劉 浩，婁 欽，黃一帆

（1.上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093；2.上海市動力工程多相流動與傳熱重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200093）

引 言

近幾十年來，微流控技術(shù)制備液滴由于具有安全性高、易于控制、大小均一，以及單分散性好等眾多優(yōu)點(diǎn)而迅速發(fā)展，并得到了工業(yè)界與學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注.工業(yè)上，制備液滴微流控的常見通道有T 型通道、雙T 型通道、十字型通道和Y 型通道等.其中T 型微通道裝置因結(jié)構(gòu)簡單、加工容易等性能已在藥物輸運(yùn)[1]、單細(xì)胞分析[2]、液滴微反應(yīng)器[3]等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用.

近年來眾多學(xué)者研究了T 型微通道內(nèi)液滴產(chǎn)生的機(jī)理.Zhao 等[4]用實(shí)驗(yàn)方法研究了毛細(xì)數(shù)、黏度比、流量比以及通道管徑對液滴尺寸的影響，發(fā)現(xiàn)了與所研究的其他因素相比，流量比對液滴形成尺寸的影響更大.Han 等[5]用數(shù)值方法研究了流量比、連續(xù)相黏度、界面張力以及接觸角對三維T 型微通道內(nèi)液滴形成尺寸的影響，發(fā)現(xiàn)形成液滴的尺寸隨流量比和界面張力的增大而增大，隨連續(xù)相黏度和接觸角的增大而減小.另一方面，一些學(xué)者研究了壁面潤濕性對液滴形成的影響.Li 等[6]用VOF(volume of fluid)研究了疏水表面上液滴的形成過程.發(fā)現(xiàn)截面的速度分布隨著滑移長度的增加越來越平坦，同時垂直于T 型微通道壁面的速度梯度越來越小，液滴直徑越來越大.Shi 等[7]用格子Boltzmann 方法(lattice Boltzmann method，LBM)研究了流量比、毛細(xì)數(shù)Ca、幾何形狀以及潤濕性對T 型微通道內(nèi)液滴形成尺寸和形狀的影響.研究發(fā)現(xiàn)，液滴尺寸和形狀不僅取決于流量比、Ca等流體性質(zhì)，還取決于T 型通道的幾何形狀和壁面潤濕性.除了液滴形成尺寸外，還有一部分學(xué)者研究了液滴的流型分布.Liu 等[8]研究了不同潤濕性時，Ca、流量比、黏度比對T 型微通道內(nèi)流型的影響，得到了液滴流型從擠壓（squeezing regime）轉(zhuǎn)變到液滴（dripping regime）的臨界Ca，并發(fā)現(xiàn)該臨界Ca與流量比、黏度比和接觸角無關(guān).Fallah 等[9]在研究T 型微通道內(nèi)Newton 液滴在Newton 流體中形成機(jī)理時，觀察到了三種流型(平行(parallel regime)、擠壓和液滴)，并發(fā)現(xiàn)了微通道幾何形狀對液滴大小和液滴之間的距離有很大影響.

以上工作都是基于Newton 液滴在Newton 流體中形成機(jī)理而開展的，現(xiàn)實(shí)生活與工業(yè)應(yīng)用中廣泛存在著T 型微通道中Newton 液滴在非Newton 流體中運(yùn)動的現(xiàn)象.近年來，已有大量學(xué)者研究了Newton 液滴在非Newton 流體中運(yùn)動過程.Glawdel 等[10]采用實(shí)驗(yàn)方法觀察到了T 型微通道內(nèi)Newton 液滴在非Newton 流體中形成的三個階段：填充階段、頸縮階段以及滯后階段.他們認(rèn)為滯后階段是液滴形成后界面回縮的主要原因.Fu 等[11]觀察到了T 型微通道內(nèi)非Newton 流體的四種典型的流型：段塞流、液滴流、射流以及平行流，并指出非Newton 流體的濃度越大液滴流和平行流的區(qū)域越大.黃一帆等[12]采用LBM 研究了冪律流體液滴在T 型微通道內(nèi)運(yùn)動及流型變化，結(jié)果表明，非Newton 流體液滴在T 型通道內(nèi)存在阻塞破裂、隧道破裂和不破裂三種流型.以上的學(xué)者主要研究了液滴在非Newton 流體的流型，對于液滴的形成機(jī)理并未系統(tǒng)研究.Sang 等[13]研究了黏度比對非Newton 液滴在Newton 流體中形成尺寸的影響，發(fā)現(xiàn)了在冪律流體中，液滴直徑隨黏度比和冪律指數(shù)的增大而減小；在Bingham 流體中，液滴體積隨黏度變化不大，但隨著屈服應(yīng)力的增大，液滴延伸明顯增大.Sontti 等[14]用CFD(computational fluid dynamics)分析了冪律流體的冪律指數(shù)、Newton 流體和冪律流體流量變化以及兩相表面張力對液滴形成尺寸的影響，發(fā)現(xiàn)了冪律流體的冪律指數(shù)越大，產(chǎn)生的液滴尺寸越??；表面張力越大，產(chǎn)生的液滴尺寸越??；并且Newton 相和非Newton 冪律流體相的流量比對產(chǎn)生的液滴尺寸有顯著影響.目前已有相關(guān)文獻(xiàn)用LBM 研究液滴在冪律流體中的運(yùn)動規(guī)律.Chiarello等[15]通過LBM 研究了T 型微通道內(nèi)液滴在剪切變稀流體內(nèi)的運(yùn)動過程，主要分析了Ca和流量比對液滴尺寸的影響，得到的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.Gupta 等[16]用LBM 研究了Ca較小時液滴在黏彈性流體和Newton 流體中運(yùn)動時尺寸的變化.Shi 等[17]用LBM 研究了冪律指數(shù)n、表面張力、兩相黏度比對T 型微通道內(nèi)Newton 液滴在非Newton 流體中形成的影響，結(jié)果表明液滴尺寸、液滴產(chǎn)生頻率和液滴脫離點(diǎn)均隨冪律指數(shù)的變化而變化.

