)方法DSCM(Digital Speckle Correlation Method)計(jì)算的位移測(cè)量值和有限元模型的位移仿真值之差，建立不同的目標(biāo)函數(shù)，采用魚群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)力學(xué)參數(shù)的更新，最終獲得花崗巖的力學(xué)參數(shù)。

2 基于DSCM-FEM的力學(xué)參數(shù)反演方法

2.1 力學(xué)參數(shù)反演方法

根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可知，巖石在受載時(shí)產(chǎn)生的位移場(chǎng)是多個(gè)力學(xué)參數(shù)作用的結(jié)果，基于反分析的思想，采用數(shù)值計(jì)算結(jié)合試驗(yàn)的方法，設(shè)計(jì)了三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)反演花崗巖多個(gè)力學(xué)參數(shù)的反演方法。三點(diǎn)彎曲是一種典型的非均勻變形形式，該變形能夠?yàn)榱W(xué)參數(shù)測(cè)量提供充分的力學(xué)響應(yīng)信息[10]。本文的反演方法通過魚群優(yōu)化算法不斷地調(diào)整有限元模型中的力學(xué)參數(shù)，使反演區(qū)域內(nèi)有限元模型的位移仿真值與實(shí)驗(yàn)的位移測(cè)量值之差最小化，以此時(shí)有限元模型中的力學(xué)參數(shù)表征花崗巖的力學(xué)參數(shù)。圖1給出了力學(xué)參數(shù)反演的流程。

圖1 力學(xué)參數(shù)反演流程

整個(gè)力學(xué)參數(shù)反演流程通過MATLAB-PYTHON-ABAQUS聯(lián)合完成，通過Matlab協(xié)同驅(qū)動(dòng)各個(gè)軟件，設(shè)置合理的參數(shù)范圍和優(yōu)化條件就可以完成力學(xué)參數(shù)的反演。

2.2 數(shù)字散斑相關(guān)方法

數(shù)字散斑相關(guān)方法通過跟蹤變形前后圖像中同一點(diǎn)的移動(dòng)來獲得變形信息，如圖2所示，其關(guān)鍵在于匹配參考圖像與變形圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置。假設(shè)在變形過程中圖像的灰度具有不變性[11,12]，就能以相關(guān)函數(shù)為度量，搜索變形前后圖像中最相關(guān)的點(diǎn)。當(dāng)兩個(gè)子區(qū)完全一致時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1；完全不一致時(shí)，相關(guān)系數(shù)為-1[13]。

圖2 圖像變形分析原理

根據(jù)位移場(chǎng)的連續(xù)性假設(shè)，圖像子區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)的水平位移和豎直位移[14]可表示為

(1)

式中Δx和Δy為點(diǎn)(x,y)到子區(qū)中心點(diǎn)的距離，?u/?x,?u/?y，?v/?x和?v/?y為位移的一階導(dǎo)數(shù)。

2.3 不同目標(biāo)函數(shù)反演程序驗(yàn)證

為了確定不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)反演結(jié)果的影響，本文通過三個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)反演精度驗(yàn)證，目標(biāo)函數(shù)1～3分別如式(2～4)所示，目標(biāo)函數(shù)1考慮水平位移和豎直位移；目標(biāo)函數(shù)2僅考慮水平位移；目標(biāo)函數(shù)3僅考慮豎直位移。虛擬數(shù)據(jù)是檢驗(yàn)反演方法可行性的有效方法[15]，用已知材料力學(xué)參數(shù)數(shù)據(jù)，輸入有限元模型，將有限元模擬位移場(chǎng)作為虛擬的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行力學(xué)參數(shù)反演。

(2)

(3)

(4)

針對(duì)彈性模量和泊松比進(jìn)行參數(shù)反演辨識(shí)，設(shè)置彈性模量為30000 MPa，泊松比為0.3作為力學(xué)參數(shù)的輸入，建立有限元計(jì)算模型，按位移荷載 0.3958 mm 加載。優(yōu)化算法選擇魚群算法，因?yàn)閰?shù)反演中涉及的反問題模型是高度非線性的，魚群算法擁有較強(qiáng)的魯棒性，且有較好的全局尋優(yōu)能力[16]。設(shè)置魚群優(yōu)化算法的魚群數(shù)為4，迭代次數(shù)為25，最多試探次數(shù)為2，感知距離為 0.2，擁擠度因子為0.618，步長(zhǎng)為0.05，不同目標(biāo)函數(shù)的魚群初始值相同[17]。考慮到彈性模量和泊松比數(shù)據(jù)的離散性問題，對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理[18]。

