張 恒

(中鐵十九局集團有限公司 北京 100176)

1 引言

目前橋梁設計、施工計算中已經(jīng)普遍采用空間結構分析方法。在空間分析時，首要是把截面特性計算準確，不僅要計算截面和各主軸的慣性矩，還要包括自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)和約束扭轉(zhuǎn)分析的各種參數(shù)。自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計算是約束扭轉(zhuǎn)參數(shù)計算的基礎，對空間計算結果的影響也非常大。

當前計算截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的方法，一是針對簡單截面如矩形、圓形截面，使用理論公式計算。如果可以分割為多個矩形截面，可對每個小塊單獨計算再累加，這種簡化方法可用于對精度要求不高的情況。對于薄壁截面，可把截面簡化為多個帶厚度的線段，采用薄壁桿件扭轉(zhuǎn)理論進行計算[1－3]，這種方法結果精度較高但簡化截面工作量較大，且只對薄壁桿件有效。對于薄壁箱型截面，還可以采用空間有限元方法，按細長懸臂梁端部受純扭矩來建模，采用塊體單元計算[4－6]。由于細長桿件箱型截面約束扭轉(zhuǎn)效應較弱，此時計算出來的剛度就是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，這種方法計算量很大。另外一種方法是直接采用國外大型通用有限元軟件進行位移法平面有限元分析[7]，這種方法能計算任意截面形式，但代價較高[8－10]。

從這些研究成果可見，計算任意截面的自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，采用有限元方法，結果精度較高而且只要在CAD軟件畫出截面，不用大量的人工處理數(shù)據(jù)。但這種方法存在兩個問題:一個是位移法有限元計算的是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的上限，結果比理論值偏大；另一個是要計算滿足精度的結果，網(wǎng)格劃分要很密，實際計算中要從疏到密反復計算，計算量很大，如果一開始設置的網(wǎng)格太密，計算時間很長甚至可能超出軟件計算能力。

采用位移法有限元，其基本原理是從彈性三維問題入手引入假設，建立微分方程[11]，用翹曲函數(shù)作為未知量，按最小勢能原理建立有限元方程。還有一個思路是用應力函數(shù)作為未知量，按最小余能原理建立有限元方程，此種方法計算的結果是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的下限。綜合最小勢能原理和最小余能原理這兩種方法，采用二者結果平均值作為自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，就有可能解決單一方法剛度較大和自動選擇網(wǎng)格劃分尺寸的問題。

本文模型采用如圖1所示的等截面懸臂梁，坐標系沿桿件軸向為z軸，截面上為x、y軸，與z軸成右手坐標系。柱體一端固定，一端自由，自由端受外力扭矩。

圖1 等截面懸臂梁模型

2 最小勢能原理

3 最小余能原理

4 算例對比分析

4.1 矩形截面

如圖2所示，對于寬為1 m、高為2 m的矩形，其自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值為0.457，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結果。把三個計算結果與理論值對比，結果見表1，三種方法計算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線見圖3。

圖2 矩形截面(單位:m)

表1 矩形截面計算

圖3 三種方法計算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線

4.2 薄壁開口截面一

如圖4所示，針對寬為1 m、高1 m、壁厚0.04 m的薄壁開口截面，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為5.48×10－5。 把三個計算結果與理論值對比，結果見表2，計算結果對比見圖5。

圖4 薄壁開口截面一(單位:m)

表2 薄壁開口截面一計算結果

圖5 計算結果對比(截面一)

4.3 薄壁開口截面二

對于圖6的薄壁開口截面，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為0.000 128。把三個計算結果與理論值對比，結果見表3，計算結果對比見圖7。

圖6 薄壁開口截面二(單位:m)

表3 薄壁開口截面二計算結果

圖7 計算結果對比(截面二)

5 結論與展望

(1)通過計算值與理論值對比可以看出，在網(wǎng)格劃分規(guī)模相同、計算量基本相同的情況下，用本文的計算方法比只用位移法求解結果精度大大提高。

(2)采用相同誤差控制結果精度的情況下，無論求解時間和絕對精度本文所述方法更好，而且在網(wǎng)格劃分較疏、單元個數(shù)較少的情況下，就表現(xiàn)出較高精度。

(3)用新方法雖然要求解兩次，但二者可以共用同一個網(wǎng)格，而且單元剛度矩陣相同，所以計算量與位移法相比略大。

(4)對于薄壁開口截面，使用新方法對提高精度的效果尤其明顯。

(5)本文采用了三節(jié)點三角形單元，為了能提高計算精度，更好地適應鋼梁截面的計算，有必要對本文方法采用高次單元，如八節(jié)點四邊形等參元，展開進一步的研究。

(6)對于閉口截面，最小勢能原理的方法依然可以計算，但最小余能原理中邊界條件，即公式(5)，只對非閉口截面有效，因此閉口截面的最小余能原理計算方法需要進一步研究。