以上研究工作說明，T 型微通道中流變參數(shù)，如Ca、黏度比和流量比對T 型微通道內(nèi)液滴的形成機(jī)理有重要的影響.然而目前的研究工作中存在冪律指數(shù)范圍較小，流變參數(shù)考慮不全面以及管道內(nèi)潤濕性問題考慮較少等不足，鑒于此，本文采用LBM 進(jìn)一步研究了T 型微通道中液滴在冪律流體中的形成機(jī)理，主要研究了冪律指數(shù)n、Ca、兩相流量比Q、兩相黏度比M以及主管道固體壁面的潤濕性（潤濕性大小用接觸角θ 來表征）對液滴的形成尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響.

1 不可壓冪律流體格子Boltzmann 模型

LBM 已被證明是一種有效的模擬復(fù)雜流動的方法[18-21]，相對于傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法，LBM 具有計算效率高、處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，被眾多學(xué)者用來研究多相流動等問題.本文采用Lou 等[22]提出的非Newton 不可壓兩相流模型研究T 型微通道內(nèi)液滴在冪律流體中的形成機(jī)理.

1.1 格子Boltzmann 模型

在Lou 等提出的非Newton 不可壓兩相流模型中用兩個分布函數(shù)，例如指標(biāo)分布函數(shù)fα和壓力分布函數(shù)gα，分別描述指標(biāo)參數(shù)和速度/壓力的演化過程，兩個分布函數(shù)可以寫為以下形式：

其中α=0,1,2,···,b-1,b為離散速度方向個數(shù)；x和t分別表示粒子運(yùn)動的位置和時間；δt代表時間步長，τ為松弛時間，其由運(yùn)動黏度ν相關(guān)決定，運(yùn)動黏度系數(shù)和松弛時間τ之間關(guān)系為ν=(τ-0.5)c2sδt，這里是與格子速度c=dx/dt相關(guān)的常數(shù)；eα表示離散速度；φ, ρ,u分別代表指標(biāo)函數(shù)、流體密度和流體速度；Fs表示與表面張力相關(guān)的力，F(xiàn)s=κρ??2ρ，κ代表表面張力強(qiáng)度系數(shù)；ψ(ρ) =p-ρc2s，其中p為流體壓力，演化方程(1)中ψ(?)和狀態(tài)方程相關(guān)，本文采用Carnahan-Starling[23]狀態(tài)方程，對應(yīng)的ψ(?)為如下形式：

其中a決定分子間相互吸引力強(qiáng)度，R為氣體體積常數(shù)，T為流體溫度.在演化方程(1)中，函數(shù)Γα(u)表達(dá)式為

其中 ωα為權(quán)重系數(shù).演化方程(1)中fαeq(x,t)和geαq(x,t)是對應(yīng)的平衡態(tài)分布函數(shù)，形式如下：

宏觀量指標(biāo)參數(shù)?、壓力p以及速度u的統(tǒng)計由下面方程給出

流體密度ρ(?)和運(yùn)動黏度ν(?)可由指標(biāo)參數(shù)?計算得到：

其中 ρg和 ρl分別代表氣相流體和液相流體密度，?h和 ?l為指標(biāo)參數(shù)的最大值和最小值，可由Maxwell 重構(gòu)得到.通過Chapman-Enskog 分析還可以得到方程(1)對應(yīng)的宏觀動力學(xué)方程：

其中 Π是黏性應(yīng)力張量，Π =η(?u+u?)，其中η為動力黏度，對于冪律流體η可以寫為

其中γ為剪切速率，η0為稠度系數(shù)，

為應(yīng)變率張量，n為非Newton 流體冪律指數(shù).當(dāng)n＜1 時，流體為剪切變稀流體，即其動力黏度η隨著剪切速率γ的增大而減??；當(dāng)n＞1 時，流體為剪切變稠流體，其動力黏度η隨著剪切速率γ的增大而增大；當(dāng)n= 1 時，流體就是通常的Newton 流體，其動力黏度η保持為一個定值，此時η=η0=ρv.因此，根據(jù)n的取值來區(qū)分流體是Newton 流體還是冪律流體.

