沈元星， 侯文彬

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 汽車工程學(xué)院，大連 116024)

1 引 言

蜂窩夾層結(jié)構(gòu)是由膠黏劑將上下兩塊面板和中間厚而輕的蜂窩狀?yuàn)A芯粘接而成的層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)，由于該類結(jié)構(gòu)具有比強(qiáng)度和比剛度高，以及優(yōu)異的隔音、吸震和隔熱等性能特點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于航空航天和交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域[1-3]。由于蜂窩夾層板的特殊結(jié)構(gòu)，在工程和科學(xué)研究中一般不直接對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算，而是對(duì)模型進(jìn)行等效以作簡(jiǎn)化[4-8]，使實(shí)際問題易于研究。Gibson等[9]在20世紀(jì)80年代采用Bernoulli-Euler梁模型給出了不考慮軸向以及剪切變形的等效彈性參數(shù)公式；富明慧等[10]通過考慮蜂窩壁板的伸縮變形對(duì)Gibson公式進(jìn)行了改進(jìn)；胡玉琴[11]對(duì)各邊非等厚度的鋁蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了補(bǔ)充研究；馬連華[12]進(jìn)一步考慮蜂窩壁板剪切變形的影響，給出了更為精確的等效彈性參數(shù)計(jì)算公式。但是以上對(duì)蜂窩夾層板的研究都是基于平面蜂窩結(jié)構(gòu)提出的，在一些實(shí)際工程應(yīng)用中，蜂窩夾層結(jié)構(gòu)是以曲面蜂窩板的形式存在，如民用飛機(jī)機(jī)身腹部整流罩以及發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)艙、通用飛機(jī)機(jī)身、船體以及發(fā)動(dòng)機(jī)罩等[13-15]，如果仍然用平面理論方法進(jìn)行等效計(jì)算難免會(huì)有誤差。

本文在文獻(xiàn)[11,12]的理論基礎(chǔ)上，對(duì)雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)進(jìn)行研究，建立不等壁厚正六邊形蜂窩芯的等效力學(xué)模型，并通過建立有限元模型對(duì)理論模型進(jìn)行驗(yàn)證。

2 雙曲面蜂窩夾芯等效參數(shù)公式的推導(dǎo)

由于蜂窩胞元邊長(zhǎng)很小，對(duì)于曲面蜂窩芯子仍可以將蜂窩邊近似看作是直邊，雙曲面蜂窩芯的孔徑尺寸不一致，向外的一側(cè)(外胞面)孔徑尺寸比內(nèi)側(cè)(內(nèi)胞面)孔徑尺寸大，如圖1(a)所示。以Y模型建立蜂窩芯等效模型(圖1(b))，設(shè)Es為蜂窩芯材料的彈性模量，b為蜂窩芯的厚度，t為薄胞壁厚度，2t為厚胞壁厚度。l1和l2分別為雙曲面蜂窩芯外薄胞壁和內(nèi)薄胞壁的長(zhǎng)度，h1和h2分別為雙曲面蜂窩芯外厚胞壁和內(nèi)厚胞壁的長(zhǎng)度，l和h分別為沿厚度方向任意截面S處薄厚胞壁的長(zhǎng)度，由于每個(gè)胞元中心軸線并不平行，所以此處建立胞元局部坐標(biāo)系，與厚胞壁垂直的為1方向，與胞元中心軸線平行且指向外胞壁的為3方向，2方

向由右手法則確定，后續(xù)各項(xiàng)參數(shù)的推導(dǎo)都是建立在此坐標(biāo)系下以及截面S上進(jìn)行的，局部坐標(biāo)系和單胞結(jié)構(gòu)如圖2所示，x為截面S到內(nèi)胞面的距離(0

圖2 坐標(biāo)系和單胞結(jié)構(gòu)

2.1 面內(nèi)彈性模量Ec 1和Ec 2的推導(dǎo)

胞元受1方向單向應(yīng)力時(shí)，模型受力如圖3(a)所示，圖3(b)為等效受力示意圖，F(xiàn)1為σ1的等效拉力，M為等效彎矩。

胞元受2方向單向應(yīng)力時(shí)，模型受力如圖3(c)所示，圖3(d)為等效受力示意圖，F(xiàn)2為σ2的等效拉力，M為等效彎矩。

圖3 Y單元體單向受力示意圖

令h/l=α，t/l=β，對(duì)于正六邊形蜂窩芯，θ=30°，α=1，經(jīng)過推導(dǎo)，面內(nèi)模量與文獻(xiàn)[11]得到的結(jié)果一致，即

(1)

由式(1)可以得出，面內(nèi)模量與截面S處胞壁長(zhǎng)度l相關(guān)，而l可以由圖4的幾何關(guān)系表達(dá)為

(2)

圖4 胞壁尺寸

由此可以得到與夾芯厚度相關(guān)的等效面內(nèi)模量表達(dá)式為

(3)

