吳書豪， 張永存， 劉書田

(大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

熱防護技術是高超聲速飛行器結(jié)構設計成敗的關鍵要素[1]。為滿足在不斷縮小的設計空間內(nèi)實現(xiàn)更加苛刻的輕量化需求，迫使傳統(tǒng)的熱防護層+冷結(jié)構設計方案向一體化的隔熱-承載多功能結(jié)構設計方案發(fā)展[2,3]。已有研究表明在相同的載荷工況下，隔熱與承載多功能結(jié)構設計方案比傳統(tǒng)設計方案減重最高達48.3%[4]。然而，由于高承載材料隔熱能力非常差(如金屬)，一體化承載-隔熱多功能結(jié)構存在顯著的熱短路效應[5]，使得滿足高承載的同時難以滿足隔熱性能。因此，發(fā)展系統(tǒng)的隔熱-承載的多功能設計方法以及最大程度協(xié)同承載與隔熱的矛盾，至關重要[6]。

內(nèi)部填充隔熱的波紋夾芯面板結(jié)構是目前研究最多的一體化隔熱-承載多功能結(jié)構[7-9]。為實現(xiàn)防熱功能與承載功能的協(xié)同，出現(xiàn)了多種改進設計方案。一是將腹板鏤空，減少熱短路效應，但為了保持結(jié)構的承載能力，在腹板的垂直方向增加了加強筋。二是將腹板與底面板均設計成夾芯板，即多層級波紋夾芯結(jié)構。利用夾芯板的抗屈曲、高剛度和強度特性，可使該種方案具有良好的承力性能。同時在夾芯板中填充隔熱材料，可以降低腹板與底面板的導熱系數(shù)。第三種改進方案是設計成雙層波紋板，通過更多的參數(shù)設計，在保持性能要求的同時能夠?qū)崿F(xiàn)減重[10]。以上研究表明，通過合理的結(jié)構設計，能夠?qū)崿F(xiàn)承載與隔熱的功能協(xié)同。

拓撲優(yōu)化可以通過合理設計給定區(qū)域內(nèi)材料的分布自動獲得創(chuàng)新結(jié)構構型。拓撲優(yōu)化經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已經(jīng)形成了多種實現(xiàn)方法，包括SIMP法[11-15]、漸進結(jié)構優(yōu)化方法[16-18]、水平集方法[19-23]和移動組件法[24,25]等，并成功應用于結(jié)構力學、傳熱、電磁和聲學等多個物理場[26,27]。傳熱與承載的多功能結(jié)構設計也備受關注。如De Kruijf等[28]提出了一種多目標結(jié)構拓撲優(yōu)化方法，討論了結(jié)構剛度與熱傳導性能兩個相互沖突的設計原則。Long等[29]以結(jié)構質(zhì)量最小為優(yōu)化目標，同時考慮了承載能力和隔熱性能，建立了宏微觀一體化設計。Kambampati等[30]建立了考慮應力和溫度的結(jié)構拓撲優(yōu)化方法，指出應力和溫度約束對柔順性最小的拓撲優(yōu)化結(jié)果有很大影響。Giraldo-Londoo等[31]同時考慮承載與傳熱為設計目標，建立了多材料的拓撲優(yōu)化模型。Das等[32]建立了以孔隙率和孔徑為設計參數(shù)，考慮承載和傳熱的梯度多孔結(jié)構拓撲優(yōu)化模型。Yang等[33]針對一體化的隔熱承載多功能熱防護結(jié)構進行了拓撲優(yōu)化設計，同時考慮了熱力約束。以上研究均考慮了傳熱與承載存在一定的矛盾，研究結(jié)果表明拓撲優(yōu)化能夠合理地進行兩者的協(xié)同。但現(xiàn)有工作均集中于承載與穩(wěn)態(tài)熱傳導性能為目標的結(jié)構設計，未充分考慮瞬態(tài)效應的影響。

實際工程中的隔熱結(jié)構往往要求是在一定時間要求下的隔熱。如10馬赫的飛行器飛行1萬公里用時不足1小時。隔熱結(jié)構只要能夠在工作時間內(nèi)阻止外部產(chǎn)生的熱量傳入內(nèi)部即可。因此，隔熱結(jié)構的設計必須考慮時間要素。已有的研究表明，與穩(wěn)態(tài)熱傳導不同，瞬態(tài)熱傳導結(jié)構的最優(yōu)拓撲結(jié)果與時間緊密相關，存在顯著的瞬態(tài)效應[34]。Wu等[35]已經(jīng)建立了以區(qū)域溫度控制函數(shù)作為目標的瞬態(tài)熱傳導結(jié)構的優(yōu)化模型。通過最小化特定位置的溫度，可以實現(xiàn)在不同隔熱時間要求條件下的最佳結(jié)構構型設計。然而，考慮瞬態(tài)效應的隔熱性能與承載能力的功能協(xié)同還需要進一步的探討。