本文使用D2Q9 模型來進(jìn)行數(shù)值模擬研究，權(quán)重系數(shù) ωα設(shè)置為：當(dāng)α=0時，ωα=4/9；當(dāng)α=1 ～4時，ωα=1/9；當(dāng)α=5 ～8 時，ωα=1/36.eα為離散速度，表達(dá)式為

關(guān)于梯度和Laplace 算子的離散方法采用二階中心各向同性方法(ICS)[24]：

1.2 潤濕性邊界條件

潤濕現(xiàn)象是指流體與壁面接觸時的鋪展現(xiàn)象，其涉及流體與固體之間相互作用，該現(xiàn)象的強(qiáng)弱程度可由固體壁面接觸角的大小來衡量.在LBM 中，壁面的潤濕性由潤濕性邊界條件來描述.本文采用由Davies 等[25]提出的潤濕性邊界條件，與其他潤濕性邊界條件相比，該潤濕性邊界具有格式簡單，非常容易擴(kuò)展到其他模型并很方便應(yīng)用到復(fù)雜壁面上等優(yōu)點(diǎn)[26-27]；該邊界條件采用表面親和的概念表示潤濕性的大小.表面親和力被定義為

其中 σs1代表固-液表面張力； σs2為固-氣表面張力； σ12為氣-液表面張力.

2 模型驗(yàn)證

2.1 Laplace 定律驗(yàn)證

本節(jié)采用Laplace 定律驗(yàn)證模型的正確性.初始時在網(wǎng)格數(shù)為128 × 128 區(qū)域中心內(nèi)放置半徑r、密度為ρd=0.5的靜止非Newton 流體圓形液滴，其余區(qū)域充滿密度ρc=0.1的Newton 流體，計算域四周的邊界條件均為周期性邊界條件.

根據(jù)Laplace 定律可知，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時表面張力 σ恒定，且液滴內(nèi)外的壓力差ΔP=Pi-Po與半徑的倒數(shù)1/r呈線性關(guān)系，關(guān)系式如下：

為了驗(yàn)證Laplace 定律，在數(shù)值模擬中分別考慮了r= 16，20，24，28 和32 五種情況.為了保證模擬結(jié)果具有一般性，對于每種情況都研究了冪律指數(shù)分別為n= 0.8，n= 1.0 和n= 1.2 三種情況.圖1 給出了在三種冪律指數(shù)下得到的液滴內(nèi)外壓力差ΔP與半徑倒數(shù)1/r的關(guān)系，結(jié)果可知，對于所有的冪律指數(shù)n，模擬結(jié)果與Laplace 定律均一致.

圖1 液滴內(nèi)外壓力差ΔP 和半徑倒數(shù)1/r 之間的關(guān)系Fig.1 Relationships between pressure jump across the droplet interface ΔP and inverse of droplet radius 1/r

2.2 固壁面潤濕性驗(yàn)證

本小節(jié)對冪律流體剪切變稀流體液滴的靜態(tài)接觸角進(jìn)行驗(yàn)證.數(shù)值模擬的計算區(qū)域?yàn)長x×Ly= 128 × 63，在計算區(qū)域下邊界中心放置半徑r= 18，密度ρc=0.5以及冪律指數(shù)n= 0.8 的非Newton 流體半圓液滴，液滴周圍充滿密度為ρd=0.1的Newton 流體，初始時刻，氣液兩相的運(yùn)動黏度均為νd=νc=1/6.邊界條件設(shè)置為：上下固壁面為無滑移邊界條件，左右為周期邊界條件.

從圖2 可以看出，當(dāng)數(shù)值模擬達(dá)到穩(wěn)定，固壁面靜態(tài)接觸角 θeq分別為30°，90°和150°時，模擬得到的接觸角θ 結(jié)果分別為31.3°，92.7°和148.9°.結(jié)果與潤濕性邊界吻合較好.

