文 /錢秀梅

引 言

為促使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成高階數(shù)學(xué)思維，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、深入探究，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度參與，使其獲得深度思維，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的層次。但是應(yīng)該選擇怎樣的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)？教師在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)做哪些引導(dǎo)？學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有沒有限度？這些問(wèn)題都需要教師進(jìn)行思考。文章結(jié)合筆者之前的一個(gè)教學(xué)片段，就驅(qū)動(dòng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)展開討論。

一、深度學(xué)習(xí)，引發(fā)思考

在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”一課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：“一個(gè)長(zhǎng)方形木框的長(zhǎng)是40厘米，寬是24厘米，一個(gè)半徑為2厘米的圓環(huán)在木框內(nèi)部沿著四條邊繞一圈，圓心經(jīng)過(guò)的軌跡長(zhǎng)度為多少厘米？如果繞著木框的外面繞一圈，圓心經(jīng)過(guò)的軌跡長(zhǎng)度又是多少厘米？”

在學(xué)生嘗試獨(dú)立解答時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學(xué)生畫了圖。在組織學(xué)生交流時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生輕松解決了第一個(gè)問(wèn)題，而第二個(gè)問(wèn)題不出意外地“全軍覆沒”了。于是筆者提示學(xué)生利用手中的模型模擬圓環(huán)滾動(dòng)的過(guò)程，觀察圓環(huán)繞木框內(nèi)部和外部滾動(dòng)一圈時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡是不是相似的。一段時(shí)間之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了以下問(wèn)題。如圖1所示，圓環(huán)在木框內(nèi)部滾動(dòng)時(shí)，圓心運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)小的長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)度比木框的長(zhǎng)短4厘米，寬度也比木框的寬短4厘米。但是當(dāng)圓環(huán)在長(zhǎng)方形木框的外部滾動(dòng)一圈時(shí)，其圓心最多到達(dá)長(zhǎng)方形頂點(diǎn)的上方，無(wú)法到達(dá)圖示位置（如圖2）。所以，當(dāng)圓環(huán)繞木框外部滾動(dòng)一周時(shí)，其圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡并不是一個(gè)長(zhǎng)方形。結(jié)合圖示和操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓心到達(dá)長(zhǎng)方形頂點(diǎn)正上方時(shí)，圓開始繞著長(zhǎng)方形的這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)四分之一周，結(jié)合四個(gè)頂點(diǎn)處圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)生可以知道圓心經(jīng)過(guò)的軌跡長(zhǎng)度為一個(gè)完整的圓的周長(zhǎng)與長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和。通過(guò)解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生受到很多啟發(fā)。

圖2

圖1

學(xué)生最初為什么會(huì)“全軍覆沒”呢？經(jīng)驗(yàn)主義起到了絕對(duì)的作用，在解決圓環(huán)繞著木框內(nèi)部滾動(dòng)一圈的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓心能夠到達(dá)的極限位置，這讓他們?cè)诮鉀Q第二個(gè)問(wèn)題時(shí)很自然地將之前的經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)。在教師展示了幾個(gè)學(xué)生畫的靜態(tài)示意圖后，學(xué)生并沒有意識(shí)到這兩種滾動(dòng)有什么不同，而只有在繼續(xù)深入探析圓心到達(dá)長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)正上方之后會(huì)不會(huì)繼續(xù)沿著原來(lái)的方向行進(jìn)到圖示位置時(shí)，才意識(shí)到圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡跟之前不同。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的探究有了動(dòng)力，有了基礎(chǔ)，有了方向。

回溯整個(gè)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)由淺入深，對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)逐層遞進(jìn)，這樣的學(xué)習(xí)是有深度的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的。

二、深度學(xué)習(xí)，“深”在何處

深度學(xué)習(xí)的“深”不應(yīng)當(dāng)是艱深的意思，不是指在教學(xué)過(guò)程中要有意加強(qiáng)練習(xí)的難度和繁雜程度，適合學(xué)生的教學(xué)才是最有效的。教師在教學(xué)時(shí)，要根據(jù)不同年齡段學(xué)生的認(rèn)知能力和心理發(fā)展水平，把握教學(xué)的“度”，力求切合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，而不是超越學(xué)生的認(rèn)知“天花板”，這樣的教學(xué)才能令學(xué)生感到有價(jià)值、有意義[1]。因此，深度學(xué)習(xí)的“深”應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容能引發(fā)學(xué)生的真思考，推動(dòng)學(xué)生的思維向縱深處發(fā)展；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在教學(xué)方式能推動(dòng)學(xué)生的真探究，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中體驗(yàn)真實(shí)的問(wèn)題解決過(guò)程；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在需要通過(guò)集思廣益才能解決的較高難度問(wèn)題的探討環(huán)節(jié)；應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程后的深入的體會(huì)和深切的啟發(fā)[2]。

