文／范建兵

折疊問(wèn)題是初中幾何的重要內(nèi)容之一。在四邊形這塊內(nèi)容里，我們時(shí)常遇到各種特殊四邊形中的折疊問(wèn)題，試著動(dòng)手疊一疊，發(fā)現(xiàn)方法，以此解決不同的問(wèn)題。

一、矩形中的折疊問(wèn)題

例1如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，連接AE。求重疊部分△DBF的面積。

圖1

【點(diǎn)撥】這是一個(gè)大家比較熟悉的折疊狀態(tài)，解題時(shí)需要把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是確定△DBF的形狀，由“折疊+平行”可得△DBF是等腰三角形（也可以借助△ABF≌△EDF證得）；二是計(jì)算線(xiàn)段DF的長(zhǎng)度，在Rt△AFB中運(yùn)用勾股定理可求得BF的長(zhǎng)，最后再計(jì)算△DBF的面積。

二、菱形中的折疊問(wèn)題

例2如圖2，在菱形紙片ABCD中，AB=8，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，求EG的長(zhǎng)。

圖2

【點(diǎn)撥】求線(xiàn)段的長(zhǎng)，常用的方法有兩種：一種是借助特殊圖形直接進(jìn)行計(jì)算，另一種是尋找相等線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)換。本題中由折疊可得AG=GE，故要想計(jì)算EG或AG的長(zhǎng)，最好能夠?qū)⑺鼈兎旁谝粋€(gè)特殊圖形中（如直角三角形等）。因此，可以過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，構(gòu)造出含有EG邊的直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算得出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)。

三、正方形中的折疊問(wèn)題

例3如圖3，M、N分別在正方形ABCD的邊AD、BC上，將正方形沿MN折疊后，點(diǎn)D落在邊AB上的D′處，C落在C′處，連接DD′。

圖3

（1）求證：∠AD′D=∠DMN；

（2）若AD=6，AD′=2，求折痕MN的長(zhǎng)。

【點(diǎn)撥】（1）由折疊性質(zhì)知MN⊥DD′，又因?yàn)椤螦=90°，所以∠ADD′與∠DMN互余，∠ADD′與∠AD′D互余，所以∠DMN=∠AD′D；（2）所求折痕MN的長(zhǎng)，其實(shí)就是線(xiàn)段DD′的長(zhǎng)。過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AD于點(diǎn)E，容易證明△ENM≌△ADD′，從而MN=DD′。而DD′的長(zhǎng)可以在Rt△ADD′中根據(jù)勾股定理求出。

從上面的三個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn)，折疊問(wèn)題的融合性強(qiáng)，不僅考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，還考查了特殊圖形（如矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等。解決折疊問(wèn)題，我們需要處理好以下兩個(gè)難點(diǎn)。

一是識(shí)圖難。結(jié)合題意看懂圖形、理解圖形是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵要素。折疊問(wèn)題中的圖形往往呈現(xiàn)給我們的是“疊”的結(jié)果，而沒(méi)有“折”的過(guò)程。因此，大家不妨動(dòng)手試試，先在動(dòng)態(tài)的折疊過(guò)程中感受折疊的變化，觀察變與不變，然后思考其中蘊(yùn)含的相關(guān)性質(zhì)，最后再考慮折疊結(jié)果中的問(wèn)題。在動(dòng)態(tài)的折疊中思考靜態(tài)的結(jié)果，尋找熟悉的、常用的解題模型，合理地理解圖形、分析圖形。

二是計(jì)算難。計(jì)算的前提是知道算什么和怎么算。因此，在解決折疊問(wèn)題時(shí)常常需要思考以下問(wèn)題：（1）以什么為軸進(jìn)行折疊；（2）折疊前后邊或角的數(shù)量關(guān)系；（3）折疊是否產(chǎn)生了新的特殊圖形，如等腰三角形、直角三角形等；（4）要計(jì)算的線(xiàn)段或角，在哪些圖形中可以求得，怎樣求更合理。實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：折疊常伴等腰，這便于我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中快速尋找相等的線(xiàn)段或角；折疊常用勾股，這便于我們?cè)谟?jì)算中更方便、更快捷、更合理。