不同目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程中最優(yōu)坐標(biāo)變化如 圖3 所示，三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)坐標(biāo)經(jīng)過前期的波動(dòng)之后，逐漸趨近于參考值；但是目標(biāo)函數(shù)1在優(yōu)化過程中最優(yōu)坐標(biāo)的變化波動(dòng)最大，而且目標(biāo)函數(shù)1的最優(yōu)坐標(biāo)在優(yōu)化結(jié)束后離參考值差距還很大。這是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)1包含了更多的信息，所以目標(biāo)函數(shù)1對(duì)彈性模量和泊松比的變化更加敏感，即彈性模量和泊松比發(fā)生相同變化，對(duì)目標(biāo)函數(shù)1的值影響更大，最終影響反演精度。目標(biāo)函數(shù)值在優(yōu)化過程中的變化歷程如圖4所示，三個(gè)目標(biāo)函數(shù)值呈現(xiàn)一直減小的趨勢(shì)，目標(biāo)函數(shù)1在經(jīng)過10次迭代后基本趨于收斂，而目標(biāo)函數(shù)2和目標(biāo)函數(shù)3僅在經(jīng)過5次迭代后就已經(jīng)基本趨于收斂。這是由于目標(biāo)函數(shù)1的初始目標(biāo)函數(shù)值最大，所以影響了目標(biāo)函數(shù)收斂的速度。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，傳統(tǒng)納稅申報(bào)方式逐漸會(huì)被納稅人網(wǎng)絡(luò)自主申報(bào)取代，納稅申報(bào)的真實(shí)性、準(zhǔn)確性責(zé)任由納稅人承擔(dān)，稅務(wù)機(jī)關(guān)側(cè)重對(duì)納稅申報(bào)的后續(xù)管理是未來稅收征管的趨勢(shì)。申報(bào)納稅成為納稅人的自主行為，在主觀因素和客觀因素共同作用下，稅收申報(bào)變得具有不確定性，存在稅款流失的風(fēng)險(xiǎn)，無法保證稅款及時(shí)足額入庫。稅務(wù)機(jī)關(guān)通過納稅評(píng)估，審查納稅人申報(bào)行為的準(zhǔn)確性和全面性，涉及稅款應(yīng)繳未繳或存在稅收違法違紀(jì)行為的，及時(shí)讓納稅人進(jìn)行補(bǔ)繳稅款、采取違法處罰或移交稽查等方式，目的是促進(jìn)納稅申報(bào)質(zhì)量的提升，提高納稅人的稅法遵從度。

圖3 目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化過程中最優(yōu)坐標(biāo)的變化

coordinates during the optimization process

圖4 目標(biāo)函數(shù)值在優(yōu)化過程中的變化歷程

表1給出了不同目標(biāo)函數(shù)的反演結(jié)果以及反演結(jié)果的誤差。綜合考慮反演的收斂速度和反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文采用目標(biāo)函數(shù)2，即式(3)作為花崗巖三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)反演中的目標(biāo)函數(shù)。

表1 反歸一化處理后E和μ的反演

3 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

3.1 試件制備

三點(diǎn)彎曲試件的尺寸為400 mm×100 mm×50 mm，試件的有效跨度為360 mm，如圖5所示。在試件表面進(jìn)行人工制斑，首先在試件表面噴涂黑漆作為底色，再向表面噴涂白漆，使其呈隨機(jī)分布的白色斑點(diǎn)，待噴漆完全晾干以后，試件制備完成。

圖5 三點(diǎn)彎曲試件

3.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

本次實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括加載系統(tǒng)和圖像采集系統(tǒng)兩部分。加載系統(tǒng)為電子萬能試驗(yàn)機(jī)加載，采用位移控制方式，試件上方壓頭以0.05 mm/min向下運(yùn)動(dòng)，試件下方保持位移為0。圖像采集系統(tǒng)使用CCD相機(jī)采集實(shí)驗(yàn)全過程的試件表面圖像，采集速率為2 幀/s，圖像分辨率為1600×1200像素，物面分辨率為0.089 mm/pixel，測(cè)量精度為0.01 pixel，實(shí)際位移精度為0.00089 mm，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)布置如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)布置

3.3 正問題模型分析

根據(jù)實(shí)驗(yàn)試樣尺寸和邊界條件，建立有限元模型。有限元網(wǎng)格的單元類型為C3D8，在試件表面中間區(qū)域(100 mm×100 mm)劃分更密集的單元，作為感興趣區(qū)域，感興趣點(diǎn)是感興趣區(qū)上所有的節(jié)點(diǎn)，其中感興趣區(qū)域的單元尺寸為2.5 mm×4 mm，因此共有感興趣點(diǎn)41×26個(gè)，如圖7所示。模型邊界條件為下方兩個(gè)支座固支，本文選取t=475 s時(shí)刻的試件位移場(chǎng)來進(jìn)行參數(shù)反演，通過試件上端像素點(diǎn)坐標(biāo)的變化得到t=475 s時(shí)刻試件發(fā)生的位移為0.1460 mm，在有限元中施加 0.1460 mm 的位移控制。目標(biāo)函數(shù)中仿真值為感興趣點(diǎn)集在有限元模型中的計(jì)算結(jié)果；測(cè)量值的獲得首先需要通過圖像分辨率和物面分辨率找到感興趣點(diǎn)集在散斑圖像上的對(duì)應(yīng)位置，然后在數(shù)字散斑位移場(chǎng)中通過插值得到感興趣點(diǎn)集的測(cè)量值。