圖2 不同靜態(tài)接觸角θeq 得到的穩(wěn)態(tài)接觸角Fig.2 Steady state contact angles obtained with different values of static contact angle θeq

2.3 冪律流體中液滴的變形

本小節(jié)對冪律流體中液滴的變形進(jìn)行驗(yàn)證，如圖3 所示，數(shù)值模擬的計算區(qū)域?yàn)長x×Ly= 180 × 80，半徑r= 20 的Newton 液滴置于兩平板中心位置，液滴周圍為冪律流體；兩個平板以大小相同，方向相反的速度移動.邊界條件設(shè)置為：上下固壁面為無滑移邊界條件，左右為周期邊界條件.對于該問題，當(dāng)Re和Ca較小時，液滴最終變形為橢圓形，并且液滴可由變形參數(shù)[14]量化，液滴的變形參數(shù)定義為

圖3 液滴在冪律流體中的示意圖Fig.3 The illustration of a single droplet in a power-law fluid

其中Lc和H分別是當(dāng)液滴的形狀穩(wěn)定時對應(yīng)的長度和寬度，DI= 0 時，得到的液滴為球形.

在數(shù)值模擬中，研究三種冪律流體(n= 0.5，1.0，1.5)中Ca對液滴變形的影響，每種冪律流體分別計算了Ca為0.05，0.1，0.15，0.2 和0.25 的情況，其余無量綱參數(shù)為Re= 0.1，黏度比為1.圖4 展示了本文中得到的不同冪律指數(shù)n下液滴變形參數(shù)與Ca的關(guān)系，并與文獻(xiàn)[28]中得到的結(jié)果進(jìn)行了對比.從圖中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[28]的結(jié)果一致，說明本文所采用的模型可以很好地模擬液滴在非Newton 冪律流體中的運(yùn)動行為.

圖4 不同冪律指數(shù)下，液滴的變形參數(shù)DI 與Ca 的關(guān)系Fig.4 Deformation parameter DI as a function of the capillary number for different power-law fluids

3 模擬結(jié)果與分析

本文所研究的物理問題如圖5 所示，T 型微通道的主管道寬度為Wc，長度為L，而T 型微管道的子管道寬度為Wd，長度為Yd，主管道進(jìn)口到子管道的距離為Yc，初始時，主管道內(nèi)部充滿非Newton 流體，而子管道內(nèi)部充滿Newton 流體.邊界條件設(shè)置為：主管道與子管道進(jìn)口為呈拋物線分布的速度邊界，其中主管道和子管道沿流動方向的最大速度分別為Uc和Ud.主管道出口為自由邊界條件，其他固壁均為無滑移邊界條件.在數(shù)值模擬中，主管道和子管道寬度Wc和Wd均為30，L= 820，Yc= 75，Yd= 120.主管道冪律流體密度 ρc= 0.1，子管道Newton 液體的密度ρd=0.5，運(yùn)動黏度νd=0.01.速度邊界條件和無滑移邊界條件采用半反彈邊界處理方法[29]，自由邊界采用對流邊界條件處理[30].

圖5 T 型微通道物理模型Fig.5 The physical model for the T-junction microchannel

在本文中，決定該問題運(yùn)動特性的無量綱數(shù)為毛細(xì)數(shù)Ca、主管道與子管道流量比Q和兩相黏度比M，分別表示為

式中 ηd和 ηc分別代表子管道動力黏度和主管道動力黏度，ηd=ρdνd，ηc=ρcνc，σ為氣液兩相表面張力.此外，在下文中我們通過分析液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)揭示T 型微通道中液滴在非Newton 流體中的形成機(jī)理.其中液滴的形成時間定義為液滴在T 型管道拐點(diǎn)處斷裂的時間.如無特殊說明，本文中所用單位均為格子單位.

3.1 冪律指數(shù)n 對液滴形成的影響

本小節(jié)研究主管道內(nèi)冪律流體的冪律指數(shù)n對子管道內(nèi)液滴形成的影響.在數(shù)值模型中，固定Ca= 0.004 29，初始黏度比M=1.98，流量比Q=10，ηd=0.005，固體壁面為完全潤濕性表面(θ =180°).

圖6 給出了五種不同主管道冪律指數(shù)n（n= 0.6，0.8，1.0，1.2，1.4）得到的液滴運(yùn)動過程圖，其中每種情況第一幅圖中的時刻為液滴剛好形成的時刻，第二幅圖為流動達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的液滴形態(tài)圖.從圖中可以發(fā)現(xiàn)看出，主管道冪律指數(shù)n較小時，子管道流體進(jìn)入主管道形成較大的液滴，堵塞主管道，即液滴流型呈擠壓狀；隨著冪律指數(shù)的增加，子管道中液滴的寬度小于主管道的寬度，流型呈液滴狀.

圖6 T 型微通道內(nèi)主管道流體不同冪律指數(shù)液滴形成過程Fig.6 The droplet formation process of the continuous phase fluid with different power-law indexes in the T-junction microchannel

從以上結(jié)果還發(fā)現(xiàn)隨著主管道流體冪律指數(shù)n的增大，液滴形成的時間減少，這一結(jié)論和文獻(xiàn)[17]中結(jié)論一致.這是因?yàn)殡S著冪律指數(shù)的增加，流場的表觀黏度明顯的增大，主管道非Newton 流體的高黏度增加了剪切應(yīng)力，使得液滴分離時間越來越短.