本文的目標是研究建立考慮瞬態(tài)效應的承載多功能結(jié)構設計方法，探索瞬態(tài)效應對隔熱-承載多功能結(jié)構協(xié)同的影響。

2 拓撲優(yōu)化方法

2.1 問題描述

如圖1所示的熱防護結(jié)構，為一層布置于外部環(huán)境與內(nèi)部結(jié)構之間的承載隔熱多功能結(jié)構，在S1表面上同時受到外力和熱源的作用。為了防止外部熱流流入內(nèi)部結(jié)構，多功能結(jié)構中布置了隔熱材料，同時為了承受一定的力載荷，結(jié)構中還需要承載材料。由于承載隔熱多功能結(jié)構在x方向的尺寸往往遠大于在y方向的尺寸，所以本文選取其中一段進行研究，如圖1虛線包圍的范圍。其中S2和S3表面認為是周期性邊界，分析時可作為絕熱邊界；S4表面與內(nèi)部結(jié)構相接觸，其上溫度與流出的熱流依賴于內(nèi)部結(jié)構的性質(zhì)。在內(nèi)部結(jié)構未知的情況下，內(nèi)部結(jié)構的不確定造成熱防護結(jié)構設計困難。實際上，如果忽略其流出的熱量，則獲得的熱防護結(jié)構的設計將是保守的。為了簡化設計問題，同時也能保證設計的方案是滿足要求的，本文將S4邊界視作絕熱邊界。

圖1 承載隔熱多功能結(jié)構

如果不考慮結(jié)構的隔熱能力，熱流會經(jīng)由承載材料流入內(nèi)部結(jié)構，從而產(chǎn)生過高的溫度。因此S4區(qū)域的最高溫度不允許超過許用溫度。如果不考慮結(jié)構的承載要求，在結(jié)構中間設置隔熱層，由于隔熱材料的承載能力不足，結(jié)構會發(fā)生機械破壞。因此，如何設計一種合理的結(jié)構，能夠在保證隔熱要求的同時最大化其承載性能，是本文研究的目的。

結(jié)構的受力過程可通過靜力學性能描述。其基于有限元方法的離散形式的控制方程可表示為

KSU=F

(1)

式中U和F分別為全局位移和力向量，KS為全局剛度矩陣。

對于傳熱問題，需要考慮瞬態(tài)效應。離散形式的瞬態(tài)熱傳導的控制方程為

(2)

2.2 拓撲優(yōu)化模型

對于靜力學結(jié)構優(yōu)化問題，本文選取柔順性作為結(jié)構承載性能的描述指標，柔順性越小表明結(jié)構剛度越大，其定義為

c=UTKSU

(3)

對于瞬態(tài)熱傳導結(jié)構的優(yōu)化，關心區(qū)域Ωc內(nèi)的最高溫度可以作為隔熱性能的評價指標，如圖1中S4邊界上的最高溫度。但最高溫度點的位置會隨著材料分布的變化而變化，因此在某些情況下，最高溫度作為材料分布的函數(shù)是非連續(xù)的，而這種非連續(xù)性往往使優(yōu)化問題的求解變得困難。因此，直接以最高溫度作為目標或約束函數(shù)是不可取的。根據(jù)最大函數(shù)的光滑逼近理論，最高溫度可以近似表示為一個溫度控制函數(shù)，稱為區(qū)域溫度控制函數(shù)，其形式為

(4)

式中ξ(t)為某一時刻溫控區(qū)域Ωc內(nèi)最高溫度的近似，g則是整個工作時間內(nèi)溫控區(qū)域Ωc內(nèi)最高溫度的近似。a為大于1的正常數(shù)，且當a→+∝時，ξ(t)→max(T(x,t))，g→max(T(x,t))。

由于對結(jié)構進行了有限元離散，ξ(t)的積分形式可以由溫控區(qū)域Ωc內(nèi)有限個網(wǎng)格點的溫度近似表示為

(5)

式中Nc為溫控區(qū)Ωc內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點的總數(shù)，ni為溫控區(qū)內(nèi)整個網(wǎng)格中第i個網(wǎng)格點的節(jié)點號，Tni(t)為某一時刻ni節(jié)點處的溫度。

以柔順性為目標，區(qū)域溫度控制函數(shù)為約束函數(shù)，基于有限元形式描述的優(yōu)化模型為

Min:c(X)=UTKSU

Sub:g(X)≤g0

KSU=F

(6)