圖7 有限元模型

4 反演結(jié)果及分析

4.1 花崗巖力學(xué)參數(shù)反演結(jié)果

以t=475 s時(shí)刻試件位移場(chǎng)作為待反演時(shí)刻，設(shè)置魚群優(yōu)化算法的魚群數(shù)為8，迭代次數(shù)為20，最多試探次數(shù)為4，感知距離為0.2，擁擠度因子為0.618，步長(zhǎng)為0.05。同樣在反演前對(duì)力學(xué)參數(shù)E和μ的值進(jìn)行歸一化處理，在反演結(jié)束后再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化處理。表2給出了各個(gè)參數(shù)的反演結(jié)果以及反演誤差。

表2 反歸一化后E和μ的反演

反演結(jié)果表明，基于DSCM-FEM的參數(shù)反演方法獲得的各個(gè)力學(xué)參數(shù)具有較高的精度和較好的穩(wěn)定性。對(duì)在較大搜索范圍內(nèi)的待反演力學(xué)參數(shù)仍具有較強(qiáng)的識(shí)別能力，反演的精度和速度皆比較理想。其中泊松比的反演誤差為8.00%，彈性模量的反演誤差僅為1.98%。但是，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到彈性模量和泊松比的反演結(jié)果僅是在現(xiàn)有條件下最優(yōu)的近似結(jié)果，這是因?yàn)椴煌牧W(xué)參數(shù)經(jīng)過不同的變化可能產(chǎn)生相同的位移結(jié)果。

4.2 反演分析

選擇t=0 s時(shí)刻散斑圖像作為參考圖像，選擇t=475 s時(shí)刻散斑圖像作為變形后的圖像，設(shè)置子區(qū)為41 pixel×41 pixel，步長(zhǎng)為5 pixel，采用數(shù)字散斑相關(guān)方法計(jì)算得到相應(yīng)位移場(chǎng)。圖8給出了試件表面水平方向位移場(chǎng)云圖。將反演得到的力學(xué)參數(shù)作為數(shù)值模型相應(yīng)參數(shù)輸入，通過正演分析，得到模型表面的位移場(chǎng)云圖。圖9給出了試件表面水平方向的位移場(chǎng)云圖。

圖8 散斑水平位移場(chǎng)云圖

圖9 有限元模型水平位移場(chǎng)云圖

可以看出，散斑位移結(jié)果與有限元位移結(jié)果位移云圖分布特征基本相同，都是試件上端壓縮，試件下端拉伸，水平位移呈中心對(duì)稱分布，具有良好的復(fù)雜性。局部位移分布仍然存在缺陷，主要表現(xiàn)在散斑水平位移場(chǎng)在感興趣區(qū)域中間部分過渡不光滑，這可能是有限元模型中位移結(jié)果被平滑了，導(dǎo)致部分細(xì)節(jié)信息隱藏，但是因?yàn)檎麄€(gè)感興趣區(qū)域都參與計(jì)算，可以降低局部誤差對(duì)反演結(jié)果的影響。綜合來看，反演得到的力學(xué)參數(shù)較為理想。

5 結(jié) 論

巖石力學(xué)參數(shù)反演是一個(gè)多參數(shù)組合的大空間搜索問題。本文提出一種基于數(shù)字散斑相關(guān)方法和有限單元法的力學(xué)參數(shù)反演方法，以數(shù)字散斑相關(guān)方法獲得試件的全場(chǎng)位移作為測(cè)量值，以有限元仿真的正問題分析結(jié)果作為仿真值，考察了不同的目標(biāo)函數(shù)組合，采用魚群優(yōu)化算法，求解巖石試件的彈性模量和泊松比。主要結(jié)論如下。

(1) 針對(duì)力學(xué)參數(shù)反演中目標(biāo)函數(shù)對(duì)反演精度影響，本文考察了不同的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)果表明基于水平位移的目標(biāo)函數(shù)具有更高的反演精度和更快的反演速度。

(2) 花崗巖力學(xué)參數(shù)反演結(jié)果表明，本文提出的基于數(shù)字散斑相關(guān)方法和有限單元法的力學(xué)參數(shù)反演方法，對(duì)在較大區(qū)間下的力學(xué)參數(shù)具有較強(qiáng)的識(shí)別能力，且反演精度可靠，可為工程設(shè)計(jì)與分析提供支持。