為了量化冪律指數(shù)n對液滴形成機(jī)理的影響，圖7 給出了不同冪律指數(shù)n時得到的液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù).從圖中可以看出，隨著主管道冪律指數(shù)n的增大，子管道流體在主管道內(nèi)形成的液滴尺寸近似呈線性減小(圖7(a))，同時液滴在主管道內(nèi)形成的時間越短(圖7(b)).另一方面隨冪律指數(shù)n的增加，液滴的變形參數(shù)越來越小(圖7(c))；且隨著冪律指數(shù)n的增加，液滴形成的時間和變形參數(shù)變化非常慢.這是因?yàn)閮缏芍笖?shù)大于1 時，流體的黏度明顯增大，子管道流體的慣性力大于主管道黏性力，使得液滴的分離時間提前，在主管道得到體積更小的液滴，此時液滴由于體積較小受到的剪切力也變小，對應(yīng)地，液滴的形狀基本為球狀，并且形狀大小近似不變，因此變形參數(shù)變化非常慢.

圖7 主管道流體冪律指數(shù)n 對液滴的影響：(a)尺寸；(b)形成時間；(c)變形參數(shù)Fig.7 The effects of continuous phase power-law index n on the droplet: (a) the size; (b) the formation time; (c) the deformation index

3.2 毛細(xì)數(shù)Ca 對液滴形成的影響

本小節(jié)研究主管道非Newton 冪律流體的Ca對液滴形成的影響.主要研究了Ca分別為0.003 43，0.005 15和0.006 87 對液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響，每種情況都研究了剪切變稀、Newton 和剪切變稠三種情況，初始黏度比M= 1.98，流量比Q= 10，固壁面為完全潤濕性表面.

圖8～10 給出了不同Ca下，主管道流體為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠時液滴形成的過程圖.從圖中可以看出，無論主管道為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠時，都有主管道冪律流體的Ca越大，形成的液滴尺寸越小，且與前人研究的冪律指數(shù)在0.8～1.1 范圍內(nèi)，Ca為0～0.15 范圍內(nèi)的結(jié)果大致相同[14]，液滴形成時間越短.這是因?yàn)殡S著Ca增加，主管道冪律流體的速度增大，黏性力所占的比重越大，子管道受到的剪切力越大，液體越容易變形，也即液體越容易破裂形成液滴，液滴的尺寸相應(yīng)減小，形成液滴的時間變短.當(dāng)冪律指數(shù)n＜1 時，液滴都呈擠壓流型；當(dāng)冪律指數(shù)n=1 時，液滴由擠壓流型逐漸變?yōu)榍驙睿划?dāng)冪律指數(shù)n＞1 時，液滴由球狀變?yōu)橐旱螤?

圖8 主管道流體為剪切變稀流體(n=0.6)時，不同Ca 下的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.8 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different capillary numbers for a shear thinning continuous phase fluid (n=0.6)

圖11 給出了不同冪律指數(shù)n時，主管道Ca對T 型微通道內(nèi)液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響.從圖中可以看出，液滴尺寸隨著Ca的增加而減小，另一方面當(dāng)Ca一定時，冪律指數(shù)越大，液滴尺寸越小，并且對于不同n的情況，液滴尺寸隨Ca減小的速率基本是不變的(圖11(a))，這也與前文中液滴尺寸和冪律指數(shù)之間的線性關(guān)系相對應(yīng).此外，隨著Ca的增加，液滴的形成時間和變形參數(shù)先快速減小后緩慢減小(圖11(b)和圖11(c)).為了更詳細(xì)地說明Ca對液滴的形成時間和變形參數(shù)的影響，我們分別選取圖中一種剪切變稀(n=0.6)、Newton 和剪切變稠(n= 1.4)情況來看，當(dāng)Ca從0.003 43 增加到0.006 87，n為0.6 時，液滴的形成時間從5.07 ms 減小到2.20 ms，液滴的變形參數(shù)從0.181 減小到0.116；當(dāng)n為1.0 時，液滴的形成時間從3.65 ms減小為1.61 ms，液滴的變形參數(shù)從0.096 減小到0.063；當(dāng)n為1.4 時，對應(yīng)的液滴形成時間分別為2.79 ms和1.32 ms，液滴的變形參數(shù)分別為0.057 和0.038.從以上數(shù)據(jù)可知，當(dāng)n為0.6，1.0 以及1.4 時，Ca從0.003 43增加到0.006 87，液滴的形成時間分別減少了56.6%，55.9%以及52.7%，而液滴的變形參數(shù)分別減小了35.9%，34.4%以及33.3%.可知，T 型微通道內(nèi)液滴的形成時間與變形參數(shù)都隨Ca的增加而減小，且減小趨勢隨冪律指數(shù)的增大而減小.