本文采用基于梯度的優(yōu)化算法求解式(6)的優(yōu)化模型，因此，敏度信息是非常重要的。目標函數(shù)c(X)關于設計變量的靈敏度為

(7)

式中ue和ke分別為單元位移向量和剛度矩陣，p′為懲罰因子(通常p′=3)。關于推導的更多細節(jié)，可以參考文獻[15]。

約束函數(shù)g(X)關于設計變量敏度的顯式解析表達式可以表示為

(8)

式中拉格朗日乘子l可通過伴隨狀態(tài)方程(9)求解得到，即

(9)

詳細推導過程可以參考文獻[35]。

3 算 例

為了驗證拓撲優(yōu)化模型的有效性，本文設計了兩個不同載荷和邊界條件的算例。兩個算例均為如圖2所示的方形結(jié)構，大小為100 mm×100 mm。使用的材料Mat-1為氣凝膠，具有較低的熱導率，而且其彈性模量為0，不具有承載性能；材料Mat-2為鈦合金，具有較高的承載能力，但是熱導率較高，占總面積的30%，具體參數(shù)列入表1。整個結(jié)構的初始溫度為0 ℃。

圖2 算例1的力位移邊界和熱邊界條件

表1 使用材料的材料屬性

3.1 固定溫度熱源和均布載荷底面支承

方形結(jié)構上邊界受到均布的壓力，下邊界固定豎直方向的位移，左右兩端為周期性邊界條件，如圖2(a)所示。同時上方的熱源為100 ℃的固定溫度，其余三邊絕熱，如圖2(b)所示，假設熱源工作時間為2000 s，討論不同許用溫度g0=(100 ℃，55 ℃，50 ℃，45 ℃，40 ℃)下的最優(yōu)結(jié)構設計。

圖3給出了在許用溫度為40 ℃時，整個拓撲優(yōu)化過程柔順性和底面最大溫度的迭代曲線?？梢钥闯?本文方法達到收斂的過程是平滑的，柔順性隨著優(yōu)化迭代不斷降低，并很快達到收斂，底面最大溫度隨著優(yōu)化迭代一開始是不斷上升的，當最大溫度達到40 ℃時就趨于平緩，許用溫度約束達到上限。整個迭代過程表明，求解方法有效，求解過程收斂性好。

圖3 柔順性和底面最大溫度迭代曲線

為討論瞬態(tài)效應引起的結(jié)構拓撲形式的變化，表2列出了五種不同許用溫度約束下獲得的結(jié)構拓撲、最終時刻的溫度場、底端最大溫度和結(jié)構柔順性。由表2可知，不同許用溫度獲得了不同的拓撲優(yōu)化結(jié)果。值得注意的是，當許用溫度為100 ℃時，最終拓撲的最大溫度為57.9 ℃，此時溫度約束并沒有發(fā)揮作用，該模型退化為柔順性最小問題。也就是說，當許用溫度低于57.9 ℃時，才會產(chǎn)生瞬態(tài)效應，隔熱才會發(fā)揮作用。當許用溫度從55 ℃逐漸減少到40 ℃時，結(jié)構拓撲也發(fā)生顯著的變化。主要體現(xiàn)在兩個方面,一是主要承力結(jié)構在載荷端呈現(xiàn)樹枝狀分布，枝干部分由上往下由細變粗，這樣可以減少流入的熱流；二是結(jié)構分布變得規(guī)則，這使得熱流往下流的過程中，可以經(jīng)過盡可能多的隔熱材料，從而將熱量暫時保存在隔熱材料中。對比拓撲在最終時刻的溫度場分布可以發(fā)現(xiàn)，溫度場中的紅色高溫區(qū)域逐漸上移，且結(jié)構底端趨向于均勻溫度，在水平方向不會出現(xiàn)溫差較大的區(qū)域。圖4 給出了許用溫度為100 ℃和40 ℃兩種拓撲結(jié)構在x方向3×1的陣列結(jié)構。

表2 不同許用溫度下獲得的最優(yōu)拓撲的性能

圖4 許用溫度為100 ℃和40 ℃兩種情況下得到的拓撲的陣列

從底面最大溫度看，許用溫度約束均達到約束的上限，結(jié)構滿足隔熱性能要求；同時，由于許用溫度的減少，也就是隔熱能力的要求提高，結(jié)構柔順性也逐漸增大，即結(jié)構的剛度逐漸降低。這些結(jié)果說明，為了滿足結(jié)構的隔熱性能，需要犧牲一定的承載性能，且隔熱性能要求越嚴苛，承載性能下降越多。另外，對五種拓撲結(jié)果進行分析，圖5給出了底面最大溫度隨時間的變化曲線，對五種拓撲結(jié)果的對比表明，不考慮隔熱的設計方案(許用溫度為100 ℃)，在大約1500 s時就到達了40 ℃，比嚴格控制隔熱性能的設計方案(許用溫度為 40 ℃)，提前了約500 s，但剛度損失約13%。以上結(jié)果證明，該優(yōu)化模型能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構承載與隔熱功能的協(xié)同設計。

