畢佳偉 李水龍

(1、中國地震局工程力學(xué)研究所，黑龍 江哈爾濱 150080 2、中國地震局地震工程與工程振動重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍 江哈爾濱 150080 3、福建省地震局，福建 福州 350003)

地震是發(fā)生較為頻繁的自然災(zāi)害之一，每年因地震都會造成巨大的傷害和經(jīng)濟(jì)損失。地震發(fā)生是隨機(jī)且不可預(yù)測的，這就給防災(zāi)減災(zāi)帶來了極大困難。所以，模擬出與實(shí)際地震動與特定場地相符合的地震記錄能減少地震帶來的損害，也對未來可能發(fā)生地震時結(jié)構(gòu)或社會提供預(yù)防措施。地震動模擬可分為兩大理論體系：一種是基于地震學(xué)方法，另一種是基于工程方法[1]。地震學(xué)方法又可分為確定性方法、隨機(jī)方法和寬頻帶模擬方法，其中應(yīng)用最為廣泛的是隨機(jī)有限斷層法。地震學(xué)方法考慮地震動在傳播過程中物理本質(zhì)，但因地球內(nèi)部構(gòu)造以及地震傳播過程中是未知和復(fù)雜的，所以地震學(xué)方法要利用大量物理參數(shù)才能模擬出相應(yīng)的地震記錄。工程方法把地震動時程記錄看作為隨機(jī)過程并且利用以前記錄到的強(qiáng)震記錄，從數(shù)學(xué)統(tǒng)計關(guān)系的角度分析地震動參數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系。工程學(xué)方法操作簡單，需要的參數(shù)少，在實(shí)際地震動模擬中應(yīng)用最為廣泛。工程方法依賴于提出的隨機(jī)過程模型，由強(qiáng)度非平穩(wěn)模型逐步發(fā)展到同時具有強(qiáng)度非平穩(wěn)性和頻率非平穩(wěn)性的模擬方法，如基于傅里葉譜或功率譜的三角級數(shù)法、小波變換法以及小波包變換等。本文以工程法中地震動模擬方法為基礎(chǔ)，介紹了不同發(fā)展階段出現(xiàn)的模擬模型，并且對工程上常用的三角級數(shù)法進(jìn)行介紹和研究。

1 工程地震動模擬

在模擬地震動的早期發(fā)展階段，僅考慮了真實(shí)地震動的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，即地震動時程記錄從初始階段上升為強(qiáng)震平穩(wěn)極端，再由平穩(wěn)階段逐步衰減到0 的過程。隨著相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，地震動頻率非平穩(wěn)性也得到廣泛關(guān)注。地震動模擬模型出現(xiàn)考慮不同特性的階段。

1.1 強(qiáng)度非平穩(wěn)模型

Housner[2]把地震動描述成大小一定在時間上隨機(jī)分布的脈沖的疊加，即

1.2 頻率非平穩(wěn)模型

真實(shí)地震記錄在頻率上也存在非平穩(wěn)特性，Kanai 最早注意到將白噪聲通過線性濾波器可表征地震動的頻率分量的非平穩(wěn)性。在此基礎(chǔ)上Kanai 提出了現(xiàn)被廣泛使用的金井清譜。

1.3 強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)模型

隨著人們對于地震動的認(rèn)識不斷加強(qiáng)，模擬的地震動也都要求同時包含強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性，這也使得人工合成的地震動記錄與真實(shí)記錄更為相似。傅里葉變換、小波變換和小波包變換等頻譜表示方法可合成同時具有強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)性的地震動記錄。對于傅里葉譜和功率譜可通過三角級數(shù)法合成地震動記錄，計算公式如下所示：

圖1 顯示了利用三角級數(shù)法合成的地震動記錄，可以看出合成的地震動記錄與真實(shí)地震動差距很小。分析上述公式可知，三角級數(shù)法中只有三個參量：強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)、幅值譜和相位譜。故若能計算出與實(shí)際地震動記錄相似的三個參量即可模擬出同時具有強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)性的地震動記錄。