圖9 主管道流體為Newton 流體(n=1.0)時，不同Ca 下的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.9 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different capillary numbers for a Newtonian continuous phase fluid (n=1.0)

圖10 主管道流體為剪切變稠流體(n=1.4)時，不同Ca 下的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.10 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different capillary numbers for a shear thickening continuous phase fluid (n=1.4)

圖11 主管道Ca 和冪律指數(shù)n 對液滴的影響：(a)尺寸；(b)形成時間；(c)變形參數(shù)Fig.11 The effects of continuous phase capillary number Ca and power-law index n on the droplet:(a) the size; (b) the formation time; (c) the deformation index

3.3 流量比Q 對液滴形成的影響

本小節(jié)研究主管道與子管道的流量比對液滴運(yùn)動機(jī)理的影響，這里主要考慮了三種不同流量比的情況Q=6.25，8.33 和12.5.相似地，對于不同的流量比都研究了剪切變稀、Newton 和剪切變稠三種情況.數(shù)值模擬中Ca= 0.004 29，黏度比M= 1.98，主管道固體壁面為完全潤濕性表面.

圖12～14 分別給出了不同主管道和子管道流量比Q下，主管道冪律流體為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠時得到的液滴形成過程圖.從圖中可以看出，無論主管道為剪切變稀(圖12)、Newton (圖13)以及剪切變稠(圖14 )，都有流量比Q越大，形成的液滴尺寸越小，這與前人研究冪律指數(shù)變化范圍較小，流量比范圍較小情況下的結(jié)果大致相同[14]，液滴形成時間越長.這是因?yàn)榱髁勘萉越大，子管道速度越小，子管道的慣性力就越小，抵抗主管道剪切應(yīng)力越弱；隨著冪律指數(shù)的增加，主管道的剪切力和黏滯力抑制了子管道的慣性力，因此在其他不變的情況下，形成的液滴尺寸越小.由于子管道的體積流量小，因此子管道被擠壓破裂形成液滴時間就越長.

圖12 主管道流體為剪切變稀流體(n=0.6)時，在不同流量比Q 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.12 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different flow ratios Q for a shear thinning continuous phase fluid (n=0.6)

圖13 主管道流體為Newton 流體(n=1.0)時，不同流量比Q 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.13 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different flow ratios Q for a Newtonian continuous phase fluid (n=1.0)

圖14 主管道流體為剪切變稠流體(n=1.4)時，不同流量比Q 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.14 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different flow ratios Q for a shear thickening continuous phase fluid (n=1.4)

圖15 給出了流量比Q和冪律指數(shù)n對T 型微通道內(nèi)液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響.從圖中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，液滴尺寸隨兩相流量比的增加而減小，且流量比Q一定時，冪律指數(shù)n越大，形成的液滴尺寸越小，同樣地，對于不同冪律指數(shù)的情況，減小速率基本保持不變(圖15(a)).另外，隨著流量比Q的增加，液滴形成時間變長，而液滴變形參數(shù)變??；并且流量比一定時，液滴的形成時間和變形參數(shù)都隨冪律指數(shù)的增加而減小(圖15(b)和圖15(c)).同樣地，為了說明不同冪律流體中液滴形成時間和變形參數(shù)隨流量比的變化規(guī)律，在本小節(jié)中分別選取一種剪切變稀(n= 0.6)、Newton 和剪切變稠(n= 1.4)情況來定量分析.隨著流量比Q從6.25 增加到12.5，當(dāng)n為0.6 時，液滴形成時間從2.55 ms 增加到3.63 ms，液滴的變形參數(shù)從0.182 減小為0.117；當(dāng)n為1.0 時，液滴形成時間從1.75 ms 增加到2.62 ms，液滴的變形參數(shù)從0.099 減小為0.04；當(dāng)n為1.4 時，液滴形成時間從1.36 ms 增加到2.15 ms，液滴的變形參數(shù)從0.056 減小為0.035.由此可知，對于不同冪律指數(shù)n的情況，都有T 型微通道內(nèi)液滴的形成時間隨流量比的增加而增加，而變形參數(shù)隨流量比的增加而減小.此外，n為0.6，1.0，1.4 時，流量比從6.25 到12.5，液滴形成時間分別增加了42.4%，49.7%，58.1%，液滴的變形參數(shù)分別減小了35.7%，59.6%，37.5%.綜上所述，對于不同的冪律流體，液滴的形成時間隨流量比的增加而增加，且增長速度隨n的增加越來越快.另一方面，液滴的變形參數(shù)隨流量比的增加近似線性減小，且減小速度隨冪律指數(shù)的增加先增加后減小.