2.2 剪切模量Gc 12的推導(dǎo)

(4)

對(duì)于正六邊形蜂窩，θ=30°，h=l，則

(5)

圖5 剪切模量Gc 12等效示意圖

圖6 蜂窩芯剪切受力和胞壁BD的變形模式

同理，可以得到與夾芯厚度相關(guān)的等效剪切模量

(6)

2.3 對(duì)剪切模量Gc 23和Gc 13的推導(dǎo)

如圖7所示，T為單位長(zhǎng)度剪力，可得Y模型的單元體剪切變形能

(7)

式中Gs為蜂窩材料的剪切模量，l0為夾芯中間截面處胞壁的長(zhǎng)度。

由于均質(zhì)實(shí)體的相當(dāng)體為一個(gè)四棱臺(tái)，垂直于厚度方向的橫截面的胞壁長(zhǎng)度不斷變化，造成相當(dāng)體等效剪應(yīng)力也不相等，為利于計(jì)算，此處用平均應(yīng)力近似代替，即

(8)

圖7 蜂窩芯子受剪示意圖

若相當(dāng)體在2方向的剪切模量為Gc 23，則相當(dāng)體總的變形能

(9)

式中Ve q為四棱臺(tái)的體積，對(duì)于正六邊形蜂窩，θ=30°，故

(10)

根據(jù)相當(dāng)體與Y單元體總變形能相等得

(11)

對(duì)于Gc 13受力模型，剪力流如圖7(c,d)所示，取Y基本單元體，設(shè)單元體上的單位長(zhǎng)度的剪力為T，則總的變形能

(12)

對(duì)于均質(zhì)實(shí)體相當(dāng)體，當(dāng)θ=30°時(shí)，剪應(yīng)力為

(13)

(14)

令U=Ue q，得

2.4 等效彈性模量Ec 3的推導(dǎo)

由于曲面蜂窩胞元垂直于厚度方向的橫截面面積是不斷變化的，故蜂窩芯厚度方向的拉壓剛度也不斷變化(圖8所示)，由截面S處的拉壓截面剛度與相當(dāng)體截面S處的拉壓截面剛度Ke q相等得

(16)

圖8 芯子模量Ec 3模型

2.5 對(duì)等效密度c的推導(dǎo)

由相當(dāng)體與Y單元體質(zhì)量相等

(17)

得

(18)

根據(jù)以上推導(dǎo)過程，將等效參數(shù)公式總結(jié)如下。

(19)

3 有限元案例分析

為了驗(yàn)證雙曲面蜂窩等效力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，利用CATIA建立三個(gè)弦高比依次增加的雙曲面鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)詳細(xì)模型和相應(yīng)的等效模型，根據(jù)弦高比的不同，最后將模型分為三組，即每個(gè)詳細(xì)模型以及相應(yīng)的等效模型為一組，對(duì)于雙曲面模型，每組模型共有兩個(gè)弦高比，弦高比用λ表示，h為弦高，l為弦長(zhǎng)，其中

λi=hi/li

(20)

式中i=1,2，詳細(xì)模型如圖9(a)所示，其中圖9(b)為1/4模型及尺寸示意圖。

圖9 雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)

表1 蜂窩芯尺寸參數(shù)

圖10 雙曲面蜂窩夾層板有限元模型

(1) 彎曲工況

(2) 扭轉(zhuǎn)工況

在夾層板上面板的一端一角沿著Z軸負(fù)方向施加大小為100 N的集中載荷，另一端固定，如 圖11(c)所示。

(3) 側(cè)向工況

在夾層板上面板的一端一角沿著X軸負(fù)方向施加大小為100 N的集中載荷，另一端固定，如 圖11(d)所示。

(4) 模態(tài)分析

釋放夾層板的所有自由度，采用線性攝動(dòng)分析法對(duì)夾層板進(jìn)行自由模態(tài)分析，得到前五階固有頻率值。

各工況分析結(jié)果及誤差百分比列入表2和 表3。其中誤差百分比E/%=(測(cè)量值—標(biāo)準(zhǔn)值)/標(biāo)準(zhǔn)值×100%，以詳細(xì)模型計(jì)算結(jié)果作標(biāo)準(zhǔn)值，等效模型計(jì)算結(jié)果為測(cè)量值。

圖11 各工況示意圖

表2 前三種工況下的位移及誤差百分比Tab.2 Displacements under the three working conditions and error percentage

表3 前五階固有頻率及誤差百分比Tab.3 First five natural frequencies and error percentage

通過三個(gè)模型在以上工況下的有限元分析結(jié)果，可以得出以下結(jié)論。

(1) 對(duì)于雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)，在弦高比較小的情況下，即模型一(近平面結(jié)構(gòu))和模型二，采用三明治夾芯板等效法和曲面蜂窩板等效法在各工況下的計(jì)算結(jié)果，與詳細(xì)模型的計(jì)算結(jié)果大致相當(dāng)，誤差較小，在計(jì)算結(jié)果要求不是很高的情況下都可以使用。