圖5 五種拓撲結(jié)構底面最大溫度隨時間變化

3.2 固定熱流熱源和均布載荷兩端簡支

第二個算例中方形結(jié)構上邊界受到均布載荷，下邊界兩端簡支，左右兩端為周期性邊界條件，如圖6(a)所示。同時上方的熱源是固定熱流邊界 0.01W，其余三邊絕熱，如圖6(b)所示。假設底端的許用溫度為g0=60 ℃，討論不同熱源工作時間(850 s，900 s，950 s，1000 s)的最優(yōu)拓撲結(jié)構設計。

圖6 算例2的力位移邊界和熱邊界條件

圖7給出了在工作時間為1000 s時，整個拓撲優(yōu)化過程柔順性和底面最大溫度的迭代曲線?？梢钥闯?，本文方法達到收斂的過程是平滑的，柔順性隨著優(yōu)化迭代不斷降低，并很快達到收斂，底面最大溫度隨著優(yōu)化迭代一開始是不斷上升的，當最大溫度達到60 ℃時就趨于平緩，許用溫度約束達到上限。整個迭代過程表明，求解方法有效，求解過程收斂性好。

圖7 柔順性和底面最大溫度迭代曲線

表3給出了不同工作時間條件下得到的結(jié)構拓撲、最終時刻的溫度場、底端最大溫度和結(jié)構柔順性。值得注意的是，當工作時間足夠短(850 s)時，最終拓撲的底面溫度為57.5 ℃，小于許用溫度60 ℃，說明此時許用溫度約束不發(fā)揮作用，拓撲優(yōu)化結(jié)果為柔順性最小的設計。隨著工作時間的增加，拓撲結(jié)果主要發(fā)生兩個方面的變化，一是主要承力結(jié)構與載荷端的接觸面積不斷變少，枝干部分由上往下由細變粗，拱形結(jié)構不斷下降，這樣可以減緩熱流從上端往下流入。二是結(jié)構分布范圍不斷變大，在熱流往下流的過程中，熱流可以流入到隔熱材料中。由于隔熱能力的提高，在水平方向的溫度顏色由差異較大逐漸趨向于相同，即溫度分布逐漸趨向于均勻。從數(shù)值上來看，在不同工作時間條件下，許用溫度約束均達到上限。隨著需求的工作時間越長，結(jié)構所需要的隔熱能力也越強，此時，結(jié)構的柔順性也隨之升高，即結(jié)構承載能力下降。圖8給出了工作時間為850 s和1000 s兩種拓撲結(jié)構在x方向3×1的陣列結(jié)構。圖9對四種拓撲結(jié)果的對比表明，不考慮隔熱的設計方案(工作時間為850 s)，在1000 s時底面的最大溫度達到了82 ℃，比嚴格控制隔熱性能的設計方案(工作時間為1000 s)的最大溫度高了22 ℃，但剛度損失約23%。四種設計方案的對比證明，該優(yōu)化模型能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構承載與隔熱功能的協(xié)同設計。

表3 不同工作時間下獲得的最優(yōu)拓撲的性能

圖8 工作時間為850 s和1000 s時得到的拓撲的陣列

圖9 四種拓撲結(jié)構底面最大溫度隨時間變化

4 結(jié) 論

本文將靜力優(yōu)化中的柔順性和瞬態(tài)熱傳導優(yōu)化中的區(qū)域溫度控制函數(shù)相結(jié)合，建立了以單元密度為設計變量，以結(jié)構柔順性最小為目標函數(shù)，材料用量和區(qū)域溫度控制函數(shù)為約束條件的優(yōu)化模型，提出了一種考慮瞬態(tài)效應的面向承載-隔熱多功能結(jié)構的拓撲優(yōu)化方法。數(shù)值算例顯示，對于固定溫度和固定熱流兩種熱源，均布壓縮載荷和均布載荷兩端簡支兩種載荷工況下，本文拓撲優(yōu)化方法均能夠得到滿足隔熱要求的承載結(jié)構，從而驗證了本文方法的有效性。并且本文方法得到的拓撲結(jié)果能夠精確滿足不同許用溫度和不同工作時間的隔熱要求。