在教學(xué)“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)首先想到的就是讓學(xué)生深入生活，探索生活中有哪些百分?jǐn)?shù)，用在什么地方，這些數(shù)與分?jǐn)?shù)有什么不同，用法上有什么差別。因此，筆者先預(yù)設(shè)導(dǎo)學(xué)案，要求學(xué)生收集一些生活中典型的百分?jǐn)?shù)，結(jié)合具體的百分?jǐn)?shù)體會(huì)其含義，并將自己的收獲及遇到的疑難問(wèn)題記錄下來(lái)。學(xué)生很快辨析出百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的不同，百分?jǐn)?shù)只用來(lái)表示分率，而不能表示具體的數(shù)量。在交流“百分?jǐn)?shù)不能表示具體的數(shù)量，所以百分?jǐn)?shù)后面不加單位名稱”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，一個(gè)學(xué)生的分享內(nèi)容給筆者帶來(lái)了驚喜。這位學(xué)生表示自己在收集百分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)后面都沒有單位，所以他意識(shí)到百分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，不能表示某一個(gè)具體的數(shù)值。但是他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)酒瓶上的百分?jǐn)?shù)后面有“vol”字樣，于是通過(guò)查閱資料來(lái)驗(yàn)證“vol”是不是單位名稱，然后找出了該字符的具體含義。他列舉的這個(gè)案例不僅驗(yàn)證了其他學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，還拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有力地詮釋了什么是好的學(xué)習(xí)、有效的學(xué)習(xí)，同時(shí)也給其他學(xué)生帶來(lái)了啟發(fā)。

在這節(jié)課上，筆者也展示了自己收集到的一些百分?jǐn)?shù)，這些百分?jǐn)?shù)來(lái)自一種飲料的營(yíng)養(yǎng)成分表。最初，學(xué)生認(rèn)為這里的百分?jǐn)?shù)表示的是某一種元素在整個(gè)飲料中的配比，但當(dāng)他們看到其中一個(gè)營(yíng)養(yǎng)元素的百分?jǐn)?shù)超過(guò)100%時(shí)，立即推翻了自己之前的想法。當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生困惑時(shí)，筆者引導(dǎo)他們從不同角度猜想這里的百分?jǐn)?shù)含義。學(xué)生的猜想集中指向飲料不是單位“1”。對(duì)此，筆者表示贊許，隨后解開了學(xué)生的疑問(wèn)，讓他們知道這些百分?jǐn)?shù)的單位“1”是正常人一天對(duì)該元素的需求量。

三、深度學(xué)習(xí)，如何去“深”

（一）深度經(jīng)歷

方法比知識(shí)重要，過(guò)程比結(jié)果重要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生不僅需要知道一類問(wèn)題的解法，還要把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，從根本上理解問(wèn)題，這樣的學(xué)習(xí)才是有效的、有價(jià)值的、有深度的。換個(gè)角度來(lái)看，當(dāng)學(xué)生忘記了具體的知識(shí)時(shí)，如果能夠從根源出發(fā)，將知識(shí)和規(guī)律再現(xiàn)，也可以達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

例如，在一年級(jí)“十幾減九”的教學(xué)中，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)新課之前已經(jīng)能夠熟練計(jì)算減數(shù)是9的減法，同時(shí)，他們知道可以用被減數(shù)個(gè)位上的數(shù)加上1求得答案，但是這只能說(shuō)明學(xué)生具備了一定的運(yùn)算技能。教師如果只通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練來(lái)鞏固學(xué)生的運(yùn)算技能，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)只能流于表面。在實(shí)際教學(xué)中，教師只有讓學(xué)生面對(duì)“十幾減九”的實(shí)際情況，經(jīng)歷探索算法的過(guò)程，逐步優(yōu)化算法，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)落到本質(zhì)上。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，筆者首先創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生列出“13－9”這個(gè)算式，然后自己想辦法從13中把9分出去。學(xué)生提出幾種不同的思路：（1）看圖數(shù)一數(shù)；（2）“破十法”，先將13分成10與3，用10減去9得到1，與剩下的3相加得到4；（3）“平十法”，先從13中減去3，再減6，這樣得到4；（4）“想未知加數(shù)法”，思考加法中9＋（ ）＝13，就知道減法算式的差是4。在交流了這些方法后，大部分學(xué)生選擇的方法是“破十法”，也有學(xué)生選擇其他方法。對(duì)此，筆者不置可否，將被減數(shù)從11到18依次列出來(lái)，讓學(xué)生計(jì)算減去9后的差是多少。在羅列出所有算式的答案后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生去觀察和比較，使其發(fā)現(xiàn)“差比被減數(shù)個(gè)位上的數(shù)大1”這個(gè)規(guī)律。由此，筆者再追問(wèn)學(xué)生“1從何而來(lái)”？結(jié)合“破十法”，學(xué)生就理解了“1”是10減去9得到的。在探析規(guī)律的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“破十法”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，自然而然地選擇使用這個(gè)方法來(lái)計(jì)算。這就為之后學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)的退位減法打下了基礎(chǔ)，同時(shí)，其他方法的出現(xiàn)也拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。學(xué)生在這樣的課堂上收獲滿滿。