(2) 隨著結(jié)構(gòu)弦高比的增加，三明治夾芯板理論模型與曲面蜂窩板理論模型的有限元分析結(jié)果差別越來越明顯，在弦高比較大的結(jié)構(gòu)上，曲面蜂窩板等效法能夠得到更加精確的計(jì)算結(jié)果，體現(xiàn)出更好的適用性，如表2模型三在側(cè)向工況分析，等效公式一的計(jì)算結(jié)果誤差為30.1%，而等效公式二的計(jì)算結(jié)果誤差為9.75%，其內(nèi)在原因是在側(cè)向工況下，雙曲面夾層結(jié)構(gòu)的變形模式主要為剪切變形，而等效公式二中的Gc 13和Gc 23與等效公式一存在著一定的區(qū)別，該區(qū)別的大小主要取決于蜂窩芯內(nèi)外胞壁長(zhǎng)度的差異程度，而蜂窩芯內(nèi)外胞壁長(zhǎng)度的差異程度取決于結(jié)構(gòu)弦高比的大小，弦高比越大，內(nèi)外胞壁長(zhǎng)度的差異越大，導(dǎo)致兩種等效公式的剪切模量值區(qū)別越大，因此二者會(huì)有較大偏差，而模型一、二的弦高比較小，所以結(jié)果偏差也較小。綜合來看，曲面蜂窩板力學(xué)模型能夠適用于更廣泛的工程應(yīng)用。

(3) 隨著結(jié)構(gòu)弦高比的增加，在一定工況下(如側(cè)向工況)，三明治夾芯板理論模型、曲面蜂窩板理論模型有限元分析結(jié)果與詳細(xì)模型有限元分析結(jié)果的誤差都越來越大，主要原因有以下幾點(diǎn)。

(a) 曲面蜂窩的內(nèi)外側(cè)孔徑尺寸不一致，外胞面孔徑尺寸比內(nèi)胞面孔徑尺寸大，在同一厚度條件下，隨著結(jié)構(gòu)弦高比的增加，內(nèi)外孔徑尺寸差越來越大，并且每個(gè)胞元的孔徑朝向各不相同，不能再以直角坐標(biāo)系作為力學(xué)模型的參考坐標(biāo)系。而三明治夾芯板理論主要是針對(duì)于平面蜂窩結(jié)構(gòu)，即胞元內(nèi)外孔徑尺寸一致，每個(gè)胞元孔徑朝向一致的結(jié)構(gòu)。所以當(dāng)弦高比越來越大時(shí)，誤差將越來越大。

(b) 在有限元計(jì)算中，為簡(jiǎn)化計(jì)算，截面S取的是中截面，曲面蜂窩板理論在計(jì)算胞壁的變形量時(shí)，是將Y單元體的三個(gè)胞壁近似為等截面梁，并且將胞壁的平均應(yīng)力近似為等效應(yīng)力。而同理，由于曲面蜂窩的內(nèi)外側(cè)孔徑尺寸不一致，在同一厚度條件下，隨著結(jié)構(gòu)弦高比的增加，內(nèi)外孔徑尺寸差越來越大，胞壁的截面尺寸變化明顯，胞壁的平均應(yīng)力與實(shí)際的應(yīng)力分布相差也越來越大，所以誤差越來越大。

4 結(jié) 論

本文對(duì)雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，具體結(jié)論總結(jié)如下。

(1) 建立了雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)模型，推導(dǎo)了雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的等效模型參數(shù)。

(2) 應(yīng)用雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行計(jì)算，并與平板理論進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，雙曲面夾層板等效力學(xué)模型對(duì)曲面類型蜂窩夾層結(jié)構(gòu)具有更好的適用性，同時(shí)對(duì)近平面結(jié)構(gòu)也有相當(dāng)?shù)倪m用性，在一定程度上豐富了蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的理論模型。

(3) 考察了弦高比對(duì)曲面板計(jì)算結(jié)果的影響，結(jié)果表明，雙曲面蜂窩夾層結(jié)構(gòu)模型與平板理論計(jì)算結(jié)果的差別隨著結(jié)構(gòu)弦高比的增加而增大。在大弦高比的情況下，雙曲面夾層板等效力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果仍能保持較高的準(zhǔn)確性，而平板理論在特定工況下的計(jì)算誤差不可忽略，此時(shí)平板理論將不再適用。

此外，在有限元計(jì)算中，截面S取的是中截面，在這種情況下，計(jì)算結(jié)果與詳細(xì)模型相比，必然會(huì)有誤差，如何將厚度相關(guān)的曲面夾層結(jié)構(gòu)等效力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的有限元本構(gòu)關(guān)系，是下一步重點(diǎn)研究的問題。