圖1 實(shí)測地震動和模擬地震動比較

此外，小波變換和小波包變換為新興的頻譜表示方法，相比于傅里葉變換這種只能展示出單一的頻域信息，小波變換和小波包變換能表示頻率隨時間變化的特征，小波變換和小波包變換分別如公式(9)和(10)所示。公式(11)為小波包系數(shù)重構(gòu)過程，相比于三角級數(shù)法把地震動看作是非平穩(wěn)隨機(jī)過程，計算得到的僅為近似值，而通過小波系數(shù)或小波包系數(shù)重構(gòu)得到的記錄完全等價于實(shí)際強(qiáng)震動記錄。圖2 顯示了宮城縣地震中IWTH04 臺站垂直向強(qiáng)震記錄的小波包系數(shù)。Spanos[5]利用小波變換并選取諧小波作為母小波，得出地震動時變譜?？追瞇6]通過對地震動進(jìn)行小波變換，從而估計出非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度。Yamamoto[7]通過13 個參數(shù)表征了小波包系數(shù)的分布，再對擬合后的小波包系數(shù)重構(gòu)生成模擬地震動記錄。結(jié)合以往學(xué)者們的研究可以得出：小波變換用于估計地震記錄的時變功率譜密度，而小波包變換則直接用于模擬地震動。然而，小波變換或小波包變換產(chǎn)生的小波包系數(shù)難以匹配合適的模型對其擬合。所以在實(shí)際工程中多用三角級數(shù)法合成地震動。

圖2 實(shí)測地震動和模擬地震動比較

2 相位差譜概述

在三角級數(shù)法中，相位譜表現(xiàn)了地震動在傳播過程中頻率分量的變化特點(diǎn)。以往只是簡單地把相位譜看作是[-π ,π]范圍內(nèi)的均勻分布。圖3(a)為兩個不同臺站記錄的相位譜比較，從圖中可以看出兩個地震記錄的相位譜有很大差距且均不符合均勻分布。相位差譜為相位譜的一階差分，日本學(xué)者Ohsaki[8]最早注意到相位差譜的分布特點(diǎn)。圖3(b)顯示了兩個示例地震動記錄的相位差譜的分布，相位差譜比相位譜存在明顯的分布特征。依據(jù)相位差譜的分布特點(diǎn)，Thráinsson 按照幅值譜的大小將相位差譜分為三組，發(fā)現(xiàn)每組相位差譜的部分均符合貝塔分布。趙新風(fēng)利用平滑后得到的脈動相位差的分布，發(fā)現(xiàn)其滿足對數(shù)正態(tài)分布，由此可隨機(jī)生成相位差譜。把相位差譜看作是某一概率分布，雖然符合自身的分布特點(diǎn)，但生成的時候具有很大的隨機(jī)性，因此對于相位差譜隨頻率分布的特點(diǎn)仍需進(jìn)一步研究。

圖3 相位譜和相位差譜示例說明

3 結(jié)論

本文對基于工程理論的地震動模擬方法進(jìn)行研究，介紹目前應(yīng)用較多的三角級數(shù)法、小波變換及小波包變換的優(yōu)缺點(diǎn)并結(jié)合實(shí)際地震動時程的計算結(jié)果，說明小波變換和小波包雖在頻率特性的表現(xiàn)上優(yōu)于三角級數(shù)法，但因其參數(shù)復(fù)雜，不易擬合，故應(yīng)用范圍較小。另外，對相位譜和相位差譜的研究，表明相位譜簡單地看作均勻分布是不符合實(shí)際的，而相位差譜的分布規(guī)律較為明顯。雖然現(xiàn)階段模擬方法已能完全表征地震動的非平穩(wěn)特性，但在時程幅值的準(zhǔn)確性上有待加強(qiáng)。因此，小波變換和小波包變換模型的發(fā)展以及與地震學(xué)結(jié)合的方法都是未來模擬地震動的主要發(fā)展方向。