圖15 流量比Q 和冪律指數(shù)n 對液滴的影響：(a)尺寸；(b)形成時間；(c)變形參數(shù)Fig.15 The effects of continuous phase flow ratio Q and power-law index n on the droplet: (a) the size; (b) the formation time; (c) the deformation index

3.4 黏度比M 對液滴形成的影響

本小節(jié)研究子管道和主管道流體的黏度比M對液滴運(yùn)動機(jī)理的影響.主要研究了黏度比M分別為1.65，2.46 和2.8 對液滴形成時間、液滴尺寸大小以及液滴的變形參數(shù)的影響，每種情況同樣都研究了剪切變稀、Newton 和剪切變稠三種情況.數(shù)值模擬中初始Ca=0.004 29，流量比Q=10，固體壁面為完全潤濕性表面.

圖16～18 分別給出了不同黏度比M的情況下，主管道冪律流體分別為剪切變稀(n= 0.8)、Newton 以及剪切變稠(n= 1.2)時液滴形成的過程圖.從圖中可以看出，無論主管道冪律流體為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠，都有子管道與主管道流體的黏度比M越大，形成液滴尺寸越小，液滴形成時間越短.這是由于隨著黏度比增大，主管道冪律流體運(yùn)動黏度變小，使得液滴在冪律流體中更容易斷裂[13-14].

圖16 主管道流體為剪切變稀流體(n=0.8)時，不同M 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.16 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different viscosity ratios M for a shear thinning continuous phase fluid (n=0.8)

圖19 給出了不同黏度比M和冪律指數(shù)n對T 型微通道內(nèi)液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響.由圖可知，液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)都隨M和n的增加而減小，且減小速度近似不變.另一方面，隨著M和n的增加，液滴的形成時間和變形參數(shù)減小 (圖19(b)和圖19(c)).當(dāng)黏度比M從1.65 變化到2.8 時，當(dāng)n=0.6 時，液滴的形成時間從4.81 ms 減小到2.47 ms，液滴變形參數(shù)從0.177 減小到0.137；當(dāng)n為0.8 時，液滴的形成時間從4.13 ms 減小到2.15 ms，液滴變形參數(shù)從0.131 減小到0.094；當(dāng)n為1.0 時，液滴的形成時間從3.46 ms 減小到1.84 ms，液滴變形參數(shù)從0.094 變化到0.057；當(dāng)n為1.2 時，液滴形成時間從2.94 ms 減小到1.63 ms，液滴變形參數(shù)從0.054 變化到0.033；當(dāng)n為1.6 時，液滴形成時間從2.52 ms 減小到1.46 ms，液滴變形參數(shù)從0.039 變化到0.03.綜上，當(dāng)n為0.8，1.0，1.2 時，M從1.65 到2.8，液滴的形成時間的分別減小了48.6%，47.9%，46.8%，44.6%，42.1%；液滴的變形參數(shù)分別減小了22.6%，28.2%，39.4%，38.9%，23.1%.可知，T 型微通道內(nèi)液滴的形成時間隨黏度比的增加而減小，且減小趨勢隨冪律指數(shù)的增加而減緩；液滴變形參數(shù)隨黏度比的增加而減小，且變化趨勢隨冪律指數(shù)的增加先變大后變小.此外，對比圖19 和圖7 可知，黏度比對液滴形成尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響規(guī)律與冪律流體的影響規(guī)律基本一致.

圖17 主管道流體為Newton 流體(n=1.0)時，不同M 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.17 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different viscosity ratios M for a Newtonian continuous phase fluid (n=1.0)

圖18 主管道流體為剪切變稠流體(n=1.2)時，不同M 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.18 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different viscosity ratios M for a shear thickening continuous phase fluid (n=1.2)

圖19 黏度比M 和冪律指數(shù)n 對液滴的影響：(a)尺寸；(b)形成時間；(c)變形參數(shù)Fig.19 The effects of continuous phase viscosity ratio M and power-law index n on the droplet: (a) the size; (b) the formation time; (c) the deformation index

3.5 主管道壁面潤濕性θ 對液滴形成的影響

本小節(jié)主要研究主管道壁面潤濕性θ 對液滴形成的影響，主要考慮了三種潤濕性情況：θ=60°，90°，120°.對于不同壁面潤濕性θ 都分別研究了剪切變稀、Newton 和剪切變稠時液滴的尺寸、形成時間和變形參數(shù).數(shù)值模擬中固定Ca=0.004 29，黏度比M=1.98，流量比Q=10.0.

圖20～22 分別給出了主管道冪律流體為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠流體時在不同主管道內(nèi)壁面潤濕性情況下得到的液滴形成過程圖.如圖所示，當(dāng)內(nèi)壁面潤濕性具有親水性時，形成的液滴會附著在壁面上，隨著壁面潤濕性的增加，液滴的形狀逐漸改變，最終變?yōu)槿麪?，這一現(xiàn)象與液滴Newton 流體中形成的結(jié)論相同[7].無論主管道為剪切變稀、Newton 以及剪切變稠流體，在同一冪律指數(shù)n下，都有主管道固壁面潤濕性θ 越大，形成的液滴尺寸越小；液滴形成時間越短；在同一潤濕性下，冪律指數(shù)n越大，液滴尺寸越小.這是因?yàn)楣腆w壁面接觸角潤濕性θ 越大，內(nèi)壁面潤濕性親氣性越強(qiáng)，親水性越弱，則液體受到固體壁面的黏附力越小，因此，形成的液滴越小，對應(yīng)的液滴形成時間越短.