（二）深度建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)本身的關(guān)聯(lián)性和邏輯性對(duì)學(xué)生構(gòu)建整體數(shù)學(xué)體系是有幫助的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師不能著眼于單個(gè)知識(shí)，而是要將知識(shí)放到合適的背景中，讓知識(shí)回歸本原體系，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)才能觸類旁通，建構(gòu)完整的知識(shí)體系。學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)體系時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知一定是立體的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定是深入的、深刻的。

例如，在“認(rèn)識(shí)公頃”的教學(xué)中，筆者單刀直入：“今天我們將一起來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的面積單位。”同時(shí)，板書課題“認(rèn)識(shí)公頃”。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生提出在看到這個(gè)課題后想到哪些問(wèn)題。學(xué)生立即回憶起之前學(xué)過(guò)的幾個(gè)面積單位，提出了一些有價(jià)值的問(wèn)題，如“這個(gè)面積單位比平方米大還是比平方米小”“它和之前學(xué)習(xí)的面積單位有什么關(guān)系”“為什么這個(gè)面積單位不叫作平方什么”等。在記錄下學(xué)生的問(wèn)題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生從平方米入手，將面積單位與正方形的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，并告知學(xué)生“公頃這個(gè)面積單位大小是一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正方形的面積大小”。由此展開學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅想象出這個(gè)面積單位的面積大小，還得出公頃和平方米之間的換算關(guān)系，并根據(jù)“平方米和公頃之間還有一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正方形大小的面積單位”得出“公頃不叫平方百米就是因?yàn)檫@個(gè)面積單位比較特殊”。筆者肯定了學(xué)生將公頃叫作平方百米的想法，并介紹了“公畝”這個(gè)單位，將整個(gè)知識(shí)體系補(bǔ)充完整。經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生對(duì)“公頃”這個(gè)面積單位的認(rèn)識(shí)維度更多元，對(duì)整個(gè)面積單位體系的建構(gòu)更完備，此后對(duì)“平方千米”的認(rèn)識(shí)也就水到渠成。

（三）深層追問(wèn)

追問(wèn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種有效手段，可以促進(jìn)學(xué)生的深度思考，讓學(xué)生循著現(xiàn)象去探索內(nèi)在的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)規(guī)律。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要審時(shí)度勢(shì)，把握學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑難點(diǎn)，從學(xué)生的困惑出發(fā)，引出問(wèn)題，通過(guò)深層追問(wèn)推動(dòng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

例如，在學(xué)習(xí)“間隔排列”的規(guī)律時(shí)，學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)兩種不同物體在間隔排列中可能出現(xiàn)的幾種排列方式，并用圈圓圈的方法將不同排列方式下物體的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)一種物體兩端都有時(shí)，個(gè)數(shù)比中間的物體個(gè)數(shù)多1，當(dāng)一種物體只有一端有而另一端沒有時(shí)，兩種物體的數(shù)量是相同的。由此，結(jié)合生活中的一些實(shí)例，學(xué)生不僅牢牢記住了規(guī)律，還能熟練運(yùn)用規(guī)律去解決相關(guān)的問(wèn)題。

四、深度學(xué)習(xí)，意義深遠(yuǎn)

深度課堂是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的追求，在深度課堂上推動(dòng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。

（一）深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生更獨(dú)立

深度學(xué)習(xí)的形成有兩個(gè)基本維度，一是讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，讓學(xué)生遇到有價(jià)值的問(wèn)題，圍繞問(wèn)題展開研究、交流；二是讓學(xué)生通過(guò)各種形式展開深入思考，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，獲取數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)。真實(shí)的問(wèn)題會(huì)讓學(xué)生更獨(dú)立。例如，在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)升和毫升”時(shí)，如果紙上談兵，學(xué)生的量感養(yǎng)成比較困難；如果讓學(xué)生走進(jìn)生活、走進(jìn)超市，讓學(xué)生從1毫升、10毫升再到100毫升和1000毫升去感知、體驗(yàn)，學(xué)生不僅會(huì)對(duì)這樣的容積單位有深刻的認(rèn)識(shí)，還可以增強(qiáng)量感，并在學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

（二）深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生更自信

數(shù)學(xué)是思維的“體操”，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的思維靈活度，還能滿足學(xué)生的內(nèi)在需求，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信，培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。例如，教師在數(shù)學(xué)課上與學(xué)生一起玩“搶15”的游戲，規(guī)定一次可以按順序報(bào)一個(gè)或兩個(gè)數(shù)字，最終報(bào)到15的人獲勝。教師讓學(xué)生先報(bào)數(shù)，反復(fù)幾次，參賽的學(xué)生都以失敗告終。這時(shí)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)就聚集到游戲規(guī)則上，從而領(lǐng)悟關(guān)鍵點(diǎn)，并由此展開探索。在學(xué)生成功發(fā)現(xiàn)“奧秘”之后，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信會(huì)油然而生。

結(jié) 語(yǔ)

總之，深度學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響意義非凡，能夠讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓學(xué)生獲益匪淺。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，引領(lǐng)學(xué)生去探索、辨析、建構(gòu)、領(lǐng)悟，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，打造卓有成效的深度課堂。