圖20 主管道流體為剪切變稀(n=0.8)時，不同壁面潤濕性θ 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.20 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different surface wettabilities θ for a shear thinning continuous phase fluid (n=0.8)

圖21 主管道流體為Newton 流體(n=1.0)時，不同壁面潤濕性θ 得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.21 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different surface wettabilities θ for a Newtonian continuous phase fluid (n=1.0)

圖22 主管道流體為剪切變稠流體(n=1.2)時，不同壁面潤濕性得到的T 型微通道內(nèi)液滴形成過程Fig.22 The droplet formation process in the T-junction microchannel obtained with different surface wettabilities θ for a shear thickening continuous phase fluid (n=1.2)

圖23 給出了不同冪律指數(shù)n時主管道壁面潤濕性θ 對T 型微通道內(nèi)液滴尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響.這里需要指出的是，由于在親水條件下，液滴吸附在主管道壁面上，并未形成橢圓狀的液滴，而本文的變形參數(shù)是建立在液滴呈橢圓狀的基礎(chǔ)上，因此在本小節(jié)中，用Lc/W0變化代替液滴的變形參數(shù).由圖23 結(jié)果可知，形成的液滴尺寸隨壁面潤濕性θ 的增加近似呈線性減少，并且對于不同冪律指數(shù)的情況，液滴尺寸減小速率基本保持不變.液滴的形成時間同樣隨冪律指數(shù)的增加而減少(圖23(b)).由圖23(c)可知，液滴的變形參數(shù)隨壁面潤濕性θ 的增加，先快速減小然后緩慢減小.接下來我們分別選取一種剪切變稀(n=0.8)、Newton 和剪切變稠(n=1.2)流體進(jìn)一步說明液滴形成時間和變形參數(shù)和潤濕性之前的關(guān)系.當(dāng)n為0.8 時，θ 從60°到150°，液滴的形成時間從3.82 ms 減小到3.45 ms，液滴的變形參數(shù)從1.867 減少到0.95；當(dāng)n為1.0 時，液滴形成時間從3.15 ms 減小到2.91 ms，液滴的變形參數(shù)從1.433 減小到0.823；當(dāng)n為1.2 時，θ 從60°到150°，液滴形成時間從2.73 ms 減小到2.54 ms，液滴變形參數(shù)從1.1 減少到0.664.綜上，當(dāng)n為0.8，1.0，1.2 時，θ 從60°到150°，液滴形成時間分別減小了9.7%，7.6%，7.0%，液滴變形參數(shù)分別減少了49.1%，42.7%，39.6%.由以上結(jié)果可知，T 型微通道內(nèi)液滴的形成時間和變形參數(shù)隨著潤濕性的增加而減小，且減小趨勢隨冪律指數(shù)的增加而減緩.需要指出的是，盡管這里只選取了三種n的情況，以上結(jié)論對于其他n的情況也同樣成立.

圖23 潤濕性θ 和冪律指數(shù)n 對液滴的影響：(a)尺寸；(b)形成時間；(c)相對長度Fig.23 The effects of continuous phase surface wettability θ and power-law index n on the droplet:(a) the size; (b) the formation time; (c) the deformation index

4 結(jié) 論

本文采用非Newton 不可壓縮兩相流格子Boltzmann 模型，研究了流體冪律指數(shù)n、毛細(xì)數(shù)Ca、兩相流量比Q、兩相黏度比M以及主管道內(nèi)壁面潤濕性θ 對液滴在T 型微通道內(nèi)的形成尺寸、形成時間和變形參數(shù)(DI)的影響，得到了以下結(jié)論：

1) 冪律指數(shù)和黏度比對液滴的形成尺寸、形成時間以及變形參數(shù)的影響基本一致，即隨著冪律指數(shù)和黏度比的增加，液滴的形成尺寸近似線性減小，而液滴的形成時間和變形參數(shù)先快速減小然后緩慢減小.

2) 壁面潤濕性和Ca對液滴的形成過程的影響基本一致，即液滴的形成尺寸隨Ca和壁面潤濕性的增加而線性減少；而液滴的形成時間和液滴變形參數(shù)隨Ca和壁面潤濕性的增加而減小，且減小趨勢隨冪律指數(shù)的增加而減緩.

3) 流量比越大，液滴的形成尺寸和變形參數(shù)越小，而液滴的